Задачи для повторения — с. 334
Задача для повторения 6. Туристы сплавляются на плоту по реке. На рисунке 221 приведён график изменения со временем координаты плота относительно места стоянки туристов (x = 0). Начало наблюдения совпадает с моментом спуска плота на воду и началом движения. Где плот был спущен на воду: от места стоянки, выше по течению или ниже?
Определите начальную координату и скорость плота, запишите его закон движения.
[рисунок 221: график x(t), x в метрах (от −10 до 14), t в секундах (от 0 до 14); прямая линия идёт вверх от точки t = 0, x = −10 м, пересекает ось t около t = 5 с и заканчивается в точке t = 12 с, x = 14 м]
[рисунок 221: график x(t), x в метрах (от −10 до 14), t в секундах (от 0 до 14); прямая линия идёт вверх от точки t = 0, x = −10 м, пересекает ось t около t = 5 с и заканчивается в точке t = 12 с, x = 14 м]
По графику начальная координата плота x₀ = −10 м (при t = 0).
Плот движется в сторону возрастания координаты, проходит через x = 0 (место стоянки) и уходит дальше. Плот плывёт по течению, значит, он был спущен на воду выше по течению от места стоянки, в 10 м от неё.
Скорость плота (график — прямая, движение равномерное): vₓ = Δx/Δt = (14 − (−10)) / 12 = 24/12 = 2 м/с.
Закон движения: x = x₀ + vₓt = −10 + 2t (м).
Ответ: выше по течению; x₀ = −10 м; v = 2 м/с; x = −10 + 2t (м).
Плот движется в сторону возрастания координаты, проходит через x = 0 (место стоянки) и уходит дальше. Плот плывёт по течению, значит, он был спущен на воду выше по течению от места стоянки, в 10 м от неё.
Скорость плота (график — прямая, движение равномерное): vₓ = Δx/Δt = (14 − (−10)) / 12 = 24/12 = 2 м/с.
Закон движения: x = x₀ + vₓt = −10 + 2t (м).
Ответ: выше по течению; x₀ = −10 м; v = 2 м/с; x = −10 + 2t (м).
Задача для повторения 7. Мальчик съезжает с горы на санках, двигаясь из состояния покоя прямолинейно и равноускоренно. За первые 2 с после начала движения его скорость возрастает до 3 м/с. Через какой промежуток времени от начала движения скорость мальчика станет равной 4,5 м/с?
Какой путь он пройдёт за этот промежуток времени?
Начальная скорость равна нулю, поэтому a = v₁/t₁ = 3/2 = 1,5 м/с².
Время достижения скорости 4,5 м/с: t₂ = v₂/a = 4,5/1,5 = 3 с.
Путь при движении из состояния покоя: s = at₂²/2 = 1,5 · 3²/2 = 6,75 м.
Ответ: через 3 с; 6,75 м.
Время достижения скорости 4,5 м/с: t₂ = v₂/a = 4,5/1,5 = 3 с.
Путь при движении из состояния покоя: s = at₂²/2 = 1,5 · 3²/2 = 6,75 м.
Ответ: через 3 с; 6,75 м.
Задача для повторения 8. Приведите формулу s⃗ = v⃗₀t + a⃗t²/2 к виду: s⃗ = (v⃗₀ + v⃗)/2 · t.
Ускорение определяется равенством a⃗ = (v⃗ − v⃗₀)/t, откуда a⃗t = v⃗ − v⃗₀. Подставим в исходную формулу, записав t²/2 = t · t/2:
s⃗ = v⃗₀t + a⃗t · t/2 = v⃗₀t + (v⃗ − v⃗₀)t/2 = (2v⃗₀ − v⃗₀ + v⃗)t/2 = (v⃗₀ + v⃗)/2 · t.
Получили s⃗ = (v⃗₀ + v⃗)/2 · t, что и требовалось. Смысл: перемещение равно произведению средней скорости (полусуммы начальной и конечной) на время.
s⃗ = v⃗₀t + a⃗t · t/2 = v⃗₀t + (v⃗ − v⃗₀)t/2 = (2v⃗₀ − v⃗₀ + v⃗)t/2 = (v⃗₀ + v⃗)/2 · t.
Получили s⃗ = (v⃗₀ + v⃗)/2 · t, что и требовалось. Смысл: перемещение равно произведению средней скорости (полусуммы начальной и конечной) на время.
Задача для повторения 9. Исходя из того, что sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 и aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t, выведите формулу aₓ = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2sₓ).
Из второго равенства t = (vₓ − v₀ₓ)/aₓ. Подставим в первую формулу:
sₓ = v₀ₓ(vₓ − v₀ₓ)/aₓ + aₓ(vₓ − v₀ₓ)²/(2aₓ²) = v₀ₓ(vₓ − v₀ₓ)/aₓ + (vₓ − v₀ₓ)²/(2aₓ).
Приведём к общему знаменателю 2aₓ:
sₓ = [2v₀ₓ(vₓ − v₀ₓ) + (vₓ − v₀ₓ)²]/(2aₓ) = (vₓ − v₀ₓ)(2v₀ₓ + vₓ − v₀ₓ)/(2aₓ) = (vₓ − v₀ₓ)(vₓ + v₀ₓ)/(2aₓ) = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2aₓ).
Выразим ускорение: aₓ = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2sₓ), что и требовалось.
sₓ = v₀ₓ(vₓ − v₀ₓ)/aₓ + aₓ(vₓ − v₀ₓ)²/(2aₓ²) = v₀ₓ(vₓ − v₀ₓ)/aₓ + (vₓ − v₀ₓ)²/(2aₓ).
Приведём к общему знаменателю 2aₓ:
sₓ = [2v₀ₓ(vₓ − v₀ₓ) + (vₓ − v₀ₓ)²]/(2aₓ) = (vₓ − v₀ₓ)(2v₀ₓ + vₓ − v₀ₓ)/(2aₓ) = (vₓ − v₀ₓ)(vₓ + v₀ₓ)/(2aₓ) = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2aₓ).
Выразим ускорение: aₓ = (vₓ² − v₀ₓ²)/(2sₓ), что и требовалось.
Задача для повторения 10. На рисунке 41 показаны положения шарика через каждую 0,1 с его равноускоренного падения из состояния покоя. Определите среднюю скорость шарика за первые 0,3 с от начала движения и его мгновенную скорость в конце этого промежутка времени.
[рисунок 41: вертикальная линейка в сантиметрах; положения шарика через каждые 0,1 с находятся примерно на отметках 0; 4,9; 19; 43; 78; 123 см]
[рисунок 41: вертикальная линейка в сантиметрах; положения шарика через каждые 0,1 с находятся примерно на отметках 0; 4,9; 19; 43; 78; 123 см]
По рисунку к моментам 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 с шарик находится на отметках 0; 4,9; 19; 43; 78 см (смещения за последовательные интервалы 4,9; 14,1; 24; 35 см).
Средняя скорость за первые 0,3 с: vср = s/t = 0,43 м / 0,3 с ≈ 1,4 м/с.
Мгновенную скорость в момент 0,3 с при равноускоренном движении можно найти как среднюю скорость на интервале от 0,2 до 0,4 с, симметричном относительно этого момента: v = (0,78 − 0,19) м / 0,2 с ≈ 2,9 м/с.
Проверка: v = gt = 9,8 · 0,3 ≈ 2,9 м/с.
Ответ: vср ≈ 1,4 м/с; v ≈ 2,9 м/с.
Средняя скорость за первые 0,3 с: vср = s/t = 0,43 м / 0,3 с ≈ 1,4 м/с.
Мгновенную скорость в момент 0,3 с при равноускоренном движении можно найти как среднюю скорость на интервале от 0,2 до 0,4 с, симметричном относительно этого момента: v = (0,78 − 0,19) м / 0,2 с ≈ 2,9 м/с.
Проверка: v = gt = 9,8 · 0,3 ≈ 2,9 м/с.
Ответ: vср ≈ 1,4 м/с; v ≈ 2,9 м/с.
Задача для повторения 11. На рисунке 222 приведён график зависимости проекции скорости лифта при разгоне от времени. Перечертите график в тетрадь и в тех же координатных осях постройте аналогичный график для скоростного лифта, ускорение которого в 3 раза больше, чем обычного.
[рисунок 222: клетчатое поле 8 × 6 клеток, оси vₓ (вверх) и t (вправо), подпись «Для обычного лифта»; прямая идёт из начала координат: за 3 клетки по t поднимается на 1 клетку, за 6 клеток — на 2 клетки, заканчивается в точке с t ≈ 7,7 клетки и vₓ ≈ 2,6 клетки]
[рисунок 222: клетчатое поле 8 × 6 клеток, оси vₓ (вверх) и t (вправо), подпись «Для обычного лифта»; прямая идёт из начала координат: за 3 клетки по t поднимается на 1 клетку, за 6 клеток — на 2 клетки, заканчивается в точке с t ≈ 7,7 клетки и vₓ ≈ 2,6 клетки]
При разгоне из состояния покоя vₓ = aₓt, график — прямая из начала координат, наклон которой определяется ускорением (aₓ равно отношению приращения vₓ к приращению t).
У обычного лифта по графику: за 3 клетки по оси t скорость растёт на 1 клетку, то есть a = 1/3 клетки на клетку.
У скоростного лифта ускорение в 3 раза больше: a′ = 3a = 1 клетка на клетку. Значит, график — прямая из того же начала координат, идущая круче: за каждые 3 клетки по t скорость растёт на 3 клетки, например, точки (1; 1), (2; 2), (3; 3), …, (6; 6). Красная прямая на рисунке и есть искомый график (чёрная — график обычного лифта).
У обычного лифта по графику: за 3 клетки по оси t скорость растёт на 1 клетку, то есть a = 1/3 клетки на клетку.
У скоростного лифта ускорение в 3 раза больше: a′ = 3a = 1 клетка на клетку. Значит, график — прямая из того же начала координат, идущая круче: за каждые 3 клетки по t скорость растёт на 3 клетки, например, точки (1; 1), (2; 2), (3; 3), …, (6; 6). Красная прямая на рисунке и есть искомый график (чёрная — график обычного лифта).
Задача для повторения 12. Автомобиль движется прямолинейно вдоль оси X. Закон изменения проекции вектора скорости автомобиля vₓ = 10 + 0,5t (м/с). Определите модуль и направление начальной скорости и ускорения автомобиля. Как меняется модуль вектора скорости автомобиля?
Сравниваем с общей формулой vₓ = v₀ₓ + aₓt: v₀ₓ = 10 м/с, aₓ = 0,5 м/с².
Проекции положительны, значит, и начальная скорость, и ускорение направлены вдоль оси X (в одну сторону): |v₀| = 10 м/с, |a| = 0,5 м/с².
Так как скорость и ускорение сонаправлены, модуль скорости равномерно возрастает: каждую секунду на 0,5 м/с (движение равноускоренное).
Ответ: v₀ = 10 м/с и a = 0,5 м/с², оба вектора направлены по оси X; модуль скорости увеличивается.
Проекции положительны, значит, и начальная скорость, и ускорение направлены вдоль оси X (в одну сторону): |v₀| = 10 м/с, |a| = 0,5 м/с².
Так как скорость и ускорение сонаправлены, модуль скорости равномерно возрастает: каждую секунду на 0,5 м/с (движение равноускоренное).
Ответ: v₀ = 10 м/с и a = 0,5 м/с², оба вектора направлены по оси X; модуль скорости увеличивается.
Задача для повторения 13. От удара клюшкой шайба приобрела начальную скорость 5 м/с и стала скользить по льду с ускорением 1 м/с². Запишите уравнение зависимости vₓ(t) для шайбы и постройте соответствующий этому уравнению график.
Шайба скользит и тормозит, поэтому ускорение направлено против скорости. Направим ось X по движению: v₀ₓ = 5 м/с, aₓ = −1 м/с².
Уравнение: vₓ = v₀ₓ + aₓt = 5 − t (м/с).
График — прямая, наклонённая вниз: при t = 0 vₓ = 5 м/с; при t = 5 с vₓ = 0 (шайба останавливается). Строим отрезок между точками (0; 5) и (5; 0).
Ответ: vₓ = 5 − t (м/с); график — отрезок прямой от (0 с; 5 м/с) до (5 с; 0).
Уравнение: vₓ = v₀ₓ + aₓt = 5 − t (м/с).
График — прямая, наклонённая вниз: при t = 0 vₓ = 5 м/с; при t = 5 с vₓ = 0 (шайба останавливается). Строим отрезок между точками (0; 5) и (5; 0).
Ответ: vₓ = 5 − t (м/с); график — отрезок прямой от (0 с; 5 м/с) до (5 с; 0).
Задача для повторения 14. Два лифта — обычный и скоростной — одновременно приходят в движение и в течение одного и того же промежутка времени движутся равноускоренно. Во сколько раз путь, который пройдёт за это время скоростной лифт, больше пути, пройденного обычным лифтом, если его ускорение в 3 раза превышает ускорение обычного лифта?
Во сколько раз бóльшую скорость по сравнению с обычным лифтом приобретёт скоростной лифт к концу этого промежутка времени?
Лифты начинают движение из состояния покоя. Пусть a — ускорение обычного лифта, 3a — скоростного, t — общее время.
Пути: s = at²/2 и s′ = 3at²/2, поэтому s′/s = 3.
Скорости: v = at и v′ = 3at, поэтому v′/v = 3.
Ответ: путь и скорость скоростного лифта больше в 3 раза.
Пути: s = at²/2 и s′ = 3at²/2, поэтому s′/s = 3.
Скорости: v = at и v′ = 3at, поэтому v′/v = 3.
Ответ: путь и скорость скоростного лифта больше в 3 раза.