Глава III. §6. п.17 Решение неравенств методом интервалов — с. 98
297. Решите неравенство: а) (x − 8)/(x + 4) > 2; б) (3 − x)/(x − 2) < 1; в) (7x − 1)/x > 5; г) (6 − 2x)/(x + 4) > 3.
Переносим число влево и приводим к общему знаменателю.
а) (x − 8)/(x + 4) − 2 > 0 ⇔ (x − 8 − 2x − 8)/(x + 4) > 0 ⇔ (−x − 16)/(x + 4) > 0 ⇔ (x + 16)/(x + 4) < 0. Решение: (−16; −4).
б) (3 − x)/(x − 2) − 1 < 0 ⇔ (3 − x − x + 2)/(x − 2) < 0 ⇔ (5 − 2x)/(x − 2) < 0 ⇔ (2x − 5)/(x − 2) > 0. Решение: (−∞; 2) ∪ (2,5; +∞).
в) (7x − 1)/x − 5 > 0 ⇔ (2x − 1)/x > 0. Решение: (−∞; 0) ∪ (0,5; +∞).
г) (6 − 2x)/(x + 4) − 3 > 0 ⇔ (6 − 2x − 3x − 12)/(x + 4) > 0 ⇔ (−5x − 6)/(x + 4) > 0 ⇔ (5x + 6)/(x + 4) < 0. Нули −4 и −1,2. Решение: (−4; −1,2).
Ответ: а) (−16; −4); б) (−∞; 2) ∪ (2,5; +∞); в) (−∞; 0) ∪ (0,5; +∞); г) (−4; −1,2).
а) (x − 8)/(x + 4) − 2 > 0 ⇔ (x − 8 − 2x − 8)/(x + 4) > 0 ⇔ (−x − 16)/(x + 4) > 0 ⇔ (x + 16)/(x + 4) < 0. Решение: (−16; −4).
б) (3 − x)/(x − 2) − 1 < 0 ⇔ (3 − x − x + 2)/(x − 2) < 0 ⇔ (5 − 2x)/(x − 2) < 0 ⇔ (2x − 5)/(x − 2) > 0. Решение: (−∞; 2) ∪ (2,5; +∞).
в) (7x − 1)/x − 5 > 0 ⇔ (2x − 1)/x > 0. Решение: (−∞; 0) ∪ (0,5; +∞).
г) (6 − 2x)/(x + 4) − 3 > 0 ⇔ (6 − 2x − 3x − 12)/(x + 4) > 0 ⇔ (−5x − 6)/(x + 4) > 0 ⇔ (5x + 6)/(x + 4) < 0. Нули −4 и −1,2. Решение: (−4; −1,2).
Ответ: а) (−16; −4); б) (−∞; 2) ∪ (2,5; +∞); в) (−∞; 0) ∪ (0,5; +∞); г) (−4; −1,2).
298. Решите неравенство: а) (5x + 4)/x < 4; б) (6x + 1)/(x + 1) > 1; в) x/(x − 1) ≥ 2; г) (3x − 1)/(x + 2) ≥ 1.
а) (5x + 4)/x − 4 < 0 ⇔ (x + 4)/x < 0. Решение: (−4; 0).
б) (6x + 1)/(x + 1) − 1 > 0 ⇔ 5x/(x + 1) > 0. Решение: (−∞; −1) ∪ (0; +∞).
в) x/(x − 1) − 2 ≥ 0 ⇔ (x − 2x + 2)/(x − 1) ≥ 0 ⇔ (2 − x)/(x − 1) ≥ 0 ⇔ (x − 2)/(x − 1) ≤ 0. Решение: (1; 2].
г) (3x − 1)/(x + 2) − 1 ≥ 0 ⇔ (2x − 3)/(x + 2) ≥ 0. Решение: (−∞; −2) ∪ [1,5; +∞).
Ответ: а) (−4; 0); б) (−∞; −1) ∪ (0; +∞); в) (1; 2]; г) (−∞; −2) ∪ [1,5; +∞).
б) (6x + 1)/(x + 1) − 1 > 0 ⇔ 5x/(x + 1) > 0. Решение: (−∞; −1) ∪ (0; +∞).
в) x/(x − 1) − 2 ≥ 0 ⇔ (x − 2x + 2)/(x − 1) ≥ 0 ⇔ (2 − x)/(x − 1) ≥ 0 ⇔ (x − 2)/(x − 1) ≤ 0. Решение: (1; 2].
г) (3x − 1)/(x + 2) − 1 ≥ 0 ⇔ (2x − 3)/(x + 2) ≥ 0. Решение: (−∞; −2) ∪ [1,5; +∞).
Ответ: а) (−4; 0); б) (−∞; −1) ∪ (0; +∞); в) (1; 2]; г) (−∞; −2) ∪ [1,5; +∞).
299. Напишите уравнение прямой, которая: а) проходит через начало координат и точку A(0,6; −2,4); б) пересекает оси координат в точках B(0; 4) и C(−2,5; 0).
а) Прямая через начало координат: y = kx. Подставим A: −2,4 = 0,6k, k = −4. Уравнение y = −4x.
б) y = kx + b. Точка B(0; 4) даёт b = 4. Точка C(−2,5; 0): 0 = −2,5k + 4, k = 1,6. Уравнение y = 1,6x + 4.
Ответ: а) y = −4x; б) y = 1,6x + 4.
б) y = kx + b. Точка B(0; 4) даёт b = 4. Точка C(−2,5; 0): 0 = −2,5k + 4, k = 1,6. Уравнение y = 1,6x + 4.
Ответ: а) y = −4x; б) y = 1,6x + 4.
300. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором — 20%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?
Пусть в первом сосуде x л раствора, тогда во втором x + 1 л. Соли в первом 0,1x л, во втором 0,2(x + 1) л. В третьем сосуде раствора 2x + 1 л, соли в нём 0,16(2x + 1) л.
Уравнение: 0,1x + 0,2(x + 1) = 0,16(2x + 1). Тогда 0,3x + 0,2 = 0,32x + 0,16, откуда 0,04 = 0,02x и x = 2.
Значит, в первом сосуде 2 л, во втором 3 л. Проверка: соли 0,2 + 0,6 = 0,8 л, раствора 5 л, 0,8/5 = 0,16.
Ответ: 2 л и 3 л.
Уравнение: 0,1x + 0,2(x + 1) = 0,16(2x + 1). Тогда 0,3x + 0,2 = 0,32x + 0,16, откуда 0,04 = 0,02x и x = 2.
Значит, в первом сосуде 2 л, во втором 3 л. Проверка: соли 0,2 + 0,6 = 0,8 л, раствора 5 л, 0,8/5 = 0,16.
Ответ: 2 л и 3 л.
Вопрос 1. На примере неравенств 3x² + 5x − 2 < 0 и x² + 2x + 6 > 0 расскажите, как можно решить неравенство второй степени, используя свойства графика квадратичной функции.
Находят дискриминант трёхчлена и выясняют, есть ли корни; затем схематично изображают параболу (ветви вверх при a > 0, вниз при a < 0) и по рисунку определяют промежутки, где точки параболы лежат выше или ниже оси x.
Неравенство 3x² + 5x − 2 < 0: D = 25 + 24 = 49, корни x = (−5 ± 7)/6, то есть x₁ = −2 и x₂ = 1/3. Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось x в точках −2 и 1/3; ниже оси x точки параболы расположены между корнями. Решение: (−2; 1/3).
Неравенство x² + 2x + 6 > 0: D = 4 − 24 = −20 < 0, корней нет, ветви направлены вверх, парабола лежит выше оси x целиком. Значит, неравенство верно при любом x: (−∞; +∞).
Неравенство 3x² + 5x − 2 < 0: D = 25 + 24 = 49, корни x = (−5 ± 7)/6, то есть x₁ = −2 и x₂ = 1/3. Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось x в точках −2 и 1/3; ниже оси x точки параболы расположены между корнями. Решение: (−2; 1/3).
Неравенство x² + 2x + 6 > 0: D = 4 − 24 = −20 < 0, корней нет, ветви направлены вверх, парабола лежит выше оси x целиком. Значит, неравенство верно при любом x: (−∞; +∞).
Вопрос 2. На примере неравенства (x − 5)(x + 7)(x + 9) < 0 расскажите, как решают неравенства методом интервалов.
Отмечают на координатной прямой нули функции f(x) = (x − 5)(x + 7)(x + 9): числа −9, −7 и 5. Они разбивают прямую на промежутки (−∞; −9), (−9; −7), (−7; 5), (5; +∞). На крайнем правом промежутке (5; +∞) все множители положительны, поэтому f(x) > 0 (ставим «+»). При переходе через каждый нуль знак меняется: на (−7; 5) знак «−», на (−9; −7) знак «+», на (−∞; −9) знак «−». Нужны промежутки со знаком «−».
Ответ: (−∞; −9) ∪ (−7; 5).
Ответ: (−∞; −9) ∪ (−7; 5).