Задачи для повторения — с. 333
Задача для повторения 1. Для каждого из векторов, изображённых на рисунке 219, определите:
а) координаты начала и конца;
б) проекции на ось y;
в) модули проекций на ось y;
г) модули векторов.
[рисунок 219: координатная сетка, x и y в сантиметрах; пять векторов: a⃗ — вертикальный, направлен вниз, от точки на уровне y = 5 до точки на уровне y = 2, расположен посередине между осью y и линией x = 1; b⃗ — от точки на оси x с координатой 1 до точки с координатами x = 4, y = 4; c⃗ — горизонтальный, вправо, от x = 4 до x = 6 на уровне y = 1; d⃗ — от точки x = 6, y = 0 вниз-влево до точки x = 3, y = −4; e⃗ — вертикальный, направлен вверх, от y = −4 до y = −1, на той же вертикали, что и вектор a⃗]
а) координаты начала и конца;
б) проекции на ось y;
в) модули проекций на ось y;
г) модули векторов.
[рисунок 219: координатная сетка, x и y в сантиметрах; пять векторов: a⃗ — вертикальный, направлен вниз, от точки на уровне y = 5 до точки на уровне y = 2, расположен посередине между осью y и линией x = 1; b⃗ — от точки на оси x с координатой 1 до точки с координатами x = 4, y = 4; c⃗ — горизонтальный, вправо, от x = 4 до x = 6 на уровне y = 1; d⃗ — от точки x = 6, y = 0 вниз-влево до точки x = 3, y = −4; e⃗ — вертикальный, направлен вверх, от y = −4 до y = −1, на той же вертикали, что и вектор a⃗]
Координаты читаем по клеткам рисунка (1 клетка = 1 см). Проекция на ось y равна разности координат конца и начала: vᵧ = y_кон − y_нач. Модуль вектора находим по теореме Пифагора: |v⃗| = √(vₓ² + vᵧ²).
Вектор a⃗:
а) начало (0,5; 5), конец (0,5; 2);
б) aᵧ = 2 − 5 = −3 см;
в) |aᵧ| = 3 см;
г) |a⃗| = 3 см (вектор вертикален, aₓ = 0). Вектор b⃗:
а) начало (1; 0), конец (4; 4);
б) bᵧ = 4 − 0 = 4 см;
в) |bᵧ| = 4 см;
г) bₓ = 4 − 1 = 3 см, |b⃗| = √(3² + 4²) = 5 см. Вектор c⃗:
а) начало (4; 1), конец (6; 1);
б) cᵧ = 1 − 1 = 0;
в) |cᵧ| = 0;
г) |c⃗| = 2 см (cₓ = 2 см). Вектор d⃗:
а) начало (6; 0), конец (3; −4);
б) dᵧ = −4 − 0 = −4 см;
в) |dᵧ| = 4 см;
г) dₓ = 3 − 6 = −3 см, |d⃗| = √(3² + 4²) = 5 см. Вектор e⃗:
а) начало (0,5; −4), конец (0,5; −1);
б) eᵧ = −1 − (−4) = 3 см;
в) |eᵧ| = 3 см;
г) |e⃗| = 3 см.
а) начало (0,5; 5), конец (0,5; 2);
б) aᵧ = 2 − 5 = −3 см;
в) |aᵧ| = 3 см;
г) |a⃗| = 3 см (вектор вертикален, aₓ = 0). Вектор b⃗:
а) начало (1; 0), конец (4; 4);
б) bᵧ = 4 − 0 = 4 см;
в) |bᵧ| = 4 см;
г) bₓ = 4 − 1 = 3 см, |b⃗| = √(3² + 4²) = 5 см. Вектор c⃗:
а) начало (4; 1), конец (6; 1);
б) cᵧ = 1 − 1 = 0;
в) |cᵧ| = 0;
г) |c⃗| = 2 см (cₓ = 2 см). Вектор d⃗:
а) начало (6; 0), конец (3; −4);
б) dᵧ = −4 − 0 = −4 см;
в) |dᵧ| = 4 см;
г) dₓ = 3 − 6 = −3 см, |d⃗| = √(3² + 4²) = 5 см. Вектор e⃗:
а) начало (0,5; −4), конец (0,5; −1);
б) eᵧ = −1 − (−4) = 3 см;
в) |eᵧ| = 3 см;
г) |e⃗| = 3 см.
Задача для повторения 2. На рисунке 220 изображена траектория движения шарика, переместившегося из точки A в точку B. Определите:
а) координаты начального и конечного положений шарика;
б) проекции sₓ и sᵧ перемещения шарика;
в) модули |sₓ| и |sᵧ| проекций перемещения;
г) модуль перемещения |s⃗|.
[рисунок 220: координатная сетка, x и y в сантиметрах; плавная кривая, спускающаяся из точки A (x = 0, y = 2) вниз вправо и почти горизонтально подходящая к точке B (x = 12, y = −3)]
а) координаты начального и конечного положений шарика;
б) проекции sₓ и sᵧ перемещения шарика;
в) модули |sₓ| и |sᵧ| проекций перемещения;
г) модуль перемещения |s⃗|.
[рисунок 220: координатная сетка, x и y в сантиметрах; плавная кривая, спускающаяся из точки A (x = 0, y = 2) вниз вправо и почти горизонтально подходящая к точке B (x = 12, y = −3)]
Координаты точек берём по рисунку.
а) Начальное положение A(0; 2) см, конечное положение B(12; −3) см.
б) Проекция перемещения равна разности конечной и начальной координат: sₓ = 12 − 0 = 12 см; sᵧ = −3 − 2 = −5 см.
в) |sₓ| = 12 см; |sᵧ| = 5 см.
г) Модуль перемещения (длина отрезка AB): |s⃗| = √(sₓ² + sᵧ²) = √(12² + 5²) = √169 = 13 см.
Ответ: а) A(0; 2), B(12; −3); б) sₓ = 12 см, sᵧ = −5 см; в) 12 см и 5 см; г) 13 см.
а) Начальное положение A(0; 2) см, конечное положение B(12; −3) см.
б) Проекция перемещения равна разности конечной и начальной координат: sₓ = 12 − 0 = 12 см; sᵧ = −3 − 2 = −5 см.
в) |sₓ| = 12 см; |sᵧ| = 5 см.
г) Модуль перемещения (длина отрезка AB): |s⃗| = √(sₓ² + sᵧ²) = √(12² + 5²) = √169 = 13 см.
Ответ: а) A(0; 2), B(12; −3); б) sₓ = 12 см, sᵧ = −5 см; в) 12 см и 5 см; г) 13 см.
Задача для повторения 3. Катер переместился относительно пристани из точки A(–8 м; –2 м) в точку B(4 м; 3 м). Сделайте чертёж, совместив начало координат с пристанью и указав на нём точки A и B. Определите перемещение катера AB⃗. Мог ли путь, проделанный катером, быть больше совершённого им перемещения; меньше перемещения; равен перемещению?
Ответы обоснуйте.
Чертёж: пристань — начало координат O, точки A(−8; −2) и B(4; 3) отмечены на плоскости, перемещение катера — вектор AB⃗ от A к B.
Проекции перемещения: sₓ = 4 − (−8) = 12 м; sᵧ = 3 − (−2) = 5 м.
Модуль перемещения: |AB⃗| = √(12² + 5²) = √169 = 13 м.
Путь — длина траектории, а перемещение — вектор, соединяющий начальную и конечную точки; его модуль равен длине прямого отрезка AB, то есть кратчайшему расстоянию между точками.
1) Путь мог быть больше перемещения: если катер шёл по кривой или с поворотами, длина его траектории больше 13 м.
2) Путь не мог быть меньше перемещения: никакая линия между A и B не может быть короче прямого отрезка.
3) Путь мог быть равен перемещению, если катер шёл по прямой от A к B, не меняя направления.
Ответ: AB⃗ = (12 м; 5 м), |AB⃗| = 13 м; путь ≥ модуля перемещения.
Проекции перемещения: sₓ = 4 − (−8) = 12 м; sᵧ = 3 − (−2) = 5 м.
Модуль перемещения: |AB⃗| = √(12² + 5²) = √169 = 13 м.
Путь — длина траектории, а перемещение — вектор, соединяющий начальную и конечную точки; его модуль равен длине прямого отрезка AB, то есть кратчайшему расстоянию между точками.
1) Путь мог быть больше перемещения: если катер шёл по кривой или с поворотами, длина его траектории больше 13 м.
2) Путь не мог быть меньше перемещения: никакая линия между A и B не может быть короче прямого отрезка.
3) Путь мог быть равен перемещению, если катер шёл по прямой от A к B, не меняя направления.
Ответ: AB⃗ = (12 м; 5 м), |AB⃗| = 13 м; путь ≥ модуля перемещения.
Задача для повторения 4. Тело движется прямолинейно со скоростью 5 м/с в положительном направлении оси X. Запишите уравнение движения тела, если в момент начала наблюдения его координата равна 3 м.
При равномерном прямолинейном движении x = x₀ + vₓt. По условию x₀ = 3 м, vₓ = +5 м/с (тело движется по направлению оси X).
Ответ: x = 3 + 5t (м).
Ответ: x = 3 + 5t (м).
Задача для повторения 5. Два поезда — пассажирский и грузовой — движутся по параллельным путям. Относительно здания вокзала движение пассажирского локомотива описывается уравнением xп = 260 – 10t (м), а грузового — уравнением xг = –100 + 8t (м). Через какой промежуток времени от начала наблюдения локомотивы встретились?
Какова координата места их встречи?
В момент встречи координаты локомотивов равны: xп = xг.
260 − 10t = −100 + 8t; 360 = 18t; t = 20 с.
Координата места встречи: x = −100 + 8 · 20 = 60 м (проверка: 260 − 10 · 20 = 60 м).
Ответ: через 20 с после начала наблюдения; x = 60 м.
260 − 10t = −100 + 8t; 360 = 18t; t = 20 с.
Координата места встречи: x = −100 + 8 · 20 = 60 м (проверка: 260 − 10 · 20 = 60 м).
Ответ: через 20 с после начала наблюдения; x = 60 м.