Глава 1. § 7. Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении — с. 33
§ 7. Вопрос 1. Пользуясь рисунком 20, а, докажите, что проекция вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении численно равна площади фигуры OACB.
На графике зависимости vₓ(t) равноускоренного движения (рис. 20, а) отрезок AC — наклонная прямая, OA — начальная скорость v₀ₓ, OB — промежуток времени t, BC — конечная скорость vₓ = v₀ₓ + aₓt. Фигура OACB — трапеция с основаниями OA = v₀ₓ и BC = vₓ и высотой OB = t.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (v₀ₓ + vₓ)/2 · t.
С другой стороны, при равноускоренном движении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей, поэтому проекция перемещения sₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2 · t. Выражения совпадают, значит, sₓ = S: проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры OACB.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (v₀ₓ + vₓ)/2 · t.
С другой стороны, при равноускоренном движении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей, поэтому проекция перемещения sₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2 · t. Выражения совпадают, значит, sₓ = S: проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры OACB.
§ 7. Вопрос 2. Запишите уравнения для определения проекции вектора перемещения и координаты тела при его прямолинейном равноускоренном движении.
Проекция вектора перемещения: sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
Координата тела (закон движения): x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2.
Здесь x₀ — начальная координата, v₀ₓ — проекция начальной скорости, aₓ — проекция ускорения, t — время движения. Проекции v₀ₓ и aₓ берутся со своими знаками: если тело тормозит, они имеют разные знаки.
Координата тела (закон движения): x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2.
Здесь x₀ — начальная координата, v₀ₓ — проекция начальной скорости, aₓ — проекция ускорения, t — время движения. Проекции v₀ₓ и aₓ берутся со своими знаками: если тело тормозит, они имеют разные знаки.
§ 7. Упражнение 7.
1. Велосипедист съехал с горки за 5 с, двигаясь с постоянным ускорением 0,5 м/с². Определите длину горки, если в начале спуска скорость велосипедиста была равна 18 км/ч.
Начальная скорость v₀ = 18 км/ч = 18 · 1000 м / 3600 с = 5 м/с. Движение равноускоренное, длина горки равна модулю перемещения:
s = v₀t + at²/2 = 5 м/с · 5 с + 0,5 м/с² · (5 с)² / 2 = 25 м + 6,25 м = 31,25 м.
Ответ: s ≈ 31 м (31,25 м).
s = v₀t + at²/2 = 5 м/с · 5 с + 0,5 м/с² · (5 с)² / 2 = 25 м + 6,25 м = 31,25 м.
Ответ: s ≈ 31 м (31,25 м).
§ 7. Упражнение 7.
2. Поезд, идущий со скоростью 15 м/с, остановился через 20 с после начала торможения. Считая, что торможение происходило с постоянным ускорением, определите перемещение поезда за 20 с.
Начальная скорость v₀ = 15 м/с, конечная v = 0, время t = 20 с. Ускорение a = (v − v₀)/t = (0 − 15)/20 = −0,75 м/с² (вектор ускорения направлен против движения).
sₓ = v₀t + aₓt²/2 = 15 · 20 − 0,75 · 20²/2 = 300 − 150 = 150 м.
Тот же результат даёт формула через среднюю скорость: s = (v₀ + v)/2 · t = (15 + 0)/2 · 20 = 150 м.
Ответ: s = 150 м.
sₓ = v₀t + aₓt²/2 = 15 · 20 − 0,75 · 20²/2 = 300 − 150 = 150 м.
Тот же результат даёт формула через среднюю скорость: s = (v₀ + v)/2 · t = (15 + 0)/2 · 20 = 150 м.
Ответ: s = 150 м.