Глава 1. § 22. Условия равновесия тел. Центр тяжести тела — с. 111
§ 22. Упражнение 22.
3. На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка длиной 75 см. Часть линейки свешивается со стола. К этому концу линейки подвешен груз, масса которого в 2 раза больше массы линейки. Найдите длину свешивающейся части, если вся система находится в равновесии.
Пусть масса линейки m, длина L = 75 см, свешивающаяся часть длиной x. Ось вращения — край стола. Груз массой 2m подвешен на расстоянии x от края. Масса свешивающейся части равна m·x/L, её центр тяжести на расстоянии x/2 от края. Масса части на столе равна m(L − x)/L, её центр тяжести на расстоянии (L − x)/2 от края (по другую сторону).
Правило моментов: 2m·g·x + (m·x/L)·g·(x/2) = (m(L − x)/L)·g·(L − x)/2.
Сократим на mg/(2L): 4Lx + x² = (L − x)² = L² − 2Lx + x².
Слагаемые x² сокращаются: 6Lx = L², откуда x = L/6 = 75 см / 6 = 12,5 см.
Ответ: длина свешивающейся части 12,5 см.
Правило моментов: 2m·g·x + (m·x/L)·g·(x/2) = (m(L − x)/L)·g·(L − x)/2.
Сократим на mg/(2L): 4Lx + x² = (L − x)² = L² − 2Lx + x².
Слагаемые x² сокращаются: 6Lx = L², откуда x = L/6 = 75 см / 6 = 12,5 см.
Ответ: длина свешивающейся части 12,5 см.
§ 22. Упражнение 22.
4. Тонкий однородный стержень AB шарнирно закреплён в точке A. В точке B на стержень действует горизонтальная сила F, в результате чего стержень находится в равновесии (рис. 73). Определите эту силу, если масса стержня m = 1 кг, угол его наклона к горизонту α = 45°.
[рисунок 73: стержень AB шарнирно закреплён в нижней точке A на опоре у вертикальной стены слева; стержень наклонён вправо-вверх под углом α к горизонтальной штриховой линии; к верхнему концу B приложена горизонтальная сила F⃗, направленная влево.]
[рисунок 73: стержень AB шарнирно закреплён в нижней точке A на опоре у вертикальной стены слева; стержень наклонён вправо-вверх под углом α к горизонтальной штриховой линии; к верхнему концу B приложена горизонтальная сила F⃗, направленная влево.]
Ось вращения — шарнир A. Длина стержня l. Сила тяжести mg приложена в середине стержня; её плечо относительно A равно (l/2)·cos α (горизонтальное расстояние от A до середины стержня). Плечо горизонтальной силы F равно высоте точки B над A: l·sin α.
Правило моментов: F·l·sin α = mg·(l/2)·cos α.
Отсюда F = mg·cos α/(2 sin α) = mg/(2 tg α) = 1 кг · 9,8 м/с²/(2 · 1) = 4,9 Н ≈ 5 Н.
Ответ: F ≈ 4,9 Н (около 5 Н).
Оговорка: при g = 10 м/с² получается ровно 5 Н, как в ответах учебника.
Правило моментов: F·l·sin α = mg·(l/2)·cos α.
Отсюда F = mg·cos α/(2 sin α) = mg/(2 tg α) = 1 кг · 9,8 м/с²/(2 · 1) = 4,9 Н ≈ 5 Н.
Ответ: F ≈ 4,9 Н (около 5 Н).
Оговорка: при g = 10 м/с² получается ровно 5 Н, как в ответах учебника.
§ 22. Упражнение 22.
5. Найдите построением положение центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму, показанную на рисунке 74. Толщина пластинки везде одна и та же.
[рисунок 74: плоская пластинка в виде прямоугольника с вырезанным нижним правым углом: верхняя часть — полоса во всю ширину, нижняя часть — прямоугольник, занимающий левые две трети ширины (примерно 8,5 клетки из 13); высота нижней части равна высоте верхней части.]
[рисунок 74: плоская пластинка в виде прямоугольника с вырезанным нижним правым углом: верхняя часть — полоса во всю ширину, нижняя часть — прямоугольник, занимающий левые две трети ширины (примерно 8,5 клетки из 13); высота нижней части равна высоте верхней части.]
Однородную пластинку разобьём на простые фигуры — прямоугольники, центр тяжести каждого находится в точке пересечения его диагоналей (в центре симметрии).
Способ 1. Проведём горизонтальную линию по нижней границе верхней полосы. Получим верхний прямоугольник (центр C₁) и нижний левый прямоугольник (центр C₂). Центр тяжести всей пластинки лежит на отрезке C₁C₂ (синяя линия).
Способ 2. Продолжим вертикальную сторону выреза до верха. Получим левый высокий прямоугольник (центр C₃) и верхний правый маленький прямоугольник (центр C₄). Центр тяжести пластинки лежит также на отрезке C₃C₄ (зелёная линия).
Искомая точка C — пересечение отрезков C₁C₂ и C₃C₄ (красная точка). Она лежит внутри пластинки левее середины и немного выше середины высоты. Для рисунка с размерами 13 × 8 клеток (нижняя часть 8,5 × 4, верхняя полоса 13 × 4) расчёт даёт C на расстоянии ≈ 5,6 клетки от левой стороны и ≈ 4,4 клетки от нижней.
Ответ: центр тяжести — точка пересечения линий C₁C₂ и C₃C₄.
Способ 1. Проведём горизонтальную линию по нижней границе верхней полосы. Получим верхний прямоугольник (центр C₁) и нижний левый прямоугольник (центр C₂). Центр тяжести всей пластинки лежит на отрезке C₁C₂ (синяя линия).
Способ 2. Продолжим вертикальную сторону выреза до верха. Получим левый высокий прямоугольник (центр C₃) и верхний правый маленький прямоугольник (центр C₄). Центр тяжести пластинки лежит также на отрезке C₃C₄ (зелёная линия).
Искомая точка C — пересечение отрезков C₁C₂ и C₃C₄ (красная точка). Она лежит внутри пластинки левее середины и немного выше середины высоты. Для рисунка с размерами 13 × 8 клеток (нижняя часть 8,5 × 4, верхняя полоса 13 × 4) расчёт даёт C на расстоянии ≈ 5,6 клетки от левой стороны и ≈ 4,4 клетки от нижней.
Ответ: центр тяжести — точка пересечения линий C₁C₂ и C₃C₄.
§ 22. Упражнение 22.
6. Две металлические пластинки — алюминиевая и медная — скреплены так, как показано на рисунке 75. Размеры пластинок одинаковые. Определите положение центра тяжести конструкции.
[рисунок 75: две одинаковые прямоугольные пластинки, соединённые торцами в одну длинную полосу: слева алюминиевая, справа медная.]
[рисунок 75: две одинаковые прямоугольные пластинки, соединённые торцами в одну длинную полосу: слева алюминиевая, справа медная.]
Пусть длина каждой пластинки a. Объёмы пластинок одинаковы, значит, массы пропорциональны плотностям: ρ(Al) = 2700 кг/м³, ρ(Cu) = 8900 кг/м³ (табличные значения). Центр тяжести каждой пластинки — в её середине. Примем начало отсчёта на левом краю полосы: центр алюминиевой пластинки x₁ = a/2, медной x₂ = 3a/2.
x_C = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂) = (2700·0,5a + 8900·1,5a)/(2700 + 8900) = (1350 + 13350)a/11600 ≈ 1,27a.
Расстояние от линии скрепления (на расстоянии a от левого края): 1,27a − a ≈ 0,27a в сторону медной пластинки. По ширине и толщине центр тяжести лежит посередине.
Ответ: центр тяжести находится в медной пластинке на расстоянии ≈ 0,27a от линии скрепления (≈ 1,27a от края алюминиевой пластинки).
x_C = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂) = (2700·0,5a + 8900·1,5a)/(2700 + 8900) = (1350 + 13350)a/11600 ≈ 1,27a.
Расстояние от линии скрепления (на расстоянии a от левого края): 1,27a − a ≈ 0,27a в сторону медной пластинки. По ширине и толщине центр тяжести лежит посередине.
Ответ: центр тяжести находится в медной пластинке на расстоянии ≈ 0,27a от линии скрепления (≈ 1,27a от края алюминиевой пластинки).