Глава 1. § 24. Импульс тела. Закон сохранения импульса — с. 120
§ 24. Вопрос 1. Что называют импульсом тела?
Импульсом тела (материальной точки) называют векторную физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость: p⃗ = mv⃗. Единица импульса в СИ — кг·м/с.
§ 24. Вопрос 2. Что можно сказать о направлениях векторов импульса и скорости движущегося тела?
Векторы импульса и скорости направлены одинаково (сонаправлены), так как p⃗ = mv⃗, а масса — положительная величина.
§ 24. Вопрос 3. Расскажите о ходе опыта, изображённого на рисунке 80. О чём он свидетельствует?
Два одинаковых шарика подвешены на нитях к линейке на штативе. Шарик 2 отклоняют на угол α и отпускают. Вернувшись в прежнее положение, он ударяет по шарику 1 и останавливается, а шарик 1 приходит в движение и отклоняется на тот же угол α. Опыт показывает, что при взаимодействии импульс каждого шарика изменился: импульс шарика 2 уменьшился на столько же, на сколько увеличился импульс шарика 1. То есть суммарный импульс шариков при взаимодействии сохраняется.
§ 24. Вопрос 4. Что означает утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую систему?
Это означает, что тела взаимодействуют только между собой и не подвергаются воздействию внешних сил (или векторная сумма внешних сил равна нулю).
§ 24. Вопрос 5. Сформулируйте закон сохранения импульса.
Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени (сохраняется) при любых движениях и взаимодействиях тел системы.
§ 24. Вопрос 6. Что называют импульсом силы?
Импульсом силы называют векторную величину, равную произведению силы на время её действия: F⃗t. Изменение импульса тела равно импульсу силы: Δp⃗ = F⃗t. Единица импульса силы — Н·с.
§ 24. Вопрос 7. Для замкнутой системы, состоящей из двух тел, запишите закон сохранения импульса в виде уравнения, в которое входили бы массы и скорости этих тел. Поясните, что означает каждый символ в этом уравнении.
m₁v⃗₁′ + m₂v⃗₂′ = m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂.
Здесь m₁ и m₂ — массы первого и второго тел; v⃗₁ и v⃗₂ — их скорости до взаимодействия; v⃗₁′ и v⃗₂′ — скорости после взаимодействия. Левая часть — суммарный импульс тел после взаимодействия, правая — до взаимодействия. Для движения вдоль одной прямой записывают то же в проекциях на ось X: m₁v₁ₓ′ + m₂v₂ₓ′ = m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ.
Здесь m₁ и m₂ — массы первого и второго тел; v⃗₁ и v⃗₂ — их скорости до взаимодействия; v⃗₁′ и v⃗₂′ — скорости после взаимодействия. Левая часть — суммарный импульс тел после взаимодействия, правая — до взаимодействия. Для движения вдоль одной прямой записывают то же в проекциях на ось X: m₁v₁ₓ′ + m₂v₂ₓ′ = m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ.
§ 24. Вопрос для обсуждения. Докажите, что кг·м/с = Н·с.
По второму закону Ньютона F = ma, поэтому 1 Н = 1 кг·м/с². Тогда 1 Н·с = 1 кг·м/с²·с = 1 кг·м/с. Значит, единицы импульса тела кг·м/с и импульса силы Н·с совпадают.
§ 24. Упражнение 23.
1. Две игрушечные заводные машины, массой по 0,2 кг каждая, движутся прямолинейно навстречу друг другу. Скорость каждой машины относительно земли равна 0,1 м/с. Равны ли векторы импульсов машин; модули векторов импульсов?
Определите проекцию импульса каждой из машин на ось X, параллельную их траектории.
Модуль импульса каждой машины p = mv = 0,2 кг · 0,1 м/с = 0,02 кг·м/с. Модули импульсов равны. Векторы импульсов не равны, так как направлены в противоположные стороны (импульс направлен так же, как скорость, а машины движутся навстречу).
Направим ось X по движению первой машины. Тогда проекция импульса первой машины p₁ₓ = +0,02 кг·м/с, второй p₂ₓ = −0,02 кг·м/с.
Ответ: векторы не равны, модули равны (0,02 кг·м/с); p₁ₓ = 0,02 кг·м/с, p₂ₓ = −0,02 кг·м/с.
Оговорка: если ось направить против движения первой машины, знаки проекций поменяются.
Направим ось X по движению первой машины. Тогда проекция импульса первой машины p₁ₓ = +0,02 кг·м/с, второй p₂ₓ = −0,02 кг·м/с.
Ответ: векторы не равны, модули равны (0,02 кг·м/с); p₁ₓ = 0,02 кг·м/с, p₂ₓ = −0,02 кг·м/с.
Оговорка: если ось направить против движения первой машины, знаки проекций поменяются.
§ 24. Упражнение 23.
2. На сколько изменится модуль импульса автомобиля массой 1 т при изменении модуля его скорости от 54 до 72 км/ч?
Переведём в СИ: m = 1 т = 1000 кг; 54 км/ч = 15 м/с; 72 км/ч = 20 м/с.
Δp = m(v₂ − v₁) = 1000 кг · (20 − 15) м/с = 5000 кг·м/с = 5·10³ кг·м/с.
Ответ: модуль импульса увеличится на 5·10³ кг·м/с.
Δp = m(v₂ − v₁) = 1000 кг · (20 − 15) м/с = 5000 кг·м/с = 5·10³ кг·м/с.
Ответ: модуль импульса увеличится на 5·10³ кг·м/с.
§ 24. Упражнение 23.
3. Человек сидит в лодке, покоящейся на поверхности озера. В какой-то момент он встаёт и идёт с кормы на нос. Что произойдёт при этом с лодкой?
Объясните явление на основе закона сохранения импульса.
Система «человек + лодка» (сопротивлением воды пренебрегаем) замкнутая в горизонтальном направлении, и вначале её суммарный импульс равен нулю. По закону сохранения импульса он должен остаться равным нулю: m v⃗ + M u⃗ = 0, где m, v⃗ — масса и скорость человека относительно воды, M, u⃗ — масса и скорость лодки. Отсюда u⃗ = −(m/M)v⃗. Когда человек идёт к носу, лодка движется в противоположную сторону — к корме, и тем медленнее, чем она тяжелее человека. Когда человек останавливается, останавливается и лодка (суммарный импульс по-прежнему равен нулю).
Ответ: лодка смещается назад (в сторону, противоположную движению человека), а когда человек остановится — остановится.
Ответ: лодка смещается назад (в сторону, противоположную движению человека), а когда человек остановится — остановится.
§ 24. Упражнение 23.
4. Железнодорожный вагон массой 35 т подъезжает к стоящему на том же пути неподвижному вагону массой 28 т и автоматически сцепляется с ним. После сцепки вагоны движутся прямолинейно со скоростью 0,5 м/с. Какова была скорость вагона массой 35 т перед сцепкой?
Система двух вагонов замкнута в горизонтальном направлении. Ось X — по движению первого вагона. Закон сохранения импульса: m₁v₁ + m₂·0 = (m₁ + m₂)v′.
v₁ = (m₁ + m₂)v′/m₁ = (35 т + 28 т) · 0,5 м/с/35 т = 63 · 0,5/35 м/с = 0,9 м/с.
Ответ: v₁ = 0,9 м/с.
v₁ = (m₁ + m₂)v′/m₁ = (35 т + 28 т) · 0,5 м/с/35 т = 63 · 0,5/35 м/с = 0,9 м/с.
Ответ: v₁ = 0,9 м/с.
§ 24. Упражнение 23.
5. Мальчик массой 40 кг, стоящий на коньках, оттолкнувшись от тренера, начал двигаться со скоростью 2 м/с. Какова масса тренера, если он начал скользить со скоростью 0,5 м/с?
До взаимодействия мальчик и тренер покоились, суммарный импульс равен нулю. Система замкнута (трением о лёд пренебрегаем). После толчка они движутся в противоположные стороны: m₁v₁ − m₂v₂ = 0.
m₂ = m₁v₁/v₂ = 40 кг · 2 м/с/0,5 м/с = 160 кг.
Ответ: масса тренера 160 кг.
m₂ = m₁v₁/v₂ = 40 кг · 2 м/с/0,5 м/с = 160 кг.
Ответ: масса тренера 160 кг.
§ 24. Упражнение 23.
6. Автомобиль «Ока» массой 600 кг едет со скоростью 36 км/ч. С какой скоростью должна лететь стрекоза массой 1 г, чтобы при их столкновении автомобиль остановился?
Можно ли в данной задаче пренебречь массой стрекозы?
Скорость автомобиля v₁ = 36 км/ч = 10 м/с; масса стрекозы m₂ = 1 г = 0,001 кг. Чтобы автомобиль остановился, стрекоза должна лететь навстречу, а суммарный импульс после столкновения при остановке обоих тел равен нулю: m₁v₁ − m₂v₂ = 0.
v₂ = m₁v₁/m₂ = 600 кг · 10 м/с/0,001 кг = 6·10⁶ м/с.
Массой стрекозы в этой задаче пренебречь нельзя: если считать массу нулевой, её импульс тоже был бы нулевым, и остановить автомобиль она не смогла бы. Именно малая масса требует огромной скорости.
Ответ: v₂ = 6·10⁶ м/с (6000 км/с, около 2 % скорости света, поэтому на практике такое невозможно); пренебречь массой стрекозы нельзя.
v₂ = m₁v₁/m₂ = 600 кг · 10 м/с/0,001 кг = 6·10⁶ м/с.
Массой стрекозы в этой задаче пренебречь нельзя: если считать массу нулевой, её импульс тоже был бы нулевым, и остановить автомобиль она не смогла бы. Именно малая масса требует огромной скорости.
Ответ: v₂ = 6·10⁶ м/с (6000 км/с, около 2 % скорости света, поэтому на практике такое невозможно); пренебречь массой стрекозы нельзя.