Глава 2. § 31. Гармонические колебания — с. 155
§ 31. Вопрос 1. Расскажите о цели, порядке выполнения и результатах опытов, изображённых на рисунках 107 и 109.
Цель опытов — получить график зависимости координаты колеблющегося тела от времени и выяснить, какой он формы.
Порядок: колеблющийся груз (на пружине, рис. 107, или нитяной маятник, рис. 109) снабжают воронкой с песком или красящей жидкостью и приводят в колебательное движение. Под ним с постоянной скоростью перемещают ленту в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний. Песок высыпается на ленту, и каждая точка следа соответствует положению груза в тот момент, когда он проходил над этим местом.
Результат: на ленте остаётся волнообразная дорожка — косинусоида (синусоида). Значит, колебания и пружинного, и нитяного маятника (при малой амплитуде) являются гармоническими.
Порядок: колеблющийся груз (на пружине, рис. 107, или нитяной маятник, рис. 109) снабжают воронкой с песком или красящей жидкостью и приводят в колебательное движение. Под ним с постоянной скоростью перемещают ленту в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний. Песок высыпается на ленту, и каждая точка следа соответствует положению груза в тот момент, когда он проходил над этим местом.
Результат: на ленте остаётся волнообразная дорожка — косинусоида (синусоида). Значит, колебания и пружинного, и нитяного маятника (при малой амплитуде) являются гармоническими.
§ 31. Вопрос 2. Чему соответствуют отрезки OA и OT на графике (см. рис. 108)?
Отрезок OA — это наибольшее отклонение груза от положения равновесия, то есть амплитуда колебаний A. Отрезок OT на оси времени равен периоду колебаний T — времени одного полного колебания.
§ 31. Вопрос 3. Какие колебания называют гармоническими?
Гармоническими называют колебания, при которых координата тела меняется со временем по закону косинуса или синуса. График зависимости координаты от времени при таких колебаниях — косинусоида (синусоида).
§ 31. Вопрос 4. Что представляет собой модель математического маятника?
Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити. Это абстрактная модель: у неё нет размеров, нить не растягивается и не имеет массы.
§ 31. Вопрос 5. При каких условиях реальный нитяной маятник будет совершать колебания, близкие к гармоническим?
Колебания близки к гармоническим у тяжёлого шарика (например, стального), подвешенного на лёгкой и малорастяжимой нити, длина которой значительно больше диаметра шарика. Амплитуда колебаний при этом должна быть малой, а трение — малым.
§ 31. Вопрос 6. Как меняются возвращающая сила, ускорение и скорость тела при совершении им гармонических колебаний?
Возвращающая сила и ускорение тоже меняются со временем по закону синуса или косинуса. Их проекции наибольшие по модулю в крайних положениях, где смещение наибольшее, и равны нулю при прохождении положения равновесия. Скорость, наоборот, равна нулю в крайних положениях и достигает наибольшего значения при прохождении положения равновесия.
§ 31. Вопрос для обсуждения.
1. На рисунке 110 показан график зависимости координаты колеблющегося пружинного маятника от времени. Каким способом маятнику был сообщён начальный запас энергии?
Как изменится график, если тем же способом сообщить этому маятнику больший начальный запас энергии?
[рисунок 110: график x(t), x в метрах, t в секундах; синусоида начинается в точке (0; 0), поднимается до x = 0,06 м, пересекает ось времени при t = 0,5 с, 1 с, 1,5 с, 2 с, достигает минимума −0,06 м при t = 0,75 с и 1,75 с, максимума 0,06 м при t = 0,25 с, 1,25 с, 2,25 с]
[рисунок 110: график x(t), x в метрах, t в секундах; синусоида начинается в точке (0; 0), поднимается до x = 0,06 м, пересекает ось времени при t = 0,5 с, 1 с, 1,5 с, 2 с, достигает минимума −0,06 м при t = 0,75 с и 1,75 с, максимума 0,06 м при t = 0,25 с, 1,25 с, 2,25 с]
В момент t = 0 координата x = 0, то есть груз находится в положении равновесия, а затем его координата растёт. Значит, груз не оттягивали от положения равновесия, а сообщили ему начальную скорость толчком (ударом) в положительном направлении оси x.
Если тем же способом (толчком) сообщить большую энергию, начальная скорость будет больше, и груз отклонится дальше: амплитуда колебаний возрастёт. Период от амплитуды не зависит (T = 2π√(m/k)), поэтому график останется синусоидой с прежним периодом, но с большей амплитудой, то есть будет «выше и ниже», а нули графика останутся на тех же местах.
Если тем же способом (толчком) сообщить большую энергию, начальная скорость будет больше, и груз отклонится дальше: амплитуда колебаний возрастёт. Период от амплитуды не зависит (T = 2π√(m/k)), поэтому график останется синусоидой с прежним периодом, но с большей амплитудой, то есть будет «выше и ниже», а нули графика останутся на тех же местах.
§ 31. Вопрос для обсуждения.
2. Можно ли сказать, что: а) частота малых собственных колебаний математического маятника обратно пропорциональна длине нити; б) квадрат периода малых собственных колебаний пружинного маятника прямо пропорционален массе груза?
а) Нет. Период математического маятника T = 2π√(l/g), значит, частота ν = 1/T = (1/2π)·√(g/l). Частота обратно пропорциональна не длине l, а квадратному корню из длины √l.
б) Да. Из T = 2π√(m/k) получаем T² = 4π²m/k, то есть квадрат периода прямо пропорционален массе груза m (при неизменной жёсткости пружины k).
б) Да. Из T = 2π√(m/k) получаем T² = 4π²m/k, то есть квадрат периода прямо пропорционален массе груза m (при неизменной жёсткости пружины k).
§ 31. Упражнение 30.
1. Определите период, частоту и амплитуду колебаний по графику зависимости x(t), приведённому на рисунке 110.
[рисунок 110: график x(t), x в метрах, t в секундах; синусоида начинается в точке (0; 0), максимумы x = 0,06 м при t = 0,25 с, 1,25 с, 2,25 с, минимумы x = −0,06 м при t = 0,75 с и 1,75 с, нули при t = 0,5 с, 1 с, 1,5 с, 2 с]
[рисунок 110: график x(t), x в метрах, t в секундах; синусоида начинается в точке (0; 0), максимумы x = 0,06 м при t = 0,25 с, 1,25 с, 2,25 с, минимумы x = −0,06 м при t = 0,75 с и 1,75 с, нули при t = 0,5 с, 1 с, 1,5 с, 2 с]
Амплитуда — наибольшее отклонение от положения равновесия: A = 0,06 м.
Период — время одного полного колебания. Колебание началось в t = 0 в положении равновесия, и после полного колебания (прошёл максимум и минимум) тело снова в положении равновесия при t = 1 с. Значит, T = 1 с.
Частота: ν = 1/T = 1/1 с = 1 Гц.
Ответ: T = 1 с; ν = 1 Гц; A = 0,06 м.
Период — время одного полного колебания. Колебание началось в t = 0 в положении равновесия, и после полного колебания (прошёл максимум и минимум) тело снова в положении равновесия при t = 1 с. Значит, T = 1 с.
Частота: ν = 1/T = 1/1 с = 1 Гц.
Ответ: T = 1 с; ν = 1 Гц; A = 0,06 м.
§ 31. Упражнение 30.
2. Как и во сколько раз нужно изменить длину нити, чтобы увеличить период колебаний математического маятника в 2 раза?
Период математического маятника T = 2π√(l/g), то есть T пропорционален √l. Чтобы период вырос в 2 раза, √l должен вырасти в 2 раза, а значит, длина l — в 2² = 4 раза.
Проверка: T₂ = 2π√(4l/g) = 2·2π√(l/g) = 2T₁.
Ответ: длину нити нужно увеличить в 4 раза.
Проверка: T₂ = 2π√(4l/g) = 2·2π√(l/g) = 2T₁.
Ответ: длину нити нужно увеличить в 4 раза.
§ 31. Упражнение 30.
3. Заменив пружину в опыте по изучению колебаний пружинного маятника, мальчик получил период колебаний в 2 раза меньше. Что можно сказать о жёсткости второй пружины по сравнению с первой?
Период пружинного маятника T = 2π√(m/k). Масса груза не менялась. Период уменьшился в 2 раза: T₂ = T₁/2.
T₂/T₁ = √(k₁/k₂) = 1/2, откуда k₁/k₂ = 1/4 и k₂ = 4k₁.
Ответ: жёсткость второй пружины в 4 раза больше, чем первой.
T₂/T₁ = √(k₁/k₂) = 1/2, откуда k₁/k₂ = 1/4 и k₂ = 4k₁.
Ответ: жёсткость второй пружины в 4 раза больше, чем первой.