Глава 2. § 33. Резонанс — с. 163
§ 33. Вопрос 1. С какой целью и как проводился опыт с двумя маятниками, изображённый на рисунке 113?
Цель опыта — выяснить, как амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.
Два маятника подвешены на общем шнуре. Длина маятника 2 неизменна, и у него определённая собственная частота. Длину маятника 1 можно менять. Маятник 1 отклоняют и отпускают; его свободные колебания передаются по шнуру и действуют на маятник 2 периодической вынуждающей силой с частотой колебаний маятника 1. Укорачивая маятник 1, увеличивают частоту вынуждающей силы и наблюдают амплитуду колебаний маятника 2. Она растёт и достигает наибольшего значения, когда длины маятников равны, то есть частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой маятника 2; при дальнейшем увеличении частоты амплитуда снова убывает.
Два маятника подвешены на общем шнуре. Длина маятника 2 неизменна, и у него определённая собственная частота. Длину маятника 1 можно менять. Маятник 1 отклоняют и отпускают; его свободные колебания передаются по шнуру и действуют на маятник 2 периодической вынуждающей силой с частотой колебаний маятника 1. Укорачивая маятник 1, увеличивают частоту вынуждающей силы и наблюдают амплитуду колебаний маятника 2. Она растёт и достигает наибольшего значения, когда длины маятников равны, то есть частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой маятника 2; при дальнейшем увеличении частоты амплитуда снова убывает.
§ 33. Вопрос 2. В чём заключается явление, называемое резонансом?
Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды установившихся вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы ν равна собственной частоте колебательной системы ν₀.
§ 33. Вопрос 3. К каким колебаниям — свободным или вынужденным — применимо понятие резонанса?
Только к вынужденным колебаниям: резонанс — это зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
§ 33. Вопрос 4. Приведите примеры, показывающие, что в одних случаях резонанс может быть полезным явлением, а в других — вредным.
Полезный резонанс: раскачивание качелей толчками в такт колебаниям; раскачивание тяжёлого языка колокола небольшой силой с частотой, равной его собственной.
Вредный резонанс: разрушение моста при прохождении по нему солдат в ногу; сильное раскачивание железнодорожного вагона на рессорах, когда частота ударов колёс на стыках рельсов совпадает с собственной частотой вагона; раскачивание пароходов на волнах. Чтобы избежать вредного резонанса, станки устанавливают на массивных фундаментах, солдатам при переходе моста приказывают идти не в ногу.
Вредный резонанс: разрушение моста при прохождении по нему солдат в ногу; сильное раскачивание железнодорожного вагона на рессорах, когда частота ударов колёс на стыках рельсов совпадает с собственной частотой вагона; раскачивание пароходов на волнах. Чтобы избежать вредного резонанса, станки устанавливают на массивных фундаментах, солдатам при переходе моста приказывают идти не в ногу.
§ 33. Упражнение 32.
1. Маятник 3 (рис. 114) совершает свободные колебания.
а) Какие колебания — свободные или вынужденные — будут совершать при этом маятники 1, 2 и 4?
б) Каковы собственные частоты маятников 1, 2 и 4 по сравнению с частотой колебаний маятника 3?
в) Какой из маятников 1, 2 и 4 колеблется в резонанс с маятником 3? По каким признакам вы это определили?
[рисунок 114: четыре шарика на нитях, подвешенных к общей горизонтальной перекладине; маятник 2 — самая короткая нить, маятники 1 и 3 — нити одинаковой средней длины, маятник 4 — самая длинная нить]
а) Какие колебания — свободные или вынужденные — будут совершать при этом маятники 1, 2 и 4?
б) Каковы собственные частоты маятников 1, 2 и 4 по сравнению с частотой колебаний маятника 3?
в) Какой из маятников 1, 2 и 4 колеблется в резонанс с маятником 3? По каким признакам вы это определили?
[рисунок 114: четыре шарика на нитях, подвешенных к общей горизонтальной перекладине; маятник 2 — самая короткая нить, маятники 1 и 3 — нити одинаковой средней длины, маятник 4 — самая длинная нить]
Маятники подвешены на общей перекладине, поэтому колебания маятника 3 передаются по ней остальным маятникам и действуют на них периодической вынуждающей силой.
а) Маятники 1, 2 и 4 совершают вынужденные колебания с частотой, равной частоте колебаний маятника 3.
б) Собственная частота маятника тем больше, чем короче нить (ν = (1/2π)·√(g/l)). Маятник 2 имеет самую короткую нить, поэтому его собственная частота больше, чем у маятника 3. Маятник 4 имеет самую длинную нить, и его собственная частота меньше, чем у маятника 3. У маятника 1 длина нити такая же, как у маятника 3, поэтому собственная частота у него равна частоте маятника 3.
в) В резонанс с маятником 3 колеблется маятник 1: его собственная частота совпадает с частотой вынуждающей силы, что видно по равной длине нитей маятников 1 и 3. Его амплитуда будет наибольшей.
а) Маятники 1, 2 и 4 совершают вынужденные колебания с частотой, равной частоте колебаний маятника 3.
б) Собственная частота маятника тем больше, чем короче нить (ν = (1/2π)·√(g/l)). Маятник 2 имеет самую короткую нить, поэтому его собственная частота больше, чем у маятника 3. Маятник 4 имеет самую длинную нить, и его собственная частота меньше, чем у маятника 3. У маятника 1 длина нити такая же, как у маятника 3, поэтому собственная частота у него равна частоте маятника 3.
в) В резонанс с маятником 3 колеблется маятник 1: его собственная частота совпадает с частотой вынуждающей силы, что видно по равной длине нитей маятников 1 и 3. Его амплитуда будет наибольшей.
§ 33. Упражнение 32.
2. Вода, которую мальчик несёт в ведре, начинает сильно расплёскиваться. Мальчик меняет темп ходьбы (или просто «сбивает ногу»), и расплёскивание прекращается. Почему так происходит?
Вода в ведре — колебательная система с собственной частотой. При ходьбе ведро получает толчки с частотой шагов — это вынуждающая сила. Когда частота шагов совпадает с собственной частотой колебаний воды в ведре, наступает резонанс: амплитуда колебаний воды резко возрастает, и вода расплёскивается. Если изменить темп ходьбы, частота вынуждающей силы перестаёт совпадать с собственной частотой воды, резонанса нет, амплитуда колебаний мала, и вода почти не расплёскивается.
§ 33. Упражнение 32.
3. Собственная частота качелей равна 0,5 Гц. Через какие промежутки времени нужно подталкивать их в одну сторону, чтобы раскачать как можно сильнее, действуя относительно небольшой силой?
Сильнее всего качели раскачиваются при резонансе, когда частота толчков равна собственной частоте качелей: ν = 0,5 Гц. Промежуток между толчками в одну сторону равен периоду колебаний:
T = 1/ν = 1/0,5 Гц = 2 с.
Ответ: подталкивать нужно через каждые 2 с (один раз за период, в такт движению качелей).
T = 1/ν = 1/0,5 Гц = 2 с.
Ответ: подталкивать нужно через каждые 2 с (один раз за период, в такт движению качелей).