Задачи для повторения (продолжение) — с. 336
Задача для повторения 23. Имеются две абсолютно упругие пружины. К первой пружине подвешен груз массой 500 г, а ко второй — 200 г. При этом удлинения пружин оказались равными. Жёсткость какой пружины больше?
Во сколько раз?
Груз в равновесии: сила упругости равна силе тяжести, kx = mg, откуда k = mg/x.
Удлинения одинаковы, поэтому k₁/k₂ = m₁/m₂ = 500 г / 200 г = 2,5.
Ответ: жёсткость первой пружины (с грузом 500 г) больше в 2,5 раза.
Удлинения одинаковы, поэтому k₁/k₂ = m₁/m₂ = 500 г / 200 г = 2,5.
Ответ: жёсткость первой пружины (с грузом 500 г) больше в 2,5 раза.
Задача для повторения 24. Тело массой m₁ = 100 г скользит без трения по горизонтальной плоскости под действием груза массой m₂ = 300 г, связанного с телом нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 225). С каким ускорением движется тело массой m₁?
[рисунок 225: тело m₁ лежит на горизонтальной поверхности стола у края; нить от него перекинута через неподвижный блок на углу стола, на нити вертикально подвешен груз m₂; рядом показано направление ускорения свободного падения g⃗ вниз]
[рисунок 225: тело m₁ лежит на горизонтальной поверхности стола у края; нить от него перекинута через неподвижный блок на углу стола, на нити вертикально подвешен груз m₂; рядом показано направление ускорения свободного падения g⃗ вниз]
Нить нерастяжима, поэтому тела движутся с одинаковым по модулю ускорением a; блок и нить невесомы, поэтому сила натяжения T одинакова с обеих сторон.
Для тела m₁ (по горизонтали): m₁a = T.
Для груза m₂ (по вертикали, вниз): m₂a = m₂g − T.
Сложим уравнения: (m₁ + m₂)a = m₂g, откуда a = m₂g/(m₁ + m₂) = 0,3 кг · 9,8 м/с² / 0,4 кг ≈ 7,35 м/с² ≈ 7,4 м/с².
Ответ: a ≈ 7,4 м/с².
Оговорка: в ответах учебника 7,5 м/с² (при g = 10 м/с²).
Для тела m₁ (по горизонтали): m₁a = T.
Для груза m₂ (по вертикали, вниз): m₂a = m₂g − T.
Сложим уравнения: (m₁ + m₂)a = m₂g, откуда a = m₂g/(m₁ + m₂) = 0,3 кг · 9,8 м/с² / 0,4 кг ≈ 7,35 м/с² ≈ 7,4 м/с².
Ответ: a ≈ 7,4 м/с².
Оговорка: в ответах учебника 7,5 м/с² (при g = 10 м/с²).
Задача для повторения 25. Мальчик стоит на напольных весах в лифте. Куда и с каким ускорением движется лифт, если весы показывают 33 кг?
Известно, что в покоящемся лифте весы показывают 30 кг.
В покоящемся лифте весы показывают массу мальчика: m = 30 кг. Весы измеряют силу давления (вес) P, а показание в килограммах равно P/g. Сейчас P = 33 кг · g > mg, то есть вес стал больше силы тяжести — мальчик испытывает перегрузку, значит, ускорение лифта направлено вверх.
Запишем второй закон Ньютона для мальчика (ось вверх): N − mg = ma, где N = P = 33g (модуль веса равен силе реакции весов).
33g − 30g = 30a; a = 3g/30 = 0,1g ≈ 0,98 м/с² ≈ 1 м/с².
Ответ: ускорение лифта направлено вверх, a ≈ 1 м/с² (лифт либо разгоняется при движении вверх, либо тормозит при движении вниз).
Запишем второй закон Ньютона для мальчика (ось вверх): N − mg = ma, где N = P = 33g (модуль веса равен силе реакции весов).
33g − 30g = 30a; a = 3g/30 = 0,1g ≈ 0,98 м/с² ≈ 1 м/с².
Ответ: ускорение лифта направлено вверх, a ≈ 1 м/с² (лифт либо разгоняется при движении вверх, либо тормозит при движении вниз).
Задача для повторения 26. Шайбе, находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, сообщают горизонтальную скорость v₀ = 3 м/c. Через какое время остановится шайба, если коэффициент трения шайбы о плоскость μ = 0,3?
Единственная горизонтальная сила — сила трения скольжения Fтр = μmg. По второму закону Ньютона ma = μmg, поэтому модуль ускорения (торможения) a = μg = 0,3 · 9,8 ≈ 2,94 м/с².
Движение равнозамедленное до остановки: 0 = v₀ − at, откуда t = v₀/a = v₀/(μg) = 3/2,94 ≈ 1,0 с.
Ответ: t ≈ 1 с.
Движение равнозамедленное до остановки: 0 = v₀ − at, откуда t = v₀/a = v₀/(μg) = 3/2,94 ≈ 1,0 с.
Ответ: t ≈ 1 с.
Задача для повторения 27. На рисунке 226 изображены равные по массе шарики 1 и 2, привязанные к нитям длиной r и 2r соответственно и движущиеся по окружностям с одинаковой по модулю линейной скоростью v⃗. Сравните центростремительные ускорения, с которыми движутся шарики, их угловые скорости и силы натяжения нитей.
[рисунок 226: две окружности с центрами O₁ и O₂; у шарика 1 радиус окружности r, у шарика 2 — радиус 2r; в точке на окружности у каждого шарика показан вектор скорости v⃗, направленный вверх по касательной]
[рисунок 226: две окружности с центрами O₁ и O₂; у шарика 1 радиус окружности r, у шарика 2 — радиус 2r; в точке на окружности у каждого шарика показан вектор скорости v⃗, направленный вверх по касательной]
Шарики движутся по окружностям радиусов r₁ = r и r₂ = 2r с одинаковой скоростью v.
1) Центростремительное ускорение aц = v²/r: aц1/aц2 = r₂/r₁ = 2r/r = 2. Ускорение первого шарика в 2 раза больше.
2) Угловая скорость ω = v/r: ω₁/ω₂ = r₂/r₁ = 2. Угловая скорость первого шарика в 2 раза больше.
3) Сила натяжения нити сообщает шарику центростремительное ускорение: T = maц. Массы равны, поэтому T₁/T₂ = aц1/aц2 = 2. Натяжение нити первого шарика в 2 раза больше.
1) Центростремительное ускорение aц = v²/r: aц1/aц2 = r₂/r₁ = 2r/r = 2. Ускорение первого шарика в 2 раза больше.
2) Угловая скорость ω = v/r: ω₁/ω₂ = r₂/r₁ = 2. Угловая скорость первого шарика в 2 раза больше.
3) Сила натяжения нити сообщает шарику центростремительное ускорение: T = maц. Массы равны, поэтому T₁/T₂ = aц1/aц2 = 2. Натяжение нити первого шарика в 2 раза больше.
Задача для повторения 28. Исходя из формулы aц. с = v²/r для определения центростремительного ускорения при движении по окружности и формулы g = g₀Rз²/(Rз + h)², выведенной вами при решении задачи 22, получите формулу для расчёта первой космической скорости на высоте h над поверхностью Земли: v = √(g₀Rз²/(Rз + h)).
Первая космическая скорость — скорость движения по круговой орбите, при котором центростремительным ускорением служит ускорение свободного падения g на данной высоте. Радиус орбиты r = Rз + h.
Приравняем: v²/(Rз + h) = g = g₀Rз²/(Rз + h)².
Умножим обе части на (Rз + h): v² = g₀Rз²/(Rз + h).
Отсюда v = √(g₀Rз²/(Rз + h)), что и требовалось.
Приравняем: v²/(Rз + h) = g = g₀Rз²/(Rз + h)².
Умножим обе части на (Rз + h): v² = g₀Rз²/(Rз + h).
Отсюда v = √(g₀Rз²/(Rз + h)), что и требовалось.
Задача для повторения 29. Среднее значение радиуса Земли равно 6400 км, а ускорение свободного падения у земной поверхности 9,8 м/с². Пользуясь только этими данными, вычислите первую космическую скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли.
Используем формулу из задачи 28: v = √(g₀Rз²/(Rз + h)) = Rз√(g₀/(Rз + h)).
Rз = 6,4·10⁶ м, Rз + h = 6400 + 3600 = 10 000 км = 1,0·10⁷ м.
v = 6,4·10⁶ · √(9,8/10⁷) = 6,4·10⁶ · 9,9·10⁻⁴ ≈ 6,3·10³ м/с.
Ответ: v ≈ 6,3 км/с.
Rз = 6,4·10⁶ м, Rз + h = 6400 + 3600 = 10 000 км = 1,0·10⁷ м.
v = 6,4·10⁶ · √(9,8/10⁷) = 6,4·10⁶ · 9,9·10⁻⁴ ≈ 6,3·10³ м/с.
Ответ: v ≈ 6,3 км/с.
Задача для повторения 30. Постройте график зависимости проекции вектора скорости от времени для тела, свободно падающего в течение 4 с (v₀ = 0).
Направим ось y вертикально вниз. При свободном падении без начальной скорости vᵧ = gt = 9,8t (м/с). Это прямая, проходящая через начало координат.
Таблица значений: t = 0 с — vᵧ = 0; t = 1 с — 9,8 м/с; t = 2 с — 19,6 м/с; t = 3 с — 29,4 м/с; t = 4 с — 39,2 м/с.
Отложим точки и проведём через них прямую от t = 0 до t = 4 с (см. рисунок).
Таблица значений: t = 0 с — vᵧ = 0; t = 1 с — 9,8 м/с; t = 2 с — 19,6 м/с; t = 3 с — 29,4 м/с; t = 4 с — 39,2 м/с.
Отложим точки и проведём через них прямую от t = 0 до t = 4 с (см. рисунок).
Задача для повторения 31. Рейка длиной 70 см выдвинута на 25 см за край стола. При этом она не опрокидывается, если к её выступающему концу подвешен груз массой не более 80 г. Чему равна масса рейки?
Рейка однородная, её центр тяжести лежит посередине, на расстоянии 70/2 = 35 см от каждого конца. Рейка находится на грани опрокидывания вокруг края стола. Центр тяжести лежит на столе на расстоянии 35 − 25 = 10 см от края.
Условие равновесия (правило моментов относительно края стола): момент силы тяжести рейки m g · 10 см равен моменту силы тяжести груза mг g · 25 см.
m · 10 = 80 г · 25; m = 2000/10 = 200 г.
Ответ: масса рейки 200 г.
Условие равновесия (правило моментов относительно края стола): момент силы тяжести рейки m g · 10 см равен моменту силы тяжести груза mг g · 25 см.
m · 10 = 80 г · 25; m = 2000/10 = 200 г.
Ответ: масса рейки 200 г.