Упражнения 287–296, стр. 97 — Алгебра, 9 класс, Алгебра Макарычев · ГДЗ
Алгебра · 9 КЛАСС

Упражнения 287–296 — Глава III. §6. п.17 Решение неравенств методом…

Страница 97 · Алгебра Макарычев 9 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 15-е издание, переработанное

Оглавление

Глава III. §6. п.17 Решение неравенств методом интервалов — с. 97

287. Решите неравенство: а) (x − 2)(x − 5)(x − 12) > 0; б) (x + 7)(x + 1)(x − 4) < 0; в) x(x + 1)(x + 5)(x − 8) > 0.
Метод интервалов: на крайнем правом промежутке произведение положительно, далее знаки чередуются справа налево.
а) Нули 2, 5, 12. Знаки справа налево: (12; +∞) «+», (5; 12. «−», (2; 5. «+», (−∞; 2. «−». Решение: (2; 5) ∪ (12; +∞).
б) Нули −7, −1, 4. Знаки: (4; +∞) «+», (−1; 4. «−», (−7; −1) «+», (−∞; −7) «−». Нужен «−»: (−∞; −7) ∪ (−1; 4).
в) Нули −5, −1, 0, 8. Знаки: (8; +∞) «+», (0; 8. «−», (−1; 0. «+», (−5; −1) «−», (−∞; −5) «+». Решение: (−∞; −5) ∪ (−1; 0) ∪ (8; +∞).
Ответ: а) (2; 5) ∪ (12; +∞); б) (−∞; −7) ∪ (−1; 4); в) (−∞; −5) ∪ (−1; 0) ∪ (8; +∞).
288. Найдите, при каких значениях x: а) произведение (x + 48)(x − 37)(x − 42) положительно; б) произведение (x + 0,7)(x − 2,8)(x − 9,2) отрицательно.
а) Нули −48, 37, 42. Справа налево знаки: «+», «−», «+», «−». Положительно на (−48; 37) и (42; +∞).
б) Нули −0,7; 2,8; 9,2. Справа налево знаки: «+», «−», «+», «−». Отрицательно на (−∞; −0,7) и (2,8; 9,2).
Ответ: а) x ∈ (−48; 37) ∪ (42; +∞); б) x ∈ (−∞; −0,7) ∪ (2,8; 9,2).
289. Решите неравенство: а) (x + 9)(x − 2)(x − 15) < 0; б) x(x − 5)(x + 6) > 0; в) (x − 1)(x − 4)(x − 8)(x − 16) < 0.
а) Нули −9, 2, 15. Справа налево знаки: «+», «−», «+», «−». Нужен «−»: (−∞; −9) ∪ (2; 15).
б) Нули −6, 0, 5. Знаки справа налево: «+», «−», «+», «−». Нужен «+»: (−6; 0) ∪ (5; +∞).
в) Нули 1, 4, 8, 16. Знаки справа налево: (16; +∞) «+», (8; 16. «−», (4; 8. «+», (1; 4. «−», (−∞; 1. «+». Нужен «−»: (1; 4) ∪ (8; 16).
Ответ: а) (−∞; −9) ∪ (2; 15); б) (−6; 0) ∪ (5; +∞); в) (1; 4) ∪ (8; 16).
290. Найдите множество решений неравенства: а) 5(x − 13)(x + 24) < 0; б) −(x + 1/7)(x + 1/3) ≥ 0; в) (x + 12)(3 − x) > 0; г) (6 + x)(3x − 1) ≤ 0.
а) Разделим на 5: (x − 13)(x + 24) < 0. Нули −24 и 13: (−24; 13).
б) Умножим на −1: (x + 1/7)(x + 1/3) ≤ 0. Нули −1/3 и −1/7: [−1/3; −1/7].
в) 3 − x = −(x − 3), поэтому (x + 12)(x − 3) < 0. Нули −12 и 3: (−12; 3).
г) 3x − 1 = 3(x − 1/3), поэтому (x + 6)(x − 1/3) ≤ 0. Нули −6 и 1/3: [−6; 1/3].
Ответ: а) (−24; 13); б) [−1/3; −1/7]; в) (−12; 3); г) [−6; 1/3].
291. Решите неравенство: а) 2(x − 18)(x − 19) > 0; б) −4(x + 0,9)(x − 3,2) < 0; в) (7x + 21)(x − 8,5) ≤ 0; г) (8 − x)(x − 0,3) ≥ 0.
а) (x − 18)(x − 19) > 0: (−∞; 18) ∪ (19; +∞).
б) Разделим на −4 со сменой знака: (x + 0,9)(x − 3,2) > 0: (−∞; −0,9) ∪ (3,2; +∞).
в) 7x + 21 = 7(x + 3), значит, (x + 3)(x − 8,5) ≤ 0: [−3; 8,5].
г) 8 − x = −(x − 8), значит, (x − 8)(x − 0,3) ≤ 0: [0,3; 8].
Ответ: а) (−∞; 18) ∪ (19; +∞); б) (−∞; −0,9) ∪ (3,2; +∞); в) [−3; 8,5]; г) [0,3; 8].
292. Найдите область определения функции: а) y = √((5 − x)(x + 8)); б) y = √((x + 12)(x − 1)(x − 9)).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
а) (5 − x)(x + 8) ≥ 0 ⇔ (x − 5)(x + 8) ≤ 0. Нули −8 и 5: [−8; 5].
б) (x + 12)(x − 1)(x − 9) ≥ 0. Нули −12, 1, 9. Справа налево знаки: «+», «−», «+», «−». Решение: [−12; 1] ∪ [9; +∞).
Ответ: а) [−8; 5]; б) [−12; 1] ∪ [9; +∞).
Оговорка: последний множитель пункта б) частично закрыт водяным знаком, прочитан как (x − 9).
293. При каких значениях x имеет смысл выражение: а) √((2x + 5)(x − 17)); б) √(x(x + 9)(2x − 8))?
Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно.
а) (2x + 5)(x − 17) ≥ 0 ⇔ (x + 2,5)(x − 17) ≥ 0. Нули −2,5 и 17: (−∞; −2,5] ∪ [17; +∞).
б) x(x + 9)(2x − 8) ≥ 0 ⇔ x(x + 9)(x − 4) ≥ 0. Нули −9, 0, 4. Справа налево знаки: «+», «−», «+», «−». Решение: [−9; 0] ∪ [4; +∞).
Ответ: а) x ≤ −2,5 или x ≥ 17; б) −9 ≤ x ≤ 0 или x ≥ 4.
294. Решите неравенство: а) (x − 5)/(x + 6) < 0; б) (1,4 − x)/(x + 3,8) < 0; в) 2x/(x − 1,6) > 0; г) (5x − 1,5)/(x − 4) > 0; д) (5x + 1)/(x − 2) > 0; е) 3x/(2x + 9) < 0.
Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя (при допустимых x).
а) (x − 5)(x + 6) < 0: (−6; 5).
б) (1,4 − x)/(x + 3,8) < 0 ⇔ (x − 1,4)/(x + 3,8) > 0 ⇔ (x − 1,4)(x + 3,8) > 0: (−∞; −3,8) ∪ (1,4; +∞).
в) 2x(x − 1,6) > 0: (−∞; 0) ∪ (1,6; +∞).
г) 5x − 1,5 = 5(x − 0,3); (x − 0,3)(x − 4) > 0: (−∞; 0,3) ∪ (4; +∞).
д) 5x + 1 = 5(x + 0,2); (x + 0,2)(x − 2) > 0: (−∞; −0,2) ∪ (2; +∞).
е) 3x(2x + 9) < 0 ⇔ x(x + 4,5) < 0: (−4,5; 0).
Ответ: а) (−6; 5); б) (−∞; −3,8) ∪ (1,4; +∞); в) (−∞; 0) ∪ (1,6; +∞); г) (−∞; 0,3) ∪ (4; +∞); д) (−∞; −0,2) ∪ (2; +∞); е) (−4,5; 0).
295. Решите неравенство: а) (x − 21)/(x + 7) < 0; б) (x + 4,7)/(x − 7,2) > 0; в) (6x + 1)/(3 + x) > 0; г) 5x/(4x − 12) < 0.
а) (x − 21)(x + 7) < 0: (−7; 21).
б) (x + 4,7)(x − 7,2) > 0: (−∞; −4,7) ∪ (7,2; +∞).
в) (6x + 1)(x + 3) > 0, нули −3 и −1/6: (−∞; −3) ∪ (−1/6; +∞).
г) 5x(4x − 12) < 0 ⇔ x(x − 3) < 0: (0; 3).
Ответ: а) (−7; 21); б) (−∞; −4,7) ∪ (7,2; +∞); в) (−∞; −3) ∪ (−1/6; +∞); г) (0; 3).
296. Найдите множество решений неравенства: а) (x − 1)/(x − 3) ≥ 0; б) (x + 6)/(x − 5) ≤ 0; в) (2 − x)/x ≥ 0; г) (3 − 2x)/(x − 1) ≤ 0; д) (7x − 2)/(1 − x) ≥ 0; е) (1 − 11x)/(2x − 3) ≤ 0.
Нули числителя входят в решение (знак нестрогий), нули знаменателя — никогда.
а) Нули 1 и 3: (−∞; 1] ∪ (3; +∞).
б) Нули −6 и 5: [−6; 5).
в) (2 − x)/x ≥ 0 ⇔ (x − 2)/x ≤ 0: (0; 2].
г) (3 − 2x)/(x − 1) ≤ 0 ⇔ (2x − 3)/(x − 1) ≥ 0. Нули 1 и 1,5: (−∞; 1) ∪ [1,5; +∞).
д) (7x − 2)/(1 − x) ≥ 0 ⇔ (7x − 2)/(x − 1) ≤ 0. Нули 2/7 и 1: [2/7; 1).
е) (1 − 11x)/(2x − 3) ≤ 0 ⇔ (11x − 1)/(2x − 3) ≥ 0. Нули 1/11 и 1,5: (−∞; 1/11] ∪ (1,5; +∞).
Ответ: а) (−∞; 1] ∪ (3; +∞); б) [−6; 5); в) (0; 2]; г) (−∞; 1) ∪ [1,5; +∞); д) [2/7; 1); е) (−∞; 1/11] ∪ (1,5; +∞).