Глава 1. § 9. Скорость при криволинейном движении. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — с. 42
§ 9. Вопрос 1. Опишите опыт, с помощью которого можно убедиться в том, что мгновенная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, в любой точке этой окружности направлена по касательной к ней.
Нужно приложить стальной прут к быстро вращающемуся точильному камню электроточила. Из-под прута вылетают искры — раскалённые частицы стали и камня. После отрыва частица летит прямолинейно со скоростью, равной скорости в момент отрыва. Опыт показывает, что искры летят по касательной к окружности камня в точке отрыва. Значит, и скорость точки, движущейся по окружности, направлена по касательной к ней.
§ 9. Вопрос 2. Что такое частота обращения; период обращения?
Частота обращения ν — число оборотов тела по окружности в единицу времени; единица в СИ — секунда в минус первой степени (с⁻¹). Период обращения T — время, за которое тело совершает один полный оборот; единица в СИ — секунда (с).
§ 9. Вопрос 3. Как связаны между собой период и частота обращения?
Они обратны друг другу: T = 1/ν, ν = 1/T. Например, если тело делает 10 оборотов в секунду, то один оборот занимает 1/10 с.
§ 9. Вопрос 4. Что называют линейной скоростью; угловой скоростью?
Линейная скорость — модуль скорости точки, движущейся по окружности: v = 2πR/T = 2πRν (измеряется в м/с). Угловая скорость ω — отношение угла поворота φ ко времени t, за которое этот поворот произошёл: ω = φ/t = 2π/T (измеряется в рад/с). Они связаны соотношением v = ωR.
§ 9. Вопрос 5. Как направлено ускорение тела при его движении по окружности с постоянной по модулю скоростью?
Как называют это ускорение?
Ускорение направлено по радиусу окружности к её центру, поэтому его называют центростремительным. Оно возникает потому, что направление вектора скорости всё время меняется (движение по окружности всегда происходит с ускорением, даже при постоянном модуле скорости).
§ 9. Вопрос 6. По какой формуле можно вычислить модуль вектора центростремительного ускорения?
a_ц.с = v²/R, где v — модуль скорости тела, R — радиус окружности. Так как v = ωR, то можно записать и a_ц.с = ω²R.
§ 9. Вопрос для обсуждения. Ссылаясь на формулу a_ц.с = v²/R, Петя утверждал, что центростремительное ускорение обратно пропорционально радиусу окружности. Подставив в эту формулу выражение v = ωR, его друг Гоша получил, что a_ц.с = ω²R и сделал вывод, что центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу окружности. Кто из ребят прав?
Правы оба, но каждый — при своём условии. Утверждение о пропорциональности верно только тогда, когда остальные величины в формуле не меняются.
При постоянной линейной скорости v (например, автомобиль проезжает повороты разного радиуса с одной скоростью) ускорение a_ц.с = v²/R обратно пропорционально R — прав Петя.
При постоянной угловой скорости ω (например, точки вращающегося диска или стрелки часов: все они поворачиваются за одно и то же время) линейная скорость растёт с радиусом, и a_ц.с = ω²R прямо пропорционально R — прав Гоша.
Противоречия нет: v и ω связаны (v = ωR), поэтому нельзя считать v постоянной и одновременно менять R при постоянной ω.
При постоянной линейной скорости v (например, автомобиль проезжает повороты разного радиуса с одной скоростью) ускорение a_ц.с = v²/R обратно пропорционально R — прав Петя.
При постоянной угловой скорости ω (например, точки вращающегося диска или стрелки часов: все они поворачиваются за одно и то же время) линейная скорость растёт с радиусом, и a_ц.с = ω²R прямо пропорционально R — прав Гоша.
Противоречия нет: v и ω связаны (v = ωR), поэтому нельзя считать v постоянной и одновременно менять R при постоянной ω.
§ 9. Упражнение 9.
1. Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Покажите направления векторов скорости и ускорения в точке A (рис. 27).
[рисунок 27: окружность с центром O; точка A лежит на окружности справа вверху.]
Вектор скорости v⃗ направлен по касательной к окружности в точке A, то есть перпендикулярно радиусу OA, в сторону движения тела. Вектор ускорения a⃗ (центростремительного) направлен вдоль радиуса AO к центру окружности O. Векторы v⃗ и a⃗ в точке A взаимно перпендикулярны (см. рисунок).
Оговорка: направление обхода на рисунке 27 не задано; на чертеже взято движение против часовой стрелки. При движении по часовой стрелке вектор v⃗ направлен по той же касательной в противоположную сторону, а вектор a⃗ остаётся направленным к центру.
Вектор скорости v⃗ направлен по касательной к окружности в точке A, то есть перпендикулярно радиусу OA, в сторону движения тела. Вектор ускорения a⃗ (центростремительного) направлен вдоль радиуса AO к центру окружности O. Векторы v⃗ и a⃗ в точке A взаимно перпендикулярны (см. рисунок).
Оговорка: направление обхода на рисунке 27 не задано; на чертеже взято движение против часовой стрелки. При движении по часовой стрелке вектор v⃗ направлен по той же касательной в противоположную сторону, а вектор a⃗ остаётся направленным к центру.
§ 9. Упражнение 9.
2. Точильный камень радиусом 10 см делает 300 оборотов в минуту. Найдите линейную и угловую скорости точек на ободе точильного камня.
R = 10 см = 0,1 м. Частота ν = 300 об/мин = 300/60 = 5 об/с = 5 с⁻¹, период T = 1/ν = 0,2 с.
Угловая скорость ω = 2πν = 2 · 3,14 · 5 ≈ 31,4 рад/с.
Линейная скорость v = ωR = 31,4 · 0,1 ≈ 3,14 м/с (или v = 2πR/T = 2 · 3,14 · 0,1/0,2 = 3,14 м/с).
Ответ: v ≈ 3,14 м/с; ω ≈ 31,4 рад/с.
Угловая скорость ω = 2πν = 2 · 3,14 · 5 ≈ 31,4 рад/с.
Линейная скорость v = ωR = 31,4 · 0,1 ≈ 3,14 м/с (или v = 2πR/T = 2 · 3,14 · 0,1/0,2 = 3,14 м/с).
Ответ: v ≈ 3,14 м/с; ω ≈ 31,4 рад/с.
§ 9. Упражнение 9.
3. При работе стиральной машины в режиме отжима поверхность её барабана, находящаяся на расстоянии 21 см от оси вращения, движется вокруг этой оси со скоростью 20 м/с. Определите ускорение, с которым движутся точки поверхности барабана.
R = 21 см = 0,21 м, v = 20 м/с. Точки движутся по окружности с постоянной по модулю скоростью, их ускорение центростремительное:
a = v²/R = 20² / 0,21 = 400/0,21 ≈ 1,9 · 10³ м/с² (около 1900 м/с², то есть примерно 190g).
Ускорение направлено к оси вращения.
Ответ: a ≈ 1,9 · 10³ м/с².
a = v²/R = 20² / 0,21 = 400/0,21 ≈ 1,9 · 10³ м/с² (около 1900 м/с², то есть примерно 190g).
Ускорение направлено к оси вращения.
Ответ: a ≈ 1,9 · 10³ м/с².