§ 5. Характеристики неравномерного движения. Прямолинейное равноускоренное движение — с. 27
§ 5. Вопрос 1. Что называют средней путевой скоростью; средней скоростью перемещения?
Средняя путевая скорость — физическая величина, равная отношению пути l к промежутку времени t, за который этот путь пройден: v_ср.п = l/t. Это скалярная величина.
Средняя скорость перемещения — векторная величина, равная отношению перемещения s⃗ ко времени t, за которое оно совершено: v⃗_ср = s⃗/t; её направление совпадает с направлением перемещения.
Средняя скорость перемещения — векторная величина, равная отношению перемещения s⃗ ко времени t, за которое оно совершено: v⃗_ср = s⃗/t; её направление совпадает с направлением перемещения.
§ 5. Вопрос 2. Что называют мгновенной скоростью?
Мгновенная скорость (скорость в данный момент времени в данной точке траектории) — это отношение малого перемещения на участке траектории, примыкающем к этой точке, к малому промежутку времени, в течение которого оно совершается. Это векторная величина; её направление совпадает с направлением малого перемещения.
§ 5. Вопрос 3. К какому виду движения — равномерному или неравномерному — относится прямолинейное равноускоренное движение?
Прямолинейное равноускоренное движение относится к неравномерному движению: скорость тела при нём меняется (за равные промежутки времени тело проходит разные пути), хотя меняется равномерно — на одну и ту же величину за любые равные промежутки времени.
§ 5. Вопрос 4. Дайте определение ускорения равноускоренного движения. Какова единица ускорения?
Ускорение при равноускоренном движении — векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло: a⃗ = (v⃗ − v⃗₀)/t. Единица ускорения в СИ — метр на секунду в квадрате (м/с²): 1 м/с² — ускорение, при котором за 1 с модуль изменения скорости равен 1 м/с.
§ 5. Вопрос 5. Что такое равноускоренное движение?
Равноускоренное движение — это такое неравномерное движение, при котором вектор скорости тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, то есть ускорение постоянно.
§ 5. Вопрос 6. Что показывает модуль вектора ускорения?
Модуль вектора ускорения показывает, на сколько (по модулю) изменяется скорость тела за единицу времени, то есть как быстро меняется скорость. Чем больше модуль ускорения, тем быстрее меняется скорость тела.
§ 5. Вопрос 7. При каком условии модуль вектора скорости движущегося тела увеличивается; уменьшается?
Если векторы скорости и ускорения направлены в одну сторону (проекции aₓ и vₓ одного знака), модуль скорости увеличивается — тело разгоняется. Если векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны (проекции разного знака), модуль скорости уменьшается — тело тормозит.
§ 5. Вопрос для обсуждения. Что вы можете сказать о движении тела, если модуль средней скорости перемещения оказался равен: а) средней путевой скорости; б) начальной скорости?
а) Модуль средней скорости перемещения |s⃗|/t равен средней путевой скорости l/t, когда модуль перемещения равен пути: |s⃗| = l. Значит, тело двигалось прямолинейно и не меняло направления движения.
б) Для прямолинейного равноускоренного движения средняя скорость перемещения v_ср = (v₀ + v)/2. Если она по модулю равна начальной скорости, то (v₀ + v)/2 = v₀, откуда v = v₀: скорость не изменилась, то есть ускорение равно нулю и движение равномерное.
Оговорка: вывод б) сделан для прямолинейного равноускоренного движения; для произвольного неравномерного движения такое равенство возможно и при изменении скорости.
б) Для прямолинейного равноускоренного движения средняя скорость перемещения v_ср = (v₀ + v)/2. Если она по модулю равна начальной скорости, то (v₀ + v)/2 = v₀, откуда v = v₀: скорость не изменилась, то есть ускорение равно нулю и движение равномерное.
Оговорка: вывод б) сделан для прямолинейного равноускоренного движения; для произвольного неравномерного движения такое равенство возможно и при изменении скорости.
§ 5. Упражнение 5.
1. Тело за 2 с прошло 2 м в положительном направлении оси X, а затем за 3 с — 1 м в противоположном направлении. Определите среднюю путевую скорость и модуль средней скорости перемещения за промежуток времени: а) 2 с; б) 5 с.
а) За первые 2 с тело прошло путь l = 2 м, перемещение тоже 2 м (в одном направлении). Средняя путевая скорость v_ср.п = l/t = 2 м / 2 с = 1 м/с. Модуль средней скорости перемещения |v_ср| = s/t = 2 м / 2 с = 1 м/с.
б) За 5 с путь l = 2 м + 1 м = 3 м, v_ср.п = 3 м / 5 с = 0,6 м/с. Перемещение: 2 м − 1 м = 1 м (в положительном направлении оси X), |v_ср| = 1 м / 5 с = 0,2 м/с.
Ответ: а) 1 м/с и 1 м/с; б) 0,6 м/с и 0,2 м/с.
б) За 5 с путь l = 2 м + 1 м = 3 м, v_ср.п = 3 м / 5 с = 0,6 м/с. Перемещение: 2 м − 1 м = 1 м (в положительном направлении оси X), |v_ср| = 1 м / 5 с = 0,2 м/с.
Ответ: а) 1 м/с и 1 м/с; б) 0,6 м/с и 0,2 м/с.
§ 5. Упражнение 5.
2. За один и тот же промежуток времени t модуль вектора скорости первого автомобиля изменился от v₁ до v′, а второго — от v₂ до v′ (векторы скорости изображены в одинаковом масштабе на рисунке 14). Какой из автомобилей двигался в указанный промежуток с большим ускорением?
[рисунок 14: две пары стрелок на параллельных прямых, все направлены вправо. Первый автомобиль (синий): v⃗₁ — короткая стрелка длиной 2 клетки, v⃗′ — длиной 6 клеток. Второй автомобиль (красный): v⃗₂ — длиной 4 клетки, v⃗′ — длиной 6 клеток (v′ у обоих одинакова).]
[рисунок 14: две пары стрелок на параллельных прямых, все направлены вправо. Первый автомобиль (синий): v⃗₁ — короткая стрелка длиной 2 клетки, v⃗′ — длиной 6 клеток. Второй автомобиль (красный): v⃗₂ — длиной 4 клетки, v⃗′ — длиной 6 клеток (v′ у обоих одинакова).]
Ускорение a = (v′ − v₀)/t, время t у автомобилей одно и то же, поэтому большее ускорение у того автомобиля, у которого изменение модуля скорости больше. По рисунку (в клетках масштаба): у первого автомобиля Δv₁ = 6 − 2 = 4 клетки, у второго Δv₂ = 6 − 4 = 2 клетки. Так как Δv₁ > Δv₂, то a₁ = Δv₁/t > a₂ = Δv₂/t: ускорение первого автомобиля в 2 раза больше.
Ответ: с большим ускорением двигался первый автомобиль.
Ответ: с большим ускорением двигался первый автомобиль.
§ 5. Упражнение 5.
3. Самолёт, разгоняясь перед взлётом, в течение некоторого промежутка времени двигался равноускоренно. Каково было при этом ускорение самолёта, если за 30 с его скорость возросла от 10 до 55 м/с?
Ускорение a = (v − v₀)/t = (55 м/с − 10 м/с) / 30 с = 45/30 м/с² = 1,5 м/с².
Ответ: a = 1,5 м/с².
Ответ: a = 1,5 м/с².
§ 5. Упражнение 5.
4. С каким ускорением двигался поезд на некотором участке пути, если за 12 с его скорость возросла на 6 м/с?
Изменение скорости v − v₀ = 6 м/с за t = 12 с. Ускорение a = (v − v₀)/t = 6 м/с / 12 с = 0,5 м/с².
Ответ: a = 0,5 м/с².
Ответ: a = 0,5 м/с².
§ 5. Упражнение 5.
5. Тело, имеющее начальную скорость 20 м/с, движется с постоянным ускорением и останавливается через 10 с после начала движения. Чему равно ускорение тела?
Направим ось X по начальной скорости: v₀ₓ = 20 м/с, конечная скорость vₓ = 0, t = 10 с. Проекция ускорения aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t = (0 − 20 м/с) / 10 с = −2 м/с².
Знак «минус» означает, что вектор ускорения направлен против скорости (тело тормозит); модуль ускорения 2 м/с².
Ответ: aₓ = −2 м/с², |a| = 2 м/с².
Знак «минус» означает, что вектор ускорения направлен против скорости (тело тормозит); модуль ускорения 2 м/с².
Ответ: aₓ = −2 м/с², |a| = 2 м/с².
§ 5. Упражнение 5.
6. Шайба после удара клюшкой движется с начальной скоростью 10 м/с по льду. Лёд уже не гладкий, и шайба тормозит с ускорением 2 м/с². Через какое время после удара шайба остановится?
Ось X направим по скорости шайбы: v₀ₓ = 10 м/с, aₓ = −2 м/с² (шайба тормозит), конечная скорость vₓ = 0. Из aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t находим t = (vₓ − v₀ₓ)/aₓ = (0 − 10 м/с) / (−2 м/с²) = 5 с.
Ответ: шайба остановится через 5 с.
Ответ: шайба остановится через 5 с.
§ 5. Упражнение 5. 7*. Средняя путевая скорость автомобиля на первой половине пути равна 60 км/ч, а на второй половине пути — 40 км/ч. Определите среднюю путевую скорость на всём пути.
Пусть весь путь равен l, тогда каждая половина — l/2. Время на первой половине t₁ = (l/2)/v₁ = l/(2·60) = l/120 (ч), на второй t₂ = (l/2)/v₂ = l/(2·40) = l/80 (ч). Общее время t = l/120 + l/80 = l·(2 + 3)/240 = 5l/240 = l/48. Средняя путевая скорость v_ср.п = l/t = 48 км/ч.
Это не среднее арифметическое (50 км/ч), потому что на более медленной половине пути автомобиль провёл больше времени.
Ответ: 48 км/ч.
Это не среднее арифметическое (50 км/ч), потому что на более медленной половине пути автомобиль провёл больше времени.
Ответ: 48 км/ч.