Задачи для повторения (продолжение) — с. 338
Задача для повторения 45. Увеличили или уменьшили длину маятника, если: а) период его колебаний сначала был 0,3 с, а после изменения длины стал 0,1 с; б) частота его колебаний вначале была равна 5 Гц, а потом уменьшилась до 3 Гц?
Период математического маятника T = 2π√(l/g), то есть T пропорционален √l: чем длиннее маятник, тем больше период (меньше частота).
а) Период уменьшился с 0,3 с до 0,1 с (в 3 раза), значит, длину маятника уменьшили. Так как l ~ T², длина уменьшилась в 3² = 9 раз.
б) Частота уменьшилась с 5 Гц до 3 Гц, значит, период увеличился, и длину маятника увеличили. Так как l ~ 1/ν², длина увеличилась в (5/3)² = 25/9 ≈ 2,8 раза.
Ответ: а) уменьшили (в 9 раз); б) увеличили (≈ в 2,8 раза).
а) Период уменьшился с 0,3 с до 0,1 с (в 3 раза), значит, длину маятника уменьшили. Так как l ~ T², длина уменьшилась в 3² = 9 раз.
б) Частота уменьшилась с 5 Гц до 3 Гц, значит, период увеличился, и длину маятника увеличили. Так как l ~ 1/ν², длина увеличилась в (5/3)² = 25/9 ≈ 2,8 раза.
Ответ: а) уменьшили (в 9 раз); б) увеличили (≈ в 2,8 раза).
Задача для повторения 46. Как изменится период колебаний маятника при увеличении длины его нити в 4 раза?
T = 2π√(l/g). При l′ = 4l период T′ = 2π√(4l/g) = 2 · 2π√(l/g) = 2T.
Ответ: период увеличится в 2 раза.
Ответ: период увеличится в 2 раза.
Задача для повторения 47. Как добиться звучания одного из двух одинаковых камертонов на резонаторных ящиках, не дотрагиваясь до него?
Как при этом следует расположить отверстия резонаторных ящиков по отношению друг к другу?
Ответы поясните. Какое физическое явление лежит в основе данного опыта?
Нужно поставить камертоны рядом (на небольшом расстоянии) так, чтобы отверстия их резонаторных ящиков были обращены друг к другу и находились на одной прямой. Затем ударить по одному камертону резиновым молоточком, дать ему прозвучать некоторое время и заглушить его (например, прикоснувшись рукой). Второй камертон, которого никто не касался, останется звучать.
Объяснение: звуковая волна от первого камертона, выходя из отверстия ящика, попадает в отверстие второго ящика и периодически действует на второй камертон. Камертоны одинаковые, поэтому частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой второго камертона — он «раскачивается» и начинает громко звучать. Направленность отверстий друг на друга нужна, чтобы к нему попадала как можно большая часть звуковой энергии.
В основе опыта лежит явление резонанса — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы.
Объяснение: звуковая волна от первого камертона, выходя из отверстия ящика, попадает в отверстие второго ящика и периодически действует на второй камертон. Камертоны одинаковые, поэтому частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой второго камертона — он «раскачивается» и начинает громко звучать. Направленность отверстий друг на друга нужна, чтобы к нему попадала как можно большая часть звуковой энергии.
В основе опыта лежит явление резонанса — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы.
Задача для повторения 48. Качели периодически подталкивают рукой, т. е. действуют на них вынуждающей силой. На рисунке 228 приведён график зависимости амплитуды установившихся колебаний качелей от частоты вынуждающей силы.
а) При какой частоте воздействия на качели — 1 Гц или 3 Гц — амплитуда их установившихся колебаний будет больше?
б) С какой частотой надо подталкивать качели, чтобы амплитуда их установившихся колебаний достигла наибольшего значения?
в) Чему равна собственная частота качелей? На основании какого физического закона вы определили собственную частоту?
[рисунок 228: график A(ν): амплитуда A в метрах (от 0,1 до 0,7), частота ν в герцах (от 0 до 4); кривая начинается при ν = 0 на A = 0,2 м, плавно растёт, имеет максимум A = 0,6 м при ν = 2 Гц (проходит через A = 0,3 м при ν = 1 Гц), затем убывает: A = 0,2 м при ν = 3 Гц и A = 0,1 м при ν = 4 Гц]
а) При какой частоте воздействия на качели — 1 Гц или 3 Гц — амплитуда их установившихся колебаний будет больше?
б) С какой частотой надо подталкивать качели, чтобы амплитуда их установившихся колебаний достигла наибольшего значения?
в) Чему равна собственная частота качелей? На основании какого физического закона вы определили собственную частоту?
[рисунок 228: график A(ν): амплитуда A в метрах (от 0,1 до 0,7), частота ν в герцах (от 0 до 4); кривая начинается при ν = 0 на A = 0,2 м, плавно растёт, имеет максимум A = 0,6 м при ν = 2 Гц (проходит через A = 0,3 м при ν = 1 Гц), затем убывает: A = 0,2 м при ν = 3 Гц и A = 0,1 м при ν = 4 Гц]
а) По графику при ν = 1 Гц амплитуда A ≈ 0,3 м, а при ν = 3 Гц A ≈ 0,2 м. Значит, амплитуда больше при частоте воздействия 1 Гц.
б) Наибольшая амплитуда (0,6 м) достигается в максимуме кривой — при частоте воздействия 2 Гц.
в) Амплитуда вынужденных колебаний максимальна, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы (резонанс). Максимум приходится на 2 Гц, значит, собственная частота качелей равна 2 Гц. Определили её на основании явления резонанса.
Ответ: а) при 1 Гц; б) 2 Гц; в) 2 Гц, по условию резонанса.
Оговорка: резонанс — физическое явление, а не закон; в формулировке учебника «закон» понимается как закономерность.
б) Наибольшая амплитуда (0,6 м) достигается в максимуме кривой — при частоте воздействия 2 Гц.
в) Амплитуда вынужденных колебаний максимальна, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы (резонанс). Максимум приходится на 2 Гц, значит, собственная частота качелей равна 2 Гц. Определили её на основании явления резонанса.
Ответ: а) при 1 Гц; б) 2 Гц; в) 2 Гц, по условию резонанса.
Оговорка: резонанс — физическое явление, а не закон; в формулировке учебника «закон» понимается как закономерность.
Задача для повторения 49. Сделайте чертёж и изобразите на нём тени и полутени от мяча, освещённого двумя точечными источниками света S₁ и S₂.
Каждый точечный источник даёт за мячом свой конус тени, границы которого — лучи, касательные к шару и идущие из источника (свет распространяется прямолинейно).
На чертеже: проводим из S₁ и S₂ по две касательные к мячу и продолжаем их за мяч до экрана. Получаем два конуса тени (тень от S₁ и тень от S₂), которые частично перекрываются.
1) Область, куда не попадает свет ни от S₁, ни от S₂ (общая часть конусов), — полная тень (на рисунке самая тёмная, на экране отмечена чёрным отрезком).
2) Области, куда не попадает свет только от одного источника (в тени одного конуса, но освещённые другим), — полутень (светло-серые; на экране две полосы по обе стороны от тени).
3) За пределами конусов экран освещён обоими источниками.
Источник, расположенный выше, отбрасывает тень ниже, нижний — выше, поэтому тени на экране смещены в разные стороны.
На чертеже: проводим из S₁ и S₂ по две касательные к мячу и продолжаем их за мяч до экрана. Получаем два конуса тени (тень от S₁ и тень от S₂), которые частично перекрываются.
1) Область, куда не попадает свет ни от S₁, ни от S₂ (общая часть конусов), — полная тень (на рисунке самая тёмная, на экране отмечена чёрным отрезком).
2) Области, куда не попадает свет только от одного источника (в тени одного конуса, но освещённые другим), — полутень (светло-серые; на экране две полосы по обе стороны от тени).
3) За пределами конусов экран освещён обоими источниками.
Источник, расположенный выше, отбрасывает тень ниже, нижний — выше, поэтому тени на экране смещены в разные стороны.
Задача для повторения 50. Тень от штанги футбольных ворот утром и вечером длиннее, чем днём. Меняется ли в течение дня длина тени от перекладины ворот?
Перекладина ворот горизонтальна, то есть параллельна поверхности поля. Солнечные лучи практически параллельны друг другу, поэтому тень горизонтального отрезка на горизонтальной поверхности — такой же отрезок той же длины и той же направленности (как «сдвинутая» копия перекладины). Длина тени вертикальной штанги зависит от высоты Солнца (утром и вечером Солнце низко, тень длинная), а тень горизонтальной перекладины от высоты Солнца не зависит.
Ответ: длина тени от перекладины в течение дня не меняется (равна длине перекладины); меняется лишь положение тени на поле.
Ответ: длина тени от перекладины в течение дня не меняется (равна длине перекладины); меняется лишь положение тени на поле.
Задача для повторения 51. Девочка стоит перед плоским зеркалом на расстоянии 0,5 м от него. Чему будет равно расстояние между ней и её изображением, если девочка отступит на 1 м дальше от зеркала?
Изображение в плоском зеркале находится за зеркалом на таком же расстоянии, как предмет перед ним. После того как девочка отступит, расстояние до зеркала станет 0,5 + 1 = 1,5 м. Изображение будет на расстоянии 1,5 м за зеркалом, поэтому расстояние между девочкой и изображением равно 1,5 + 1,5 = 3 м.
Ответ: 3 м.
Ответ: 3 м.
Задача для повторения 52. Как представляется точка, находящаяся над поверхностью воды, для глаза, смотрящего из воды, — приближённой к поверхности или удалённой?
Ответ поясните чертежом.
Лучи от точки S идут в воздухе к поверхности воды и преломляются, переходя в воду. Вода оптически более плотная среда (n ≈ 1,33), поэтому угол преломления меньше угла падения: лучи в воде идут круче к перпендикуляру. Глаз в воде воспринимает лучи, как идущие по прямым линиям из точки, где пересекаются их продолжения назад (штриховые линии). Эти продолжения пересекаются выше точки S: в точке S′ (кажущееся положение). Для малых углов высота кажущегося положения над водой h′ = nh ≈ 1,33h.
Ответ: точка кажется глазу, смотрящему из воды, удалённой от поверхности — расположенной выше, чем на самом деле.
Ответ: точка кажется глазу, смотрящему из воды, удалённой от поверхности — расположенной выше, чем на самом деле.
Задача для повторения 53. Может ли угол преломления быть равен углу падения?
Да, может в двух случаях.
1) Луч падает перпендикулярно поверхности раздела сред: угол падения 0°, луч не преломляется, угол преломления тоже 0°.
2) Показатели преломления (оптические плотности) обеих сред одинаковы (n₁ = n₂): по закону преломления sin α/sin γ = n₂/n₁ = 1, поэтому γ = α при любом угле падения.
В остальных случаях углы различны.
1) Луч падает перпендикулярно поверхности раздела сред: угол падения 0°, луч не преломляется, угол преломления тоже 0°.
2) Показатели преломления (оптические плотности) обеих сред одинаковы (n₁ = n₂): по закону преломления sin α/sin γ = n₂/n₁ = 1, поэтому γ = α при любом угле падения.
В остальных случаях углы различны.
Задача для повторения 54. Рассеивающая тонкая линза даёт изображение предмета. Как изменится изображение, если половину линзы закрыть непрозрачным экраном?
Каждая точка предмета посылает на линзу широкий пучок лучей, и любая часть линзы по отдельности строит изображение этой точки в том же месте. Если закрыть половину линзы, через оставшуюся половину пройдёт лишь половина лучей, но они по-прежнему создают изображение каждой точки в том же месте.
Ответ: положение, размеры и форма изображения не изменятся (оно остаётся целым: мнимым, прямым, уменьшенным), но станет менее ярким (освещённость уменьшится примерно вдвое).
Ответ: положение, размеры и форма изображения не изменятся (оно остаётся целым: мнимым, прямым, уменьшенным), но станет менее ярким (освещённость уменьшится примерно вдвое).
Задача для повторения 55. У какой линзы оптическая сила равна нулю?
Оптическая сила D = 1/F, поэтому D = 0 при бесконечно большом фокусном расстоянии. Такая «линза» не собирает и не рассеивает лучи: это плоскопараллельная стеклянная пластинка (обе поверхности плоские) — как обычное оконное стекло. Её поверхности не искривлены, и параллельный пучок остаётся параллельным.
Ответ: у плоскопараллельной пластинки (бесконечное фокусное расстояние).
Ответ: у плоскопараллельной пластинки (бесконечное фокусное расстояние).
Задача для повторения 56. Укажите дальнейший ход луча света после прохождения собирающей линзы (рис. 229).
[рисунок 229: тонкая собирающая линза с главной оптической осью, отмечены точки 2F, F, O, F, 2F; падающий луч идёт снизу слева вверх вправо, пересекает главную ось между левым фокусом F и линзой и попадает в линзу выше оси; после линзы показаны четыре возможных направления (штриховые лучи): 1 — вниз вправо, через правый фокус F; 2 — вниз вправо, через правую точку 2F; 3 — горизонтально вправо, параллельно оси; 4 — вверх вправо]
[рисунок 229: тонкая собирающая линза с главной оптической осью, отмечены точки 2F, F, O, F, 2F; падающий луч идёт снизу слева вверх вправо, пересекает главную ось между левым фокусом F и линзой и попадает в линзу выше оси; после линзы показаны четыре возможных направления (штриховые лучи): 1 — вниз вправо, через правый фокус F; 2 — вниз вправо, через правую точку 2F; 3 — горизонтально вправо, параллельно оси; 4 — вверх вправо]
Падающий луч пересекает ось между фокусом и линзой, то есть он идёт так, как будто выходит из точки S, лежащей ближе фокуса. Построим ход луча с помощью побочной оси: проведём через оптический центр O линзы луч, параллельный падающему (он проходит без преломления); все параллельные ему лучи после линзы пересекаются в точке фокальной плоскости, через которую проходит эта побочная ось. Эта точка лежит в правой фокальной плоскости выше главной оси (побочная ось идёт круто вверх), поэтому преломлённый луч идёт вверх и вправо, но менее круто, чем падающий.
Поскольку предмет S находится между линзой и фокусом, лучи после линзы расходятся: их продолжения назад пересекаются в точке S′ — мнимом, увеличенном изображении (штриховая линия).
Ответ: преломлённый луч идёт вверх вправо — это луч 4.
Поскольку предмет S находится между линзой и фокусом, лучи после линзы расходятся: их продолжения назад пересекаются в точке S′ — мнимом, увеличенном изображении (штриховая линия).
Ответ: преломлённый луч идёт вверх вправо — это луч 4.