Задачи для повторения (продолжение) — с. 337
Задача для повторения 32. Тело массой 0,3 кг свободно падает из состояния покоя в течение 3 с. На сколько увеличивается его импульс за первую секунду падения; за вторую секунду падения?
Импульс p = mv. Скорость при свободном падении растёт на g = 9,8 м/с каждую секунду, поэтому за каждую секунду импульс увеличивается на Δp = mΔv = mgΔt = 0,3 кг · 9,8 м/с² · 1 с ≈ 2,94 кг·м/с.
За первую секунду импульс вырастает от 0 до 2,94 кг·м/с, за вторую — от 2,94 до 5,88 кг·м/с, то есть тоже на 2,94 кг·м/с.
Ответ: за первую и за вторую секунды импульс увеличивается на 2,94 кг·м/с (≈ 3 кг·м/с).
За первую секунду импульс вырастает от 0 до 2,94 кг·м/с, за вторую — от 2,94 до 5,88 кг·м/с, то есть тоже на 2,94 кг·м/с.
Ответ: за первую и за вторую секунды импульс увеличивается на 2,94 кг·м/с (≈ 3 кг·м/с).
Задача для повторения 33. С помощью графика, построенного вами при решении задачи 30, покажите, что импульс свободно падающего тела за равные промежутки времени меняется на одну и ту же величину.
График vᵧ(t) из задачи 30 — прямая линия. Разобьём время на равные промежутки Δt = 1 с. Для любого такого промежутка, например от 0 до 1 с, от 1 до 2 с, от 2 до 3 с, приращение скорости (вертикальный отрезок под прямой) одно и то же: Δv = 9,8 м/с, потому что у прямой наклон везде одинаков (он равен ускорению g).
Изменение импульса тела массой m: Δp = mΔv = m · 9,8 м/с, поэтому оно также одинаково для всех равных промежутков времени. Иначе: по второму закону Ньютона Δp = FΔt = mgΔt, а сила тяжести постоянна.
Изменение импульса тела массой m: Δp = mΔv = m · 9,8 м/с, поэтому оно также одинаково для всех равных промежутков времени. Иначе: по второму закону Ньютона Δp = FΔt = mgΔt, а сила тяжести постоянна.
Задача для повторения 34. Алюминиевый и медный шарики одинакового объёма свободно падают из состояния покоя с одной и той же высоты в течение 2,5 с. Импульс какого из шариков будет больше и во сколько раз к концу первой секунды падения; к концу второй секунды падения?
Ответы обоснуйте.
Свободное падение (без сопротивления воздуха) не зависит от массы: в любой момент t скорости шариков одинаковы, v = gt. Импульс p = mv, поэтому отношение импульсов равно отношению масс: p_Cu/p_Al = m_Cu/m_Al.
Масса m = ρV, объёмы равны, поэтому m_Cu/m_Al = ρ_Cu/ρ_Al = 8900 кг/м³ / 2700 кг/м³ ≈ 3,3.
То есть больше импульс медного шарика и к концу первой секунды, и к концу второй секунды в одно и то же число раз — примерно в 3,3 раза, так как скорости в любой момент одинаковы.
Ответ: импульс медного шарика больше в ≈ 3,3 раза и к концу 1 с, и к концу 2 с.
Масса m = ρV, объёмы равны, поэтому m_Cu/m_Al = ρ_Cu/ρ_Al = 8900 кг/м³ / 2700 кг/м³ ≈ 3,3.
То есть больше импульс медного шарика и к концу первой секунды, и к концу второй секунды в одно и то же число раз — примерно в 3,3 раза, так как скорости в любой момент одинаковы.
Ответ: импульс медного шарика больше в ≈ 3,3 раза и к концу 1 с, и к концу 2 с.
Задача для повторения 35. Два одинаковых бильярдных шара, двигаясь вдоль одной прямой, сталкиваются друг с другом. Перед столкновением проекция вектора скорости первого шара на ось X была равна v₁ₓ = 0,2 м/с, а второго — v₂ₓ = 0,1 м/с. Определите проекцию вектора скорости второго шара после столкновения, если у первого она стала равна v′₁ₓ = 0,1 м/с.
Шары одинаковые, их массы равны (m). Закон сохранения импульса в проекции на ось X: m v₁ₓ + m v₂ₓ = m v′₁ₓ + m v′₂ₓ.
Сократим на m: v′₂ₓ = v₁ₓ + v₂ₓ − v′₁ₓ = 0,2 + 0,1 − 0,1 = 0,2 м/с.
Ответ: v′₂ₓ = 0,2 м/с (второй шар движется в положительном направлении оси X).
Сократим на m: v′₂ₓ = v₁ₓ + v₂ₓ − v′₁ₓ = 0,2 + 0,1 − 0,1 = 0,2 м/с.
Ответ: v′₂ₓ = 0,2 м/с (второй шар движется в положительном направлении оси X).
Задача для повторения 36. Решите предыдущую задачу для случая, при котором v₁ₓ = 0,2 м/с, v₂ₓ = –0,1 м/с, v′₁ₓ = –0,1 м/с.
Массы шаров равны, закон сохранения импульса: v₁ₓ + v₂ₓ = v′₁ₓ + v′₂ₓ.
v′₂ₓ = v₁ₓ + v₂ₓ − v′₁ₓ = 0,2 + (−0,1) − (−0,1) = 0,2 м/с.
Ответ: v′₂ₓ = 0,2 м/с (второй шар после удара движется по направлению оси X; шары до удара двигались навстречу друг другу).
v′₂ₓ = v₁ₓ + v₂ₓ − v′₁ₓ = 0,2 + (−0,1) − (−0,1) = 0,2 м/с.
Ответ: v′₂ₓ = 0,2 м/с (второй шар после удара движется по направлению оси X; шары до удара двигались навстречу друг другу).
Задача для повторения 37. Чему равна работа силы трения при торможении с заблокированными колёсами автомобиля массой 2 т, если скорость автомобиля уменьшилась от 72 до 36 км/ч?
Работа силы трения равна изменению кинетической энергии автомобиля: A = Eк₂ − Eк₁ = m(v₂² − v₁²)/2.
Переведём единицы: m = 2000 кг; v₁ = 72 км/ч = 20 м/с; v₂ = 36 км/ч = 10 м/с.
A = 2000 · (10² − 20²)/2 = 1000 · (100 − 400) = −300 000 Дж = −300 кДж.
Ответ: A = −300 кДж (работа отрицательна: сила трения направлена против движения).
Переведём единицы: m = 2000 кг; v₁ = 72 км/ч = 20 м/с; v₂ = 36 км/ч = 10 м/с.
A = 2000 · (10² − 20²)/2 = 1000 · (100 − 400) = −300 000 Дж = −300 кДж.
Ответ: A = −300 кДж (работа отрицательна: сила трения направлена против движения).
Задача для повторения 38. Пружина жёсткостью 500 Н/м растянута на 2 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть эту пружину дополнительно ещё на 2 см?
Энергия растянутой пружины Eп = kx²/2, искомая работа равна изменению энергии: A = kx₂²/2 − kx₁²/2.
Начальное удлинение x₁ = 0,02 м, конечное x₂ = 0,04 м.
A = 500 · (0,04² − 0,02²)/2 = 250 · (0,0016 − 0,0004) = 250 · 0,0012 = 0,3 Дж.
Ответ: A = 0,3 Дж.
Начальное удлинение x₁ = 0,02 м, конечное x₂ = 0,04 м.
A = 500 · (0,04² − 0,02²)/2 = 250 · (0,0016 − 0,0004) = 250 · 0,0012 = 0,3 Дж.
Ответ: A = 0,3 Дж.
Задача для повторения 39. Брусок массой m = 100 г поднимают из состояния покоя вертикально вверх с ускорением a = 1 м/с. Чему будет равна кинетическая энергия бруска через время ∆t = 4 c?
Какая работа при этом будет совершена силой тяжести?
Ускорение по смыслу задачи a = 1 м/с² (в условии допущена опечатка в единицах).
Скорость через 4 с: v = aΔt = 1 · 4 = 4 м/с. Кинетическая энергия: Eк = mv²/2 = 0,1 кг · (4 м/с)²/2 = 0,8 Дж.
Высота подъёма: h = aΔt²/2 = 1 · 16/2 = 8 м. Сила тяжести направлена против перемещения, её работа A = −mgh = −0,1 · 9,8 · 8 ≈ −7,8 Дж.
Ответ: Eк = 0,8 Дж; A ≈ −7,8 Дж.
Оговорка: в ответах учебника A = −8 Дж (при g = 10 м/с²).
Скорость через 4 с: v = aΔt = 1 · 4 = 4 м/с. Кинетическая энергия: Eк = mv²/2 = 0,1 кг · (4 м/с)²/2 = 0,8 Дж.
Высота подъёма: h = aΔt²/2 = 1 · 16/2 = 8 м. Сила тяжести направлена против перемещения, её работа A = −mgh = −0,1 · 9,8 · 8 ≈ −7,8 Дж.
Ответ: Eк = 0,8 Дж; A ≈ −7,8 Дж.
Оговорка: в ответах учебника A = −8 Дж (при g = 10 м/с²).
Задача для повторения 40. Груз массой 10 кг падает с высоты 10 м и проникает в мягкий грунт на глубину 20 см. Определите силу сопротивления грунта, считая её постоянной. Сопротивление воздуха не учитывать.
Груз начинает движение в покое и в конце останавливается в грунте, поэтому его кинетическая энергия в начале и в конце равна нулю. Работа всех сил на всём пути равна нулю: сила тяжести совершает работу mg(h + d) на пути h + d (d = 0,2 м — глубина погружения), а сила сопротивления F — работу −Fd.
mg(h + d) − Fd = 0; F = mg(h + d)/d = 10 · 9,8 · (10 + 0,2)/0,2 ≈ 5000 Н = 5,0 кН.
Ответ: F ≈ 5 кН.
Оговорка: в ответах учебника 5,1 кН (при g = 10 м/с²).
mg(h + d) − Fd = 0; F = mg(h + d)/d = 10 · 9,8 · (10 + 0,2)/0,2 ≈ 5000 Н = 5,0 кН.
Ответ: F ≈ 5 кН.
Оговорка: в ответах учебника 5,1 кН (при g = 10 м/с²).
Задача для повторения 41. Используя данные и результат решения задачи 36, покажите, что при столкновении шаров полная механическая энергия системы не изменилась.
Шары одинаковые, масса каждого m. Данные задачи 36: до удара v₁ = 0,2 м/с, v₂ = −0,1 м/с; после удара v′₁ = −0,1 м/с, v′₂ = 0,2 м/с (результат задачи 36). Потенциальная энергия шаров на столе не меняется, поэтому достаточно сравнить кинетические энергии.
До столкновения: E = m·0,2²/2 + m·0,1²/2 = m(0,04 + 0,01)/2 = 0,025m (Дж, если m в кг).
После столкновения: E′ = m·0,1²/2 + m·0,2²/2 = m(0,01 + 0,04)/2 = 0,025m.
E′ = E, значит, полная механическая энергия системы при столкновении не изменилась (столкновение абсолютно упругое).
До столкновения: E = m·0,2²/2 + m·0,1²/2 = m(0,04 + 0,01)/2 = 0,025m (Дж, если m в кг).
После столкновения: E′ = m·0,1²/2 + m·0,2²/2 = m(0,01 + 0,04)/2 = 0,025m.
E′ = E, значит, полная механическая энергия системы при столкновении не изменилась (столкновение абсолютно упругое).
Задача для повторения 42. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 30 м. На какой высоте его кинетическая энергия будет вдвое меньше потенциальной?
За нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии принять поверхность Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Полная механическая энергия сохраняется: E = mgH, где H = 30 м (вначале тело покоится).
На искомой высоте h: Eк + Eп = E, причём Eк = Eп/2. Тогда Eп/2 + Eп = mgH; 1,5mgh = mgH; h = H/1,5 = 2H/3 = 2 · 30/3 = 20 м.
Ответ: h = 20 м.
На искомой высоте h: Eк + Eп = E, причём Eк = Eп/2. Тогда Eп/2 + Eп = mgH; 1,5mgh = mgH; h = H/1,5 = 2H/3 = 2 · 30/3 = 20 м.
Ответ: h = 20 м.
Задача для повторения 43. На рисунке 227 приведён график изменения с течением времени проекции вектора скорости одной из точек сиденья качелей. С какой частотой происходит это изменение?
Какова частота изменения скорости любой другой точки качелей, совершающей колебания?
[рисунок 227: график vₓ(t), vₓ в м/с (от −3 до 3), t в секундах; синусоида: начинается в нуле при t = 0, достигает +3 м/с при t = 0,5 с, пересекает ось при t = 1 с, достигает −3 м/с при t = 1,5 с, равна нулю при t = 2 с, снова +3 м/с при t = 2,5 с и ноль при t = 3 с]
[рисунок 227: график vₓ(t), vₓ в м/с (от −3 до 3), t в секундах; синусоида: начинается в нуле при t = 0, достигает +3 м/с при t = 0,5 с, пересекает ось при t = 1 с, достигает −3 м/с при t = 1,5 с, равна нулю при t = 2 с, снова +3 м/с при t = 2,5 с и ноль при t = 3 с]
По графику одно полное колебание (период) длится от t = 0 до t = 2 с: скорость выходит из нуля, достигает максимума, возвращается к нулю, достигает минимума и снова равна нулю — затем всё повторяется. Период T = 2 с.
Частота ν = 1/T = 1/2 с = 0,5 Гц.
Все точки качелей колеблются как одно тело, поэтому частота изменения скорости у любой точки такая же — 0,5 Гц (различаются лишь амплитуды скорости).
Ответ: 0,5 Гц; для любой точки качелей также 0,5 Гц.
Частота ν = 1/T = 1/2 с = 0,5 Гц.
Все точки качелей колеблются как одно тело, поэтому частота изменения скорости у любой точки такая же — 0,5 Гц (различаются лишь амплитуды скорости).
Ответ: 0,5 Гц; для любой точки качелей также 0,5 Гц.
Задача для повторения 44. Струна арфы совершает гармонические колебания с частотой 40 Гц. Постройте график зависимости x(t) для средней точки струны, амплитуда колебаний которой равна 3 мм.
Годится ли построенный вами график для других точек той же самой струны; для средних точек других струн арфы? Почему?
Годится ли построенный вами график для других точек той же самой струны; для средних точек других струн арфы? Почему?
Период колебаний T = 1/ν = 1/40 с = 0,025 с = 25 мс. Амплитуда A = 3 мм. Считаем, что в момент t = 0 точка проходит положение равновесия (x = 0), тогда x = A sin(2πνt) = 3 sin(80πt) мм.
Характерные точки за один период: t = 0 — x = 0; t = T/4 = 6,25 мс — x = +3 мм; t = T/2 = 12,5 мс — x = 0; t = 3T/4 ≈ 18,75 мс — x = −3 мм; t = T = 25 мс — x = 0. Строим синусоиду и повторяем её на следующем периоде (см. рисунок).
1) Для других точек той же струны график не годится: вся струна колеблется с одной частотой (период тот же), но амплитуды у разных точек разные (у закреплённых концов она равна нулю).
2) Для средних точек других струн арфы график не годится: у других струн другие частоты (и периоды), поэтому синусоиды имели бы другой период.
Оговорка: начальная фаза в условии не задана; выбрано x(0) = 0 (при другом начале отсчёта времени график сдвигается по оси t).
Характерные точки за один период: t = 0 — x = 0; t = T/4 = 6,25 мс — x = +3 мм; t = T/2 = 12,5 мс — x = 0; t = 3T/4 ≈ 18,75 мс — x = −3 мм; t = T = 25 мс — x = 0. Строим синусоиду и повторяем её на следующем периоде (см. рисунок).
1) Для других точек той же струны график не годится: вся струна колеблется с одной частотой (период тот же), но амплитуды у разных точек разные (у закреплённых концов она равна нулю).
2) Для средних точек других струн арфы график не годится: у других струн другие частоты (и периоды), поэтому синусоиды имели бы другой период.
Оговорка: начальная фаза в условии не задана; выбрано x(0) = 0 (при другом начале отсчёта времени график сдвигается по оси t).