Глава 1. § 22. Условия равновесия тел. Центр тяжести тела — с. 110
§ 22. Вопрос 1. Сформулируйте условие равновесия материальной точки.
Материальная точка находится в равновесии (покоится или движется равномерно и прямолинейно), если векторная сумма всех приложенных к ней сил равна нулю: F⃗₁ + F⃗₂ + … + F⃗ₙ = 0. Иначе говоря, все силы, действующие на точку, уравновешивают друг друга.
§ 22. Вопрос 2. В каких случаях реальное тело можно рассматривать как абсолютно твёрдое?
Реальное тело можно считать абсолютно твёрдым, когда его деформациями под действием приложенных сил можно пренебречь, то есть форма и размеры тела практически не изменяются, а расстояния между его частями остаются постоянными.
§ 22. Вопрос 3. Сформулируйте условие равновесия невращающегося твёрдого тела.
Невращающееся твёрдое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю: F⃗₁ + F⃗₂ + … + F⃗ₙ = 0.
§ 22. Вопрос 4. Что называют плечом силы; моментом силы?
Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (длина перпендикуляра, опущенного из оси на линию действия силы); обозначают d. Момент силы — произведение модуля силы на её плечо: M = F·d. Единица момента — Н·м. Момент считают положительным, если сила вращает тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке (или наоборот, но одинаково для всех сил).
§ 22. Вопрос 5. Сформулируйте условие равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения.
Тело с закреплённой осью вращения находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех внешних сил относительно оси равна нулю: M₁ + M₂ + … + Mₙ = 0. Иначе: сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки.
§ 22. Вопрос 6. Что называют центром тяжести?
Центр тяжести тела — это точка, к которой приложена равнодействующая сил тяжести, действующих на все части тела. Относительно этой точки суммарный момент сил тяжести всех частей тела равен нулю.
§ 22. Вопрос 7. Как экспериментально определить положение центра тяжести тела?
Для плоского тела (например, фигуры из картона) его подвешивают на нити поочерёдно за разные точки у края вместе с отвесом. В каждом положении по отвесу проводят вертикальную линию. Все линии пересекаются в одной точке — это центр тяжести. Проверка: если поставить фигуру этой точкой на остриё карандаша, она останется в равновесии.
§ 22. Вопрос 8. Может ли измениться положение центра тяжести тела относительно тела?
Относительно тела положение центра тяжести остаётся неизменным при любых перемещениях тела. Оно может измениться только при изменении взаимного расположения частей тела (например, при изгибании тела или перемещении его частей), потому что при этом изменяется распределение массы по объёму.
§ 22. Вопрос для обсуждения.
1. Выполняется ли в случае равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения условие равенства нулю суммы действующих на тело внешних сил?
Да, выполняется, если среди внешних сил учитывать и силу реакции оси (опоры). Тело покоится, значит, его ускорение равно нулю и векторная сумма всех внешних сил, включая силу реакции оси, равна нулю. Например, для рычага с двумя грузами сила реакции оси направлена вверх и равна сумме их весов. Если же реакцию оси не учитывать, то сумма остальных сил не равна нулю (и условие равновесия записывают через моменты сил).
§ 22. Вопрос для обсуждения.
2. Докажите, что сила тяжести и сила упругости, действующие на картонную фигуру (см. рис. 69, в), направлены вдоль одной прямой.
Фигура висит неподвижно, значит, она находится в равновесии. На неё действуют две силы: сила тяжести (приложена в центре тяжести, направлена вниз) и сила упругости нити (приложена в точке подвеса, направлена вверх). Равенство суммы сил нулю даёт: силы равны по модулю и противоположны по направлению. Если бы эти силы действовали вдоль разных параллельных прямых, они создавали бы отличный от нуля момент относительно любой оси, и фигура начала бы поворачиваться, то есть равновесия не было бы. Так как равновесие есть, моменты сил равны нулю, а это возможно только когда обе силы лежат на одной прямой. Эта прямая — вертикаль, отмеченная нитью с отвесом, и именно на ней лежит центр тяжести фигуры.
§ 22. Вопрос для обсуждения.
3. Подумайте, при каких условиях картина будет висеть ровно на одном гвозде.
Картина висит ровно, когда она находится в устойчивом равновесии: точка подвеса (гвоздь) должна находиться на одной вертикали с центром тяжести картины и выше него. Тогда момент силы тяжести относительно гвоздя равен нулю, а сила упругости шнура и сила тяжести направлены вдоль одной прямой. Для однородной картины прямоугольной формы это значит, что шнур надо закрепить симметрично, а гвоздь забить над серединой картины. Если подвес сместить в сторону от центра тяжести, картина перекосится.
§ 22. Упражнение 22.
1. Однородный стержень, на одном конце которого подвешен груз весом 120 Н, находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1/5 длины стержня от груза. Чему равен вес стержня?
Пусть длина стержня l, вес стержня P. Ось — точка опоры. Плечо веса груза P₁ = 120 Н равно l/5. Вес стержня приложен в его середине, то есть на расстоянии l/2 от конца с грузом, значит, от точки опоры его плечо l/2 − l/5 = 3l/10.
Условие равновесия (правило моментов): P₁·(l/5) = P·(3l/10).
Отсюда P = P₁·(l/5)/(3l/10) = P₁·(1/5)·(10/3) = P₁·2/3 = 120 Н · 2/3 = 80 Н.
Ответ: вес стержня 80 Н.
Условие равновесия (правило моментов): P₁·(l/5) = P·(3l/10).
Отсюда P = P₁·(l/5)/(3l/10) = P₁·(1/5)·(10/3) = P₁·2/3 = 120 Н · 2/3 = 80 Н.
Ответ: вес стержня 80 Н.
§ 22. Упражнение 22.
2. Две девочки массами m₁ = 30 кг и m₂ = 35 кг сидят на концах доски длиной L = 6 м и массой M = 25 кг. Доска находится в равновесии. Определите положение её точки опоры. Чему равна сила реакции опоры, действующая на доску?
Пусть точка опоры находится на расстоянии x от девочки массой m₁ (от левого конца доски). Центр тяжести доски — в её середине, на расстоянии L/2 = 3 м от конца. Моменты относительно точки опоры:
против часовой стрелки (левая часть): m₁g·x + Mg·(x − L/2) — левая девочка и часть доски слева от опоры;
по часовой стрелке: m₂g·(L − x).
Правило моментов: m₁x + M(x − L/2) = m₂(L − x).
30x + 25x − 75 = 210 − 35x; 90x = 285; x = 285/90 ≈ 3,17 м.
Сила реакции опоры уравновешивает вес всей системы: N = (m₁ + m₂ + M)g = (30 + 35 + 25) кг · 9,8 м/с² = 882 Н ≈ 880 Н.
Ответ: опора на расстоянии ≈ 3,17 м от девочки массой 30 кг (то есть на 0,17 м дальше середины доски); N ≈ 880 Н.
Оговорка: при g = 10 м/с² получается N = 900 Н (так в ответах учебника).
против часовой стрелки (левая часть): m₁g·x + Mg·(x − L/2) — левая девочка и часть доски слева от опоры;
по часовой стрелке: m₂g·(L − x).
Правило моментов: m₁x + M(x − L/2) = m₂(L − x).
30x + 25x − 75 = 210 − 35x; 90x = 285; x = 285/90 ≈ 3,17 м.
Сила реакции опоры уравновешивает вес всей системы: N = (m₁ + m₂ + M)g = (30 + 35 + 25) кг · 9,8 м/с² = 882 Н ≈ 880 Н.
Ответ: опора на расстоянии ≈ 3,17 м от девочки массой 30 кг (то есть на 0,17 м дальше середины доски); N ≈ 880 Н.
Оговорка: при g = 10 м/с² получается N = 900 Н (так в ответах учебника).