Глава 1. § 9. Скорость при криволинейном движении. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — с. 43
§ 9. Упражнение 9.
4. Определите ускорение конца секундной стрелки часов, если он находится на расстоянии R = 2 см от центра вращения.
Секундная стрелка делает оборот за T = 60 с. Угловая скорость ω = 2π/T = 2 · 3,14/60 ≈ 0,105 рад/с. R = 2 см = 0,02 м.
Ускорение a = ω²R = (0,105)² · 0,02 ≈ 2,2 · 10⁻⁴ м/с².
Проверка через линейную скорость: v = 2πR/T = 2 · 3,14 · 0,02/60 ≈ 2,1 · 10⁻³ м/с; a = v²/R ≈ (2,1 · 10⁻³)²/0,02 ≈ 2,2 · 10⁻⁴ м/с².
Ответ: a ≈ 2 · 10⁻⁴ м/с².
Ускорение a = ω²R = (0,105)² · 0,02 ≈ 2,2 · 10⁻⁴ м/с².
Проверка через линейную скорость: v = 2πR/T = 2 · 3,14 · 0,02/60 ≈ 2,1 · 10⁻³ м/с; a = v²/R ≈ (2,1 · 10⁻³)²/0,02 ≈ 2,2 · 10⁻⁴ м/с².
Ответ: a ≈ 2 · 10⁻⁴ м/с².
§ 9. Упражнение 9.
5. Докажите, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в 2 раза больше ускорения средней точки этой стрелки (т. е. точки, находящейся посередине между центром вращения стрелки и её концом).
Все точки стрелки поворачиваются на один и тот же угол за одно и то же время, поэтому угловая скорость ω у них одинакова. Пусть расстояние от центра до конца стрелки равно R, тогда средняя точка находится на расстоянии R/2.
Ускорение крайней точки a₁ = ω²R, средней точки a₂ = ω²·(R/2).
Отношение a₁/a₂ = ω²R / (ω²R/2) = 2.
Значит, ускорение крайней точки в 2 раза больше, чем средней. Что и требовалось доказать.
Ускорение крайней точки a₁ = ω²R, средней точки a₂ = ω²·(R/2).
Отношение a₁/a₂ = ω²R / (ω²R/2) = 2.
Значит, ускорение крайней точки в 2 раза больше, чем средней. Что и требовалось доказать.
§ 9. Упражнение 9. 6*. Минутная и секундная стрелки часов вращаются вокруг общего центра. Расстояния от центра вращения до концов стрелок одинаковы. Чему равно отношение ускорений, с которыми движутся концы стрелок?
Какая стрелка движется с бо́льшим ускорением?
Периоды: минутной T₁ = 60 мин = 3600 с, секундной T₂ = 60 с. Угловые скорости ω = 2π/T, поэтому ω₂/ω₁ = T₁/T₂ = 60.
Радиусы одинаковы, a = ω²R, значит
a₂/a₁ = (ω₂/ω₁)² = 60² = 3600.
Ускорение конца секундной стрелки в 3600 раз больше ускорения конца минутной (a₁/a₂ = 1/3600).
Ответ: отношение ускорений равно 3600; с большим ускорением движется конец секундной стрелки.
Радиусы одинаковы, a = ω²R, значит
a₂/a₁ = (ω₂/ω₁)² = 60² = 3600.
Ускорение конца секундной стрелки в 3600 раз больше ускорения конца минутной (a₁/a₂ = 1/3600).
Ответ: отношение ускорений равно 3600; с большим ускорением движется конец секундной стрелки.
§ 9. Упражнение 9. 7*. Линейная скорость точки на ободе вращающегося колеса равна 2 м/с. Точка, расположенная на 10 см ближе к оси, имеет линейную скорость 1 м/c. Определите угловые скорости этих точек, частоты и периоды их обращения.
Колесо вращается как одно целое, поэтому у всех его точек одинаковы угловая скорость ω, частота ν и период T.
Пусть радиус обода R, тогда вторая точка находится на расстоянии R − 0,1 м от оси. Так как v = ωR:
ω = 2/R и ω = 1/(R − 0,1). Приравниваем: 2(R − 0,1) = R, откуда R = 0,2 м.
Угловая скорость ω = v/R = 2/0,2 = 10 рад/с (проверка: 1/0,1 = 10 рад/с).
Частота ν = ω/(2π) = 10/(2 · 3,14) ≈ 1,6 с⁻¹ (Гц).
Период T = 1/ν = 2π/ω ≈ 0,63 с.
Ответ: у обеих точек ω = 10 рад/с, ν ≈ 1,6 Гц, T ≈ 0,63 с.
Пусть радиус обода R, тогда вторая точка находится на расстоянии R − 0,1 м от оси. Так как v = ωR:
ω = 2/R и ω = 1/(R − 0,1). Приравниваем: 2(R − 0,1) = R, откуда R = 0,2 м.
Угловая скорость ω = v/R = 2/0,2 = 10 рад/с (проверка: 1/0,1 = 10 рад/с).
Частота ν = ω/(2π) = 10/(2 · 3,14) ≈ 1,6 с⁻¹ (Гц).
Период T = 1/ν = 2π/ω ≈ 0,63 с.
Ответ: у обеих точек ω = 10 рад/с, ν ≈ 1,6 Гц, T ≈ 0,63 с.