Глава 1. § 7. Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении — с. 34
§ 7. Упражнение 7. 3*. Приведите формулу S = (v₀ₓ + vₓ)/2 · t к виду sₓ = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2aₓ). При необходимости воспользуйтесь указаниями в ответах.
Площадь трапеции S численно равна проекции перемещения: sₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2 · t.
Из формулы ускорения aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t выразим время: t = (vₓ − v₀ₓ)/aₓ.
Подставим t в формулу перемещения:
sₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2 · (vₓ − v₀ₓ)/aₓ = (vₓ + v₀ₓ)(vₓ − v₀ₓ)/(2aₓ).
По формуле (a + b)(a − b) = a² − b² числитель равен vₓ² − v₀ₓ². Поэтому
sₓ = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2aₓ).
Что и требовалось получить.
Из формулы ускорения aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t выразим время: t = (vₓ − v₀ₓ)/aₓ.
Подставим t в формулу перемещения:
sₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2 · (vₓ − v₀ₓ)/aₓ = (vₓ + v₀ₓ)(vₓ − v₀ₓ)/(2aₓ).
По формуле (a + b)(a − b) = a² − b² числитель равен vₓ² − v₀ₓ². Поэтому
sₓ = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2aₓ).
Что и требовалось получить.
§ 7. Упражнение 7.
4. Постройте график зависимости vₓ(t) для тела, движущегося равноускоренно в положительном направлении оси x с возрастающей по модулю скоростью. Начальная скорость движения равна 1 м/с и ускорение — 0,5 м/с². Какой путь прошло тело за 4 с?
Скорость растёт линейно: vₓ = v₀ₓ + aₓt = 1 + 0,5t (м/с). График — прямая линия. Берём две точки: при t = 0 vₓ = 1 м/с; при t = 4 с vₓ = 1 + 0,5 · 4 = 3 м/с. Через эти точки проводим прямую (см. рисунок).
Путь при движении в одну сторону равен модулю перемещения и численно равен площади трапеции под графиком:
s = (1 + 3)/2 · 4 = 8 м.
Проверка по формуле: s = v₀t + at²/2 = 1 · 4 + 0,5 · 16/2 = 4 + 4 = 8 м.
Ответ: s = 8 м.
Путь при движении в одну сторону равен модулю перемещения и численно равен площади трапеции под графиком:
s = (1 + 3)/2 · 4 = 8 м.
Проверка по формуле: s = v₀t + at²/2 = 1 · 4 + 0,5 · 16/2 = 4 + 4 = 8 м.
Ответ: s = 8 м.