Глава III. §6. п.16 Решение неравенств второй степени с одной переменной — с. 93
283. Решите уравнение: а) y⁴ − 24y² − 25 = 0; б) x⁴ − 9x² + 18 = 0.
Биквадратные уравнения, заменяем квадрат переменной новой переменной t.
а) t = y², t² − 24t − 25 = 0, D = 576 + 100 = 676, t = (24 ± 26)/2, t₁ = 25, t₂ = −1. y² = 25 ⇒ y = ±5; y² = −1 — корней нет.
б) t = x², t² − 9t + 18 = 0, t = 3 или t = 6 (по теореме Виета: сумма 9, произведение 18). x² = 3 ⇒ x = ±√3; x² = 6 ⇒ x = ±√6.
Ответ: а) −5; 5; б) −√6; −√3; √3; √6.
а) t = y², t² − 24t − 25 = 0, D = 576 + 100 = 676, t = (24 ± 26)/2, t₁ = 25, t₂ = −1. y² = 25 ⇒ y = ±5; y² = −1 — корней нет.
б) t = x², t² − 9t + 18 = 0, t = 3 или t = 6 (по теореме Виета: сумма 9, произведение 18). x² = 3 ⇒ x = ±√3; x² = 6 ⇒ x = ±√6.
Ответ: а) −5; 5; б) −√6; −√3; √3; √6.
284. Слиток массой 3 кг, содержащий 80% олова и 20% свинца, сплавили с куском олова, после чего процентное содержание олова в слитке составило 94%. Сколько олова добавили в слиток?
В исходном слитке олова 3·0,8 = 2,4 кг. Пусть добавили x кг олова. Тогда масса нового слитка 3 + x кг, олова в нём 2,4 + x кг, что составляет 94%.
Уравнение: (2,4 + x)/(3 + x) = 0,94. Тогда 2,4 + x = 0,94(3 + x) = 2,82 + 0,94x, откуда 0,06x = 0,42 и x = 7.
Проверка: (2,4 + 7)/(3 + 7) = 9,4/10 = 0,94.
Ответ: 7 кг.
Уравнение: (2,4 + x)/(3 + x) = 0,94. Тогда 2,4 + x = 0,94(3 + x) = 2,82 + 0,94x, откуда 0,06x = 0,42 и x = 7.
Проверка: (2,4 + 7)/(3 + 7) = 9,4/10 = 0,94.
Ответ: 7 кг.