Задачи для повторения — с. 335
Задача для повторения 15. Лыжник скатывается с горы, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением 0,1 м/с². Напишите законы изменения координаты и проекции вектора скорости лыжника, если его начальные координата и скорость равны нулю.
Общие законы равноускоренного движения: x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2 и vₓ = v₀ₓ + aₓt. При x₀ = 0, v₀ₓ = 0, aₓ = 0,1 м/с² (ось X направлена вдоль движения):
x = 0,1t²/2 = 0,05t² (м);
vₓ = 0,1t (м/с).
x = 0,1t²/2 = 0,05t² (м);
vₓ = 0,1t (м/с).
Задача для повторения 16. Велосипедист движется по шоссе прямолинейно со скоростью, модуль которой равен 40 км/ч относительно земли. Параллельно ему движется автомобиль. Что можно сказать о модуле вектора скорости и направлении движения автомобиля относительно земли, если относительно велосипедиста модуль скорости автомобиля равен: а) 0; б) 10 км/ч; в) 40 км/ч; г) 60 км/ч?
Направим ось вдоль скорости велосипедиста: vв = +40 км/ч. Скорость автомобиля относительно велосипедиста v_отн = vа − vв, поэтому vа = vв + v_отн, а |v_отн| задан.
а) v_отн = 0: vа = 40 км/ч, автомобиль едет с той же скоростью и в ту же сторону, что и велосипедист.
б) |v_отн| = 10 км/ч: vа = 40 ± 10, то есть 50 км/ч или 30 км/ч; в обоих случаях автомобиль едет в ту же сторону, что и велосипедист (быстрее его или медленнее).
в) |v_отн| = 40 км/ч: vа = 40 + 40 = 80 км/ч (в ту же сторону) или vа = 40 − 40 = 0 (автомобиль стоит на месте относительно земли).
г) |v_отн| = 60 км/ч: vа = 40 + 60 = 100 км/ч (в ту же сторону, что и велосипедист) или vа = 40 − 60 = −20 км/ч (автомобиль едет со скоростью 20 км/ч в противоположную сторону).
Оговорка: в ответах учебника приведены только случаи б) и г).
а) v_отн = 0: vа = 40 км/ч, автомобиль едет с той же скоростью и в ту же сторону, что и велосипедист.
б) |v_отн| = 10 км/ч: vа = 40 ± 10, то есть 50 км/ч или 30 км/ч; в обоих случаях автомобиль едет в ту же сторону, что и велосипедист (быстрее его или медленнее).
в) |v_отн| = 40 км/ч: vа = 40 + 40 = 80 км/ч (в ту же сторону) или vа = 40 − 40 = 0 (автомобиль стоит на месте относительно земли).
г) |v_отн| = 60 км/ч: vа = 40 + 60 = 100 км/ч (в ту же сторону, что и велосипедист) или vа = 40 − 60 = −20 км/ч (автомобиль едет со скоростью 20 км/ч в противоположную сторону).
Оговорка: в ответах учебника приведены только случаи б) и г).
Задача для повторения 17. Скорость катера относительно воды в реке в 5 раз больше скорости течения воды относительно берега. Рассматривая движение катера относительно берега, определите, во сколько раз быстрее катер движется по течению, чем против него.
Пусть скорость течения u, тогда скорость катера относительно воды 5u. Относительно берега:
по течению v₁ = 5u + u = 6u;
против течения v₂ = 5u − u = 4u.
v₁/v₂ = 6u/4u = 1,5.
Ответ: в 1,5 раза быстрее.
по течению v₁ = 5u + u = 6u;
против течения v₂ = 5u − u = 4u.
v₁/v₂ = 6u/4u = 1,5.
Ответ: в 1,5 раза быстрее.
Задача для повторения 18. На тело действуют три силы: F₁ = 2 Н, F₂ = 5 Н и F₃ = 2 Н (рис. 223, а). С направлением какого из векторов (рис. 223, б) совпадает направление равнодействующей сил; ускорения тела?
[рисунок 223, а: клетчатое поле, из одной точки отходят три вектора: F⃗₁ — вверх на 2 клетки, F⃗₃ — вправо на 2 клетки, F⃗₂ — вниз на 5 клеток; рисунок 223, б: четыре вектора из одной точки на клетчатом поле: 1 — на 1 клетку вправо и 4 клетки вверх, 2 — на 2 клетки вправо и 3 клетки вверх, 3 — на 2 клетки вправо и 3 клетки вниз, 4 — на 1 клетку вправо и 4 клетки вниз]
[рисунок 223, а: клетчатое поле, из одной точки отходят три вектора: F⃗₁ — вверх на 2 клетки, F⃗₃ — вправо на 2 клетки, F⃗₂ — вниз на 5 клеток; рисунок 223, б: четыре вектора из одной точки на клетчатом поле: 1 — на 1 клетку вправо и 4 клетки вверх, 2 — на 2 клетки вправо и 3 клетки вверх, 3 — на 2 клетки вправо и 3 клетки вниз, 4 — на 1 клетку вправо и 4 клетки вниз]
Масштаб рисунка 223, а: 1 клетка = 1 Н (F₁ = 2 Н — 2 клетки, F₃ = 2 Н — 2 клетки, F₂ = 5 Н — 5 клеток). Равнодействующая — векторная сумма сил. Найдём её проекции (ось x вправо, ось y вверх):
Rₓ = F₃ = 2 Н;
Rᵧ = F₁ − F₂ = 2 − 5 = −3 Н.
Значит, равнодействующая направлена вправо на 2 клетки и вниз на 3 клетки (|R| = √(2² + 3²) = √13 ≈ 3,6 Н). Из векторов на рисунке 223, б этому соответствует вектор 3 (2 клетки вправо, 3 клетки вниз).
По второму закону Ньютона a⃗ = R⃗/m, ускорение сонаправлено с равнодействующей силой, поэтому тоже направлено как вектор 3.
Ответ: с направлением вектора 3 (и равнодействующей, и ускорения).
Rₓ = F₃ = 2 Н;
Rᵧ = F₁ − F₂ = 2 − 5 = −3 Н.
Значит, равнодействующая направлена вправо на 2 клетки и вниз на 3 клетки (|R| = √(2² + 3²) = √13 ≈ 3,6 Н). Из векторов на рисунке 223, б этому соответствует вектор 3 (2 клетки вправо, 3 клетки вниз).
По второму закону Ньютона a⃗ = R⃗/m, ускорение сонаправлено с равнодействующей силой, поэтому тоже направлено как вектор 3.
Ответ: с направлением вектора 3 (и равнодействующей, и ускорения).
Задача для повторения 19. Брусок массой m = 200 г движется по горизонтальной поверхности стола под действием силы F = 2 Н, направленной под углом 60° к горизонту (рис. 224). Чему равно ускорение бруска?
Трение пренебрежимо мало.
[рисунок 224: брусок массы m на горизонтальной поверхности, ось X направлена вдоль поверхности вправо; от бруска вверх-вправо направлена сила F⃗ под углом 60° к горизонтали]
[рисунок 224: брусок массы m на горизонтальной поверхности, ось X направлена вдоль поверхности вправо; от бруска вверх-вправо направлена сила F⃗ под углом 60° к горизонтали]
Ускорение вдоль поверхности создаёт только горизонтальная составляющая силы: Fₓ = F cos 60° = 2 · 0,5 = 1 Н. Вертикальная составляющая F sin 60° ≈ 1,7 Н меньше силы тяжести mg ≈ 2,0 Н, поэтому брусок от стола не отрывается; сила нормальной реакции уравновешивает остаток, и в горизонтальном направлении она не действует. Трения нет.
По второму закону Ньютона a = Fₓ/m = 1 Н / 0,2 кг = 5 м/с².
Ответ: a = 5 м/с².
По второму закону Ньютона a = Fₓ/m = 1 Н / 0,2 кг = 5 м/с².
Ответ: a = 5 м/с².
Задача для повторения 20. Мальчик держит в руках шарик массой 3,87 г и объёмом 3·10⁻³ м³. Что произойдёт с этим шариком, если его выпустить из рук?
Шарик находится в воздухе. Сравним действующие на него силы.
Сила тяжести: Fт = mg = 3,87·10⁻³ кг · 9,8 м/с² ≈ 3,79·10⁻² Н.
Архимедова сила: Fₐ = ρ_возд · g · V = 1,29 кг/м³ · 9,8 м/с² · 3·10⁻³ м³ ≈ 3,79·10⁻² Н.
Силы равны по модулю и противоположны по направлению, равнодействующая равна нулю (средняя плотность шарика 3,87·10⁻³ кг / 3·10⁻³ м³ = 1,29 кг/м³ — как у воздуха).
Ответ: шарик не будет ни подниматься, ни опускаться: он останется в покое там, где его выпустили (будет «висеть» в воздухе).
Оговорка: плотность воздуха принята равной 1,29 кг/м³ (нормальные условия).
Сила тяжести: Fт = mg = 3,87·10⁻³ кг · 9,8 м/с² ≈ 3,79·10⁻² Н.
Архимедова сила: Fₐ = ρ_возд · g · V = 1,29 кг/м³ · 9,8 м/с² · 3·10⁻³ м³ ≈ 3,79·10⁻² Н.
Силы равны по модулю и противоположны по направлению, равнодействующая равна нулю (средняя плотность шарика 3,87·10⁻³ кг / 3·10⁻³ м³ = 1,29 кг/м³ — как у воздуха).
Ответ: шарик не будет ни подниматься, ни опускаться: он останется в покое там, где его выпустили (будет «висеть» в воздухе).
Оговорка: плотность воздуха принята равной 1,29 кг/м³ (нормальные условия).
Задача для повторения 21. Стальной шар равномерно катится по горизонтальной поверхности и сталкивается с неподвижным алюминиевым шаром, в результате чего алюминиевый шар получает некоторое ускорение. Может ли при этом модуль ускорения стального шара быть равен нулю; быть больше или меньше ускорения алюминиевого шара?
Ответы обоснуйте.
По третьему закону Ньютона шары действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению: F_ст = F_ал = F. По второму закону Ньютона a = F/m, поэтому aст/aал = mал/mст.
1) Равным нулю ускорение стального шара быть не может: на него действует сила F ≠ 0 (со стороны алюминиевого шара), поскольку этот же шар получил ускорение.
2) Если масса стального шара больше массы алюминиевого (например, шары одинакового объёма: сталь плотнее алюминия), то ускорение стального шара меньше ускорения алюминиевого.
3) Если масса стального шара меньше массы алюминиевого, то его ускорение больше, чем у алюминиевого.
4) При равных массах ускорения по модулю были бы равны.
1) Равным нулю ускорение стального шара быть не может: на него действует сила F ≠ 0 (со стороны алюминиевого шара), поскольку этот же шар получил ускорение.
2) Если масса стального шара больше массы алюминиевого (например, шары одинакового объёма: сталь плотнее алюминия), то ускорение стального шара меньше ускорения алюминиевого.
3) Если масса стального шара меньше массы алюминиевого, то его ускорение больше, чем у алюминиевого.
4) При равных массах ускорения по модулю были бы равны.
Задача для повторения 22. Пусть Mз и Rз — соответственно масса и радиус земного шара, g₀ — ускорение свободного падения на поверхности Земли, а g — на высоте h. Исходя из формул g = GMз/(Rз + h)² и g₀ = GMз/Rз², выведите формулу g = g₀Rз²/(Rз + h)².
Из второй формулы выразим произведение GMз: GMз = g₀Rз².
Подставим его в первую формулу: g = GMз/(Rз + h)² = g₀Rз²/(Rз + h)², что и требовалось.
Подставим его в первую формулу: g = GMз/(Rз + h)² = g₀Rз²/(Rз + h)², что и требовалось.