Глава 1. § 21. Искусственные спутники Земли — с. 103
§ 21. Вопрос 1. Приведите примеры (из области астрономии), доказывающие, что при отсутствии сил сопротивления тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории под действием силы, меняющей направление скорости движения этого тела.
Таких примеров много: планеты обращаются вокруг Солнца под действием силы тяготения Солнца, а спутники — вокруг планет под действием силы тяготения планет. Например, Луна обращается вокруг Земли около четырёх миллиардов лет. В космосе практически нет сопротивления движению, поэтому скорость тел не уменьшается, а сила тяготения, направленная к центральному телу, только меняет направление скорости.
§ 21. Вопрос 2. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю?
Спутник не падает на Землю, потому что обладает достаточно большой скоростью, направленной по касательной к его орбите. За то время, пока спутник «падает» к Земле под действием силы тяжести, он успевает сместиться вдоль орбиты так, что его расстояние до Земли не меняется. Сила тяжести лишь искривляет траекторию спутника, превращая её в окружность.
§ 21. Вопрос 3. Можно ли считать обращение спутника вокруг Земли свободным падением?
Да. Свободное падение — это движение только под действием силы тяжести. Спутник вне атмосферы движется только под действием силы тяжести, которая сообщает ему ускорение свободного падения, являющееся в данном случае центростремительным. Поэтому обращение спутника вокруг Земли — пример свободного падения.
§ 21. Вопрос 4. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?
Тело нужно вывести за пределы земной атмосферы (на высоту не менее 300 км, где практически нет сопротивления воздуха) и сообщить ему скорость, направленную по касательной к окружности, по которой оно будет двигаться. Модуль скорости должен быть равен первой космической скорости для этой высоты (или превышать её, но быть меньше второй космической).
§ 21. Вопрос 5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.
Спутник движется только под действием силы тяжести. Она сообщает ему ускорение свободного падения g₀, которое в данном случае является центростремительным: g₀ = v²/r. Вблизи поверхности высотой орбиты можно пренебречь, поэтому r ≈ R₃ (радиус Земли). Тогда g₀ = v²/R₃, откуда v² = g₀R₃ и v = √(g₀R₃).
Подстановка: v = √(9,8 м/с² · 6,4·10⁶ м) ≈ 7,9·10³ м/с = 7,9 км/с.
Подстановка: v = √(9,8 м/с² · 6,4·10⁶ м) ≈ 7,9·10³ м/с = 7,9 км/с.
§ 21. Вопрос 6. Как движется спутник, обладающий первой космической скоростью; второй космической скоростью?
Спутник, обладающий первой космической скоростью (на данной высоте), движется по круговой орбите вокруг Земли. Если скорость больше первой космической, но меньше второй, орбита — эллипс, и тем более вытянутый, чем больше скорость. При второй космической скорости (11,2 км/с) тело преодолевает притяжение Земли и уходит в космическое пространство, т. е. спутником Земли уже не является.
§ 21. Вопрос для обсуждения. Почему тела внутри спутника, движущегося за пределами земной атмосферы, невесомы?
Спутник и все тела внутри него движутся только под действием силы тяжести, т. е. с одним и тем же ускорением свободного падения (свободно падают). Поэтому тела не давят на опору и не растягивают подвес: вес тела равен нулю. Сила тяжести при этом действует, но именно она и сообщает ускорение всему вместе, поэтому внутри спутника наступает состояние невесомости.
§ 21. Упражнение 21.
1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (M₃ = 6·10²⁴ кг.)
Скорость спутника на круговой орбите: v = √(G·M₃/(R₃ + h)).
R₃ = 6400 км = 6,4·10⁶ м, h = 2600 км = 2,6·10⁶ м, R₃ + h = 9,0·10⁶ м, G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
v = √(6,67·10⁻¹¹ · 6·10²⁴ / 9,0·10⁶) = √(4,45·10⁷) ≈ 6,67·10³ м/с.
Ответ: v ≈ 6,7 км/с.
R₃ = 6400 км = 6,4·10⁶ м, h = 2600 км = 2,6·10⁶ м, R₃ + h = 9,0·10⁶ м, G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
v = √(6,67·10⁻¹¹ · 6·10²⁴ / 9,0·10⁶) = √(4,45·10⁷) ≈ 6,67·10³ м/с.
Ответ: v ≈ 6,7 км/с.
§ 21. Упражнение 21.
2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².
Для спутника вблизи поверхности планеты g = v²/R, откуда R = v²/g.
v = 1,67 км/с = 1670 м/с, g = 1,6 м/с².
R = (1670 м/с)² / 1,6 м/с² ≈ 1,74·10⁶ м.
Ответ: R ≈ 1,7·10⁶ м = 1,7·10³ км.
v = 1,67 км/с = 1670 м/с, g = 1,6 м/с².
R = (1670 м/с)² / 1,6 м/с² ≈ 1,74·10⁶ м.
Ответ: R ≈ 1,7·10⁶ м = 1,7·10³ км.
§ 21. Упражнение 21.
3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?
Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния r до центра Земли: F = GMm/r². На поверхности r = R₃. Условие F₁/F₂ = 3 даёт (r/R₃)² = 3, откуда r = √3·R₃ ≈ 1,73 · 6400 км ≈ 11 100 км от центра Земли.
Расстояние от поверхности Земли: h = r − R₃ = (√3 − 1)·R₃ = 0,732 · 6400 км ≈ 4685 км.
Ответ: на высоте h ≈ 4685 км над поверхностью Земли (≈ 11 100 км от центра Земли).
Расстояние от поверхности Земли: h = r − R₃ = (√3 − 1)·R₃ = 0,732 · 6400 км ≈ 4685 км.
Ответ: на высоте h ≈ 4685 км над поверхностью Земли (≈ 11 100 км от центра Земли).
§ 21. Упражнение 21.
4. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?
В верхней точке скорость ракеты равна нулю, дальше она падает с ускорением g_h, зависящим от высоты: g_h = g₀·(R₃/(R₃ + h))². R₃ + h = 6400 + 3200 = 9600 км, поэтому g_h = 9,8 · (6400/9600)² = 9,8 · (2/3)² ≈ 4,36 м/с².
Путь за первую секунду (начальная скорость равна нулю; высота изменяется мало, ускорение считаем постоянным): s = g_h·t²/2 = 4,36 · 1² / 2 ≈ 2,2 м.
Ответ: s ≈ 2,2 м.
Путь за первую секунду (начальная скорость равна нулю; высота изменяется мало, ускорение считаем постоянным): s = g_h·t²/2 = 4,36 · 1² / 2 ≈ 2,2 м.
Ответ: s ≈ 2,2 м.