Глава 1. § 4. Перемещение при прямолинейном равномерном движении — с. 20
§ 4. Вопрос для обсуждения.
1. Проекция на ось X перемещения тела, движущегося параллельно этой оси, может быть равна модулю перемещения или модулю перемещения с обратным знаком. Объясните, от чего это зависит.
Это зависит от направления перемещения относительно оси X. Если тело движется в ту же сторону, куда направлена ось, вектор перемещения сонаправлен с осью, и проекция положительна: sₓ = +s. Если тело движется против оси, вектор направлен противоположно оси, и проекция отрицательна: sₓ = −s. Модуль перемещения при этом одинаков.
§ 4. Вопрос для обсуждения.
2. Два мотоцикла движутся прямолинейно и равномерно. Скорость движения первого мотоцикла больше скорости движения второго. Чем будут отличаться их графики зависимости: а) путей от времени; б) скоростей от времени?
а) График пути — прямая, выходящая из начала координат (s = vt). У первого мотоцикла скорость больше, поэтому его прямая идёт круче (с большим углом наклона к оси времени): за то же время он проходит больший путь.
б) График скорости — горизонтальная прямая, параллельная оси времени. У первого мотоцикла эта прямая расположена выше, чем у второго, так как его скорость больше.
б) График скорости — горизонтальная прямая, параллельная оси времени. У первого мотоцикла эта прямая расположена выше, чем у второго, так как его скорость больше.
§ 4. Упражнение 4.
1. Тело движется вдоль оси X. Определите по графику движения (рис. 10) путь, пройденный телом за 5 с, и скорость движения тела. Запишите закон движения тела.
[рисунок 10: график x(t) — прямая из начала координат; по оси x — метры (деления через 5 м, до 30), по оси t — секунды (деления 2, 4, 6, 8); прямая проходит через точки (2 с; 10 м), (4 с; 20 м), (6 с; 30 м).]
[рисунок 10: график x(t) — прямая из начала координат; по оси x — метры (деления через 5 м, до 30), по оси t — секунды (деления 2, 4, 6, 8); прямая проходит через точки (2 с; 10 м), (4 с; 20 м), (6 с; 30 м).]
По графику x(t) — прямая, выходящая из начала координат, значит, начальная координата x₀ = 0, движение равномерное. Возьмём точку графика: при t = 6 с координата x = 30 м. Скорость v = Δx/Δt = 30 м / 6 с = 5 м/с (проекция скорости положительна, тело движется по оси X).
Тело движется в одну сторону, поэтому путь равен изменению координаты: l = vt = 5 м/с · 5 с = 25 м.
Закон движения: x = x₀ + vₓt, то есть x = 5t (м).
Ответ: путь 25 м; скорость 5 м/с; x = 5t (м).
Тело движется в одну сторону, поэтому путь равен изменению координаты: l = vt = 5 м/с · 5 с = 25 м.
Закон движения: x = x₀ + vₓt, то есть x = 5t (м).
Ответ: путь 25 м; скорость 5 м/с; x = 5t (м).
§ 4. Упражнение 4.
2. Охарактеризуйте движение тел, графики движения которых представлены на рисунке 11. По графикам определите начальные координаты тел, направление движения тел, проекции скоростей. Что означает точка пересечения графиков?
Напишите закон движения для каждого тела.
[рисунок 11: графики x(t) двух тел — прямые; ось x в метрах (метки 100, 200, 300; клетка 50 м), ось t в секундах (метки 10, 20; клетка 5 с). График I (синий) начинается в точке (0; 300 м) и опускается через точку (20 с; 200 м) до ≈150 м при t = 30 с. График II (красный) начинается в точке (0; 150 м) и поднимается через ту же точку (20 с; 200 м) до ≈225 м при t = 30 с.]
[рисунок 11: графики x(t) двух тел — прямые; ось x в метрах (метки 100, 200, 300; клетка 50 м), ось t в секундах (метки 10, 20; клетка 5 с). График I (синий) начинается в точке (0; 300 м) и опускается через точку (20 с; 200 м) до ≈150 м при t = 30 с. График II (красный) начинается в точке (0; 150 м) и поднимается через ту же точку (20 с; 200 м) до ≈225 м при t = 30 с.]
Оба графика — прямые, значит, оба тела движутся прямолинейно и равномерно.
Тело I: начальная координата x₀₁ = 300 м; координата уменьшается, поэтому тело движется против оси X. Проекция скорости v₁ₓ = (200 − 300) м / 20 с = −5 м/с. Закон движения: x₁ = 300 − 5t (м).
Тело II: начальная координата x₀₂ = 150 м; координата растёт, тело движется по оси X. Проекция скорости v₂ₓ = (200 − 150) м / 20 с = 2,5 м/с. Закон движения: x₂ = 150 + 2,5t (м).
Точка пересечения графиков означает, что в момент t = 20 с тела имеют одинаковую координату x = 200 м, то есть встречаются в этой точке.
Проверка: 300 − 5·20 = 200 м; 150 + 2,5·20 = 200 м.
Ответ: x₀₁ = 300 м, v₁ₓ = −5 м/с, x₁ = 300 − 5t (м); x₀₂ = 150 м, v₂ₓ = 2,5 м/с, x₂ = 150 + 2,5t (м); тела встречаются через 20 с в точке с координатой 200 м.
Тело I: начальная координата x₀₁ = 300 м; координата уменьшается, поэтому тело движется против оси X. Проекция скорости v₁ₓ = (200 − 300) м / 20 с = −5 м/с. Закон движения: x₁ = 300 − 5t (м).
Тело II: начальная координата x₀₂ = 150 м; координата растёт, тело движется по оси X. Проекция скорости v₂ₓ = (200 − 150) м / 20 с = 2,5 м/с. Закон движения: x₂ = 150 + 2,5t (м).
Точка пересечения графиков означает, что в момент t = 20 с тела имеют одинаковую координату x = 200 м, то есть встречаются в этой точке.
Проверка: 300 − 5·20 = 200 м; 150 + 2,5·20 = 200 м.
Ответ: x₀₁ = 300 м, v₁ₓ = −5 м/с, x₁ = 300 − 5t (м); x₀₂ = 150 м, v₂ₓ = 2,5 м/с, x₂ = 150 + 2,5t (м); тела встречаются через 20 с в точке с координатой 200 м.
§ 4. Упражнение 4.
3. Может ли график зависимости модуля вектора скорости от времени располагаться под осью Ot (т. е. в области отрицательных значений оси скорости)?
Не может. Модуль вектора — это длина направленного отрезка, он не бывает отрицательным: v ≥ 0. Поэтому график модуля скорости всегда лежит на оси Ot или выше неё. Под осью Ot может располагаться только график проекции скорости vₓ(t), когда тело движется против выбранной оси.
§ 4. Упражнение 4.
4. Постройте графики зависимости проекций векторов скорости от времени для трёх автомобилей, движущихся прямолинейно и равномерно, если два из них едут в одном направлении, а третий — навстречу им. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, второго — 80 км/ч, а третьего — 90 км/ч.
Направим ось X по направлению движения первого и второго автомобилей. Тогда проекции их скоростей положительны: v₁ₓ = 60 км/ч, v₂ₓ = 80 км/ч. Третий автомобиль едет навстречу, против оси X, поэтому v₃ₓ = −90 км/ч.
График проекции скорости при равномерном движении — горизонтальная прямая, параллельная оси t: для первого автомобиля на уровне +60 км/ч, для второго — на уровне +80 км/ч (оба выше оси t), для третьего — на уровне −90 км/ч (ниже оси t). График построен на рисунке.
Оговорка: если ось X направить навстречу первым двум автомобилям, все знаки проекций изменятся на противоположные.
График проекции скорости при равномерном движении — горизонтальная прямая, параллельная оси t: для первого автомобиля на уровне +60 км/ч, для второго — на уровне +80 км/ч (оба выше оси t), для третьего — на уровне −90 км/ч (ниже оси t). График построен на рисунке.
Оговорка: если ось X направить навстречу первым двум автомобилям, все знаки проекций изменятся на противоположные.
§ 4. Упражнение 4.
5. Координата тела, движущегося прямолинейно и равномерно, изменяется по закону x = 6 + 3t (м). Постройте графики зависимости от времени координаты и пути. Сравните полученные графики.
Из закона движения x = x₀ + vₓt: начальная координата x₀ = 6 м, проекция скорости vₓ = 3 м/с > 0 (тело движется по оси X). Путь при движении в одну сторону l = vt = 3t (м).
Таблица значений:
t, с: 0, 1, 2, 3, 4
x, м: 6, 9, 12, 15, 18
l, м: 0, 3, 6, 9, 12
Оба графика — прямые линии. Сравнение: наклон у них одинаков (оба растут на 3 м каждую секунду, прямые параллельны), так как скорость одна и та же; различаются начальной точкой: график координаты начинается в точке (0; 6 м), а график пути — в начале координат (0; 0). График координаты расположен выше графика пути на 6 м.
Таблица значений:
t, с: 0, 1, 2, 3, 4
x, м: 6, 9, 12, 15, 18
l, м: 0, 3, 6, 9, 12
Оба графика — прямые линии. Сравнение: наклон у них одинаков (оба растут на 3 м каждую секунду, прямые параллельны), так как скорость одна и та же; различаются начальной точкой: график координаты начинается в точке (0; 6 м), а график пути — в начале координат (0; 0). График координаты расположен выше графика пути на 6 м.