Глава 2. § 32. Затухающие колебания. Вынужденные колебания — с. 159
§ 32. Упражнение 31.
1. Горизонтальный пружинный маятник, изображённый на рисунке 97, отвели в сторону и отпустили. Как меняются перечисленные в таблице величины при движении маятника на указанных участках его пути?
Перечертите таблицу в тетрадь и заполните её.
[таблица: столбцы — «Направление движения маятника»; «Сила упругости Fупр»; «Скорость v»; «Потенциальная энергия Eп»; «Кинетическая энергия Eк»; «Механическая энергия Eп + Eк» (подстолбцы: «в реальных условиях (т. е. с трением)» и «в идеальных условиях (т. е. без трения)»); строки — «От B к O», «От O к A», «От A к O», «От O к B»; клетки пусты]
[таблица: столбцы — «Направление движения маятника»; «Сила упругости Fупр»; «Скорость v»; «Потенциальная энергия Eп»; «Кинетическая энергия Eк»; «Механическая энергия Eп + Eк» (подстолбцы: «в реальных условиях (т. е. с трением)» и «в идеальных условиях (т. е. без трения)»); строки — «От B к O», «От O к A», «От A к O», «От O к B»; клетки пусты]
Точка O — положение равновесия, B — крайняя точка с растянутой пружиной (правее O), A — крайняя точка со сжатой пружиной (левее O). Сила упругости всегда направлена к положению равновесия O.
От B к O:
Fупр — направлена к O, модуль уменьшается от наибольшего до нуля; v — возрастает от нуля до наибольшего значения; Eп — уменьшается от максимума до нуля; Eк — увеличивается от нуля до максимума; Eп + Eк в реальных условиях — уменьшается (часть энергии переходит во внутреннюю); в идеальных условиях — не изменяется.
От O к A:
Fупр — направлена к O, модуль возрастает от нуля до наибольшего; v — уменьшается от наибольшего значения до нуля; Eп — увеличивается от нуля до максимума; Eк — уменьшается от максимума до нуля; Eп + Eк в реальных условиях — уменьшается; в идеальных условиях — не изменяется.
От A к O:
Fупр — модуль уменьшается от наибольшего до нуля; v — возрастает от нуля до наибольшего; Eп — уменьшается; Eк — увеличивается; Eп + Eк в реальных условиях — уменьшается; в идеальных условиях — не изменяется.
От O к B:
Fупр — модуль возрастает от нуля до наибольшего; v — уменьшается до нуля; Eп — увеличивается; Eк — уменьшается; Eп + Eк в реальных условиях — уменьшается; в идеальных условиях — не изменяется.
От B к O:
Fупр — направлена к O, модуль уменьшается от наибольшего до нуля; v — возрастает от нуля до наибольшего значения; Eп — уменьшается от максимума до нуля; Eк — увеличивается от нуля до максимума; Eп + Eк в реальных условиях — уменьшается (часть энергии переходит во внутреннюю); в идеальных условиях — не изменяется.
От O к A:
Fупр — направлена к O, модуль возрастает от нуля до наибольшего; v — уменьшается от наибольшего значения до нуля; Eп — увеличивается от нуля до максимума; Eк — уменьшается от максимума до нуля; Eп + Eк в реальных условиях — уменьшается; в идеальных условиях — не изменяется.
От A к O:
Fупр — модуль уменьшается от наибольшего до нуля; v — возрастает от нуля до наибольшего; Eп — уменьшается; Eк — увеличивается; Eп + Eк в реальных условиях — уменьшается; в идеальных условиях — не изменяется.
От O к B:
Fупр — модуль возрастает от нуля до наибольшего; v — уменьшается до нуля; Eп — увеличивается; Eк — уменьшается; Eп + Eк в реальных условиях — уменьшается; в идеальных условиях — не изменяется.
§ 32. Упражнение 31.
2. На рисунке 112 изображён шарик на нити, колеблющийся без трения между точками A и B. Находясь в точке B, этот маятник обладает потенциальной энергией, равной 0,01 Дж относительно горизонтали 1, принятой за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии. Чему равна: а) потенциальная энергия шарика в точках A и O; б) кинетическая энергия шарика в точках B, O и A; в) полная механическая энергия шарика в точках B, D, O, C и A?
[рисунок 112: нить с шариком подвешена к опоре в точке O вверху; шарик колеблется между крайними точками A (слева) и B (справа), лежащими на одной горизонтали (горизонталь 2); самая нижняя точка траектории O лежит на нижней горизонтали 1 (нулевой уровень); между ними на дуге отмечены точки C (между A и O) и D (между O и B)]
[рисунок 112: нить с шариком подвешена к опоре в точке O вверху; шарик колеблется между крайними точками A (слева) и B (справа), лежащими на одной горизонтали (горизонталь 2); самая нижняя точка траектории O лежит на нижней горизонтали 1 (нулевой уровень); между ними на дуге отмечены точки C (между A и O) и D (между O и B)]
Колебания без трения, поэтому полная механическая энергия постоянна: E = Eп + Eк = 0,01 Дж (в точке B скорость равна нулю, так что вся энергия — потенциальная).
а) Точка A находится на той же высоте, что и B, поэтому Eп(A) = 0,01 Дж. Точка O лежит на нулевом уровне (горизонталь 1): Eп(O) = 0.
б) В крайних точках B и A скорость равна нулю: Eк(B) = Eк(A) = 0. В точке O: Eк(O) = E − Eп(O) = 0,01 Дж − 0 = 0,01 Дж.
в) Без трения полная энергия во всех точках одинакова: E(B) = E(D) = E(O) = E(C) = E(A) = 0,01 Дж.
Ответ: а) 0,01 Дж и 0; б) 0; 0,01 Дж; 0; в) 0,01 Дж во всех пяти точках.
а) Точка A находится на той же высоте, что и B, поэтому Eп(A) = 0,01 Дж. Точка O лежит на нулевом уровне (горизонталь 1): Eп(O) = 0.
б) В крайних точках B и A скорость равна нулю: Eк(B) = Eк(A) = 0. В точке O: Eк(O) = E − Eп(O) = 0,01 Дж − 0 = 0,01 Дж.
в) Без трения полная энергия во всех точках одинакова: E(B) = E(D) = E(O) = E(C) = E(A) = 0,01 Дж.
Ответ: а) 0,01 Дж и 0; б) 0; 0,01 Дж; 0; в) 0,01 Дж во всех пяти точках.
§ 32. Упражнение 31.
3. Шарик, подвешенный на нити, отклонили от положения равновесия так, что его высота над землёй увеличилась на 5 см, после чего он начал совершать колебания. С какой скоростью шарик в четвёртый раз пройдёт положение равновесия, если его колебания можно считать незатухающими?
Колебания незатухающие, поэтому механическая энергия сохраняется, и при каждом прохождении положения равновесия скорость одна и та же (номер прохождения не важен). Потенциальная энергия на высоте h полностью переходит в кинетическую: mgh = mv²/2, откуда v = √(2gh).
v = √(2 · 9,8 м/с² · 0,05 м) = √0,98 м²/с² ≈ 0,99 м/с ≈ 1 м/с.
Ответ: v ≈ 1 м/с.
Оговорка: при g = 10 м/с² получается ровно 1 м/с.
v = √(2 · 9,8 м/с² · 0,05 м) = √0,98 м²/с² ≈ 0,99 м/с ≈ 1 м/с.
Ответ: v ≈ 1 м/с.
Оговорка: при g = 10 м/с² получается ровно 1 м/с.
§ 32. Упражнение 31.
4. Подвешенному на нити шарику сообщили в горизонтальном направлении скорость 1 м/c, после чего он начал совершать затухающие колебания. Через пять полных колебаний энергия системы уменьшилась в 2 раза. Чему равна скорость шарика в этот момент?
Шарику сообщили скорость в положении равновесия, значит, начальная энергия — кинетическая: E₁ = mv₁²/2. Через пять колебаний шарик снова проходит положение равновесия, где вся энергия системы кинетическая: E₂ = mv₂²/2. По условию E₂ = E₁/2, поэтому v₂² = v₁²/2, и v₂ = v₁/√2.
v₂ = 1 м/с / 1,414 ≈ 0,71 м/с.
Ответ: v₂ ≈ 0,7 м/с (в положении равновесия).
v₂ = 1 м/с / 1,414 ≈ 0,71 м/с.
Ответ: v₂ ≈ 0,7 м/с (в положении равновесия).