Упражнения 265–275, стр. 91 — Алгебра, 9 класс, Алгебра Макарычев · ГДЗ
Алгебра · 9 КЛАСС

Упражнения 265–275 — Глава III. §6. п.16 Решение неравенств второй…

Страница 91 · Алгебра Макарычев 9 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 15-е издание, переработанное

Оглавление

Глава III. §6. п.16 Решение неравенств второй степени с одной переменной — с. 91

265. Найдите множество решений неравенства: а) 2x² + 3x − 5 ≥ 0; б) −6x² + 6x + 36 ≥ 0; в) −x² + 5 ≤ 0.
а) 2x² + 3x − 5 = 0: D = 9 + 40 = 49, x = (−3 ± 7)/4, x₁ = −2,5, x₂ = 1. Ветви вверх, значения неотрицательны вне интервала между корнями (включая корни): (−∞; −2,5] ∪ [1; +∞).
б) Разделим на −6 и сменим знак: x² − x − 6 ≤ 0. Корни: x = −2 и x = 3. Решение: [−2; 3].
в) −x² + 5 ≤ 0 ⇔ x² ≥ 5 ⇔ |x| ≥ √5. Решение: (−∞; −√5] ∪ [√5; +∞).
Ответ: а) (−∞; −2,5] ∪ [1; +∞); б) [−2; 3]; в) (−∞; −√5] ∪ [√5; +∞).
266. Решите неравенство: а) 2x² + 13x − 7 > 0; б) −9x² + 12x − 4 < 0; в) 6x² − 13x + 5 ≤ 0; г) −2x² − 5x + 18 ≤ 0; д) 3x² − 2x > 0; е) 8 − x² < 0.
а) 2x² + 13x − 7 = 0: D = 169 + 56 = 225, x = (−13 ± 15)/4, x₁ = −7, x₂ = 0,5. Ветви вверх: (−∞; −7) ∪ (0,5; +∞).
б) Умножим на −1: 9x² − 12x + 4 > 0, то есть (3x − 2)² > 0. Верно при всех x, кроме x = 2/3: (−∞; 2/3) ∪ (2/3; +∞).
в) 6x² − 13x + 5 = 0: D = 169 − 120 = 49, x = (13 ± 7)/12, x₁ = 1/2, x₂ = 5/3. Решение: [1/2; 5/3].
г) Умножим на −1: 2x² + 5x − 18 ≥ 0. D = 25 + 144 = 169, x = (−5 ± 13)/4, x₁ = −4,5, x₂ = 2. Решение: (−∞; −4,5] ∪ [2; +∞).
д) x(3x − 2) > 0, корни 0 и 2/3, ветви вверх: (−∞; 0) ∪ (2/3; +∞).
е) 8 − x² < 0 ⇔ x² > 8 ⇔ |x| > 2√2: (−∞; −2√2) ∪ (2√2; +∞).
Ответ: а) (−∞; −7) ∪ (0,5; +∞); б) (−∞; 2/3) ∪ (2/3; +∞); в) [1/2; 5/3]; г) (−∞; −4,5] ∪ [2; +∞); д) (−∞; 0) ∪ (2/3; +∞); е) (−∞; −2√2) ∪ (2√2; +∞).
267. Найдите, при каких значениях x трёхчлен: а) 2x² + 5x + 3 принимает положительные значения; б) −x² − 1/3 x − 1/36 принимает отрицательные значения.
а) 2x² + 5x + 3 > 0. Корни: D = 25 − 24 = 1, x = (−5 ± 1)/4, x₁ = −1,5, x₂ = −1. Ветви вверх: x < −1,5 или x > −1.
б) −x² − x/3 − 1/36 < 0 ⇔ x² + x/3 + 1/36 > 0 ⇔ (x + 1/6)² > 0. Это верно при всех x, кроме x = −1/6.
Ответ: а) при x ∈ (−∞; −1,5) ∪ (−1; +∞); б) при всех x, кроме −1/6.
268. Решите неравенство: а) x² < 16; б) x² ≥ 3; в) 0,2x² > 1,8; г) −5x² ≤ x; д) 3x² < −2x; е) 7x < x².
а) x² < 16 ⇔ |x| < 4: (−4; 4).
б) x² ≥ 3 ⇔ |x| ≥ √3: (−∞; −√3] ∪ [√3; +∞).
в) Разделим на 0,2: x² > 9, |x| > 3: (−∞; −3) ∪ (3; +∞).
г) 5x² + x ≥ 0 ⇔ x(5x + 1) ≥ 0. Корни −0,2 и 0, ветви вверх: (−∞; −0,2] ∪ [0; +∞).
д) 3x² + 2x < 0 ⇔ x(3x + 2) < 0. Корни −2/3 и 0: (−2/3; 0).
е) x² − 7x > 0 ⇔ x(x − 7) > 0: (−∞; 0) ∪ (7; +∞).
Ответ: а) (−4; 4); б) (−∞; −√3] ∪ [√3; +∞); в) (−∞; −3) ∪ (3; +∞); г) (−∞; −0,2] ∪ [0; +∞); д) (−2/3; 0); е) (−∞; 0) ∪ (7; +∞).
269. Решите неравенство: а) 0,01x² ≤ 1; б) 1/2 x² > 12; в) 4x ≤ −x²; г) 1/3 x² > 1/9; д) 5x² > 2x; е) −0,3x < 0,6x².
а) x² ≤ 100, |x| ≤ 10: [−10; 10].
б) x² > 24, |x| > 2√6: (−∞; −2√6) ∪ (2√6; +∞).
в) x² + 4x ≤ 0 ⇔ x(x + 4) ≤ 0: [−4; 0].
г) Умножим на 3: x² > 1/3, |x| > 1/√3 = √3/3: (−∞; −√3/3) ∪ (√3/3; +∞).
д) 5x² − 2x > 0 ⇔ x(5x − 2) > 0: (−∞; 0) ∪ (0,4; +∞).
е) 0,6x² + 0,3x > 0 ⇔ 0,3x(2x + 1) > 0. Корни −0,5 и 0: (−∞; −0,5) ∪ (0; +∞).
Ответ: а) [−10; 10]; б) (−∞; −2√6) ∪ (2√6; +∞); в) [−4; 0]; г) (−∞; −√3/3) ∪ (√3/3; +∞); д) (−∞; 0) ∪ (0,4; +∞); е) (−∞; −0,5) ∪ (0; +∞).
270. При каких значениях b уравнение имеет два корня: а) 3x² + bx + 3 = 0; б) x² + 2bx + 15 = 0?
Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0.
а) D = b² − 4·3·3 = b² − 36 > 0 ⇔ |b| > 6.
б) D/4 = b² − 15 > 0 ⇔ |b| > √15.
Ответ: а) b < −6 или b > 6; б) b < −√15 или b > √15.
271. При каких значениях t уравнение не имеет корней: а) 2x² + tx + 18 = 0; б) 4x² + 4tx + 9 = 0?
Корней нет, если D < 0.
а) D = t² − 4·2·18 = t² − 144 < 0 ⇔ −12 < t < 12.
б) D/4 = 4t² − 4·9 = 4t² − 36 < 0 ⇔ t² < 9 ⇔ −3 < t < 3.
Ответ: а) −12 < t < 12; б) −3 < t < 3.
272. Найдите множество решений неравенства: а) 3x² + 40x + 10 < −x² + 11x + 3; б) 9x² − x + 9 ≥ 3x² + 18x − 6; в) 2x² + 8x − 111 < (3x − 5)(2x + 6); г) (5x + 1)(3x − 1) > (4x − 1)(x + 2).
а) Перенесём всё влево: 4x² + 29x + 7 < 0. D = 841 − 112 = 729 = 27², x = (−29 ± 27)/8, x₁ = −7, x₂ = −1/4. Решение: (−7; −0,25).
б) 6x² − 19x + 15 ≥ 0. D = 361 − 360 = 1, x = (19 ± 1)/12, x₁ = 1,5, x₂ = 5/3. Решение: (−∞; 1,5] ∪ [5/3; +∞).
в) (3x − 5)(2x + 6) = 6x² + 8x − 30. Неравенство: 2x² + 8x − 111 − 6x² − 8x + 30 < 0 ⇔ −4x² − 81 < 0 ⇔ 4x² + 81 > 0, верно при любом x.
г) (5x + 1)(3x − 1) = 15x² − 2x − 1, (4x − 1)(x + 2) = 4x² + 7x − 2. Неравенство: 11x² − 9x + 1 > 0. D = 81 − 44 = 37, x = (9 ± √37)/22. Решение: (−∞; (9 − √37)/22) ∪ ((9 + √37)/22; +∞).
Ответ: а) (−7; −0,25); б) (−∞; 1,5] ∪ [5/3; +∞); в) любое число; г) (−∞; (9 − √37)/22) ∪ ((9 + √37)/22; +∞).
273. Решите неравенство: а) 2x(3x − 1) > 4x² + 5x + 9; б) (5x + 7)(x − 2) < 21x² − 11x − 13.
а) 6x² − 2x > 4x² + 5x + 9 ⇔ 2x² − 7x − 9 > 0. D = 49 + 72 = 121, x = (7 ± 11)/4, x₁ = −1, x₂ = 4,5. Решение: (−∞; −1) ∪ (4,5; +∞).
б) (5x + 7)(x − 2) = 5x² − 3x − 14. Неравенство: 5x² − 3x − 14 < 21x² − 11x − 13 ⇔ 0 < 16x² − 8x + 1 ⇔ (4x − 1)² > 0. Верно при всех x, кроме x = 1/4.
Ответ: а) (−∞; −1) ∪ (4,5; +∞); б) все числа, кроме 1/4.
274. Найдите область определения функции: а) y = √(12x − 3x²); б) y = 1/√(2x² − 12x + 18).
а) Подкоренное выражение неотрицательно: 12x − 3x² ≥ 0 ⇔ 3x(4 − x) ≥ 0 ⇔ x(x − 4) ≤ 0. Решение: [0; 4].
б) Подкоренное выражение стоит в знаменателе, поэтому оно положительно: 2x² − 12x + 18 > 0 ⇔ 2(x − 3)² > 0 ⇔ x ≠ 3.
Ответ: а) [0; 4]; б) все числа, кроме 3.
275. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: а) 7x² − 10x + 7 > 0; б) −6y² + 11y − 10 < 0; в) 4x² + 12x + 9 ≥ 0; г) 1/4 x² − 8x + 64 ≥ 0; д) −9y² + 6y − 1 ≤ 0; е) −5x² + 8x − 5 < 0. 1) Обсудите, при каком условии неравенство ax² + bx + c > 0, где a, b, c — некоторые числа, верно при любом значении переменной x. Укажите аналогичные условия для неравенства ax² + bx + c < 0. 2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.
1) Парабола y = ax² + bx + c лежит выше оси x целиком, если ветви направлены вверх (a > 0) и общих точек с осью нет (D < 0). Значит, ax² + bx + c > 0 при любом x тогда и только тогда, когда a > 0 и D < 0. Аналогично ax² + bx + c < 0 при любом x тогда и только тогда, когда a < 0 и D < 0.
2) а) a = 7 > 0, D = 100 − 196 = −96 < 0, поэтому 7x² − 10x + 7 > 0 при любом x.
б) a = −6 < 0, D = 121 − 240 = −119 < 0, поэтому −6y² + 11y − 10 < 0 при любом y.
в) 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² ≥ 0 как квадрат числа.
г) 1/4 x² − 8x + 64 = (x/2 − 8)² ≥ 0 как квадрат числа.
д) −9y² + 6y − 1 = −(3y − 1)² ≤ 0, так как (3y − 1)² ≥ 0.
е) a = −5 < 0, D = 64 − 100 = −36 < 0, поэтому −5x² + 8x − 5 < 0 при любом x.
3) Для проверки можно подставить в каждое выражение несколько значений переменной и убедиться, что знак совпадает с доказанным.
Что и требовалось доказать.