Глава III. §6. п.16 Решение неравенств второй степени с одной переменной — с. 92
276. Какое из данных выражений принимает положительное значение при любом значении y?
1. (y − 2)(y − 3) − 4;
2. (5 − y)(1 − y) + 4;
3. (5 − y)(1 − y) + 10;
4. (y − 8)(y − 7) − 60.
Раскроем скобки и найдём знак каждого трёхчлена.
1. y² − 5y + 6 − 4 = y² − 5y + 2, D = 25 − 8 = 17 > 0, трёхчлен принимает и отрицательные значения.
2. y² − 6y + 5 + 4 = y² − 6y + 9 = (y − 3)², при y = 3 равно 0, значит, не всегда положительно.
3. y² − 6y + 5 + 10 = y² − 6y + 15, D = 36 − 60 = −24 < 0, a = 1 > 0, поэтому выражение положительно при любом y.
4. y² − 15y + 56 − 60 = y² − 15y − 4, D = 225 + 16 > 0, принимает и отрицательные значения.
Ответ: выражение 3.
1. y² − 5y + 6 − 4 = y² − 5y + 2, D = 25 − 8 = 17 > 0, трёхчлен принимает и отрицательные значения.
2. y² − 6y + 5 + 4 = y² − 6y + 9 = (y − 3)², при y = 3 равно 0, значит, не всегда положительно.
3. y² − 6y + 5 + 10 = y² − 6y + 15, D = 36 − 60 = −24 < 0, a = 1 > 0, поэтому выражение положительно при любом y.
4. y² − 15y + 56 − 60 = y² − 15y − 4, D = 225 + 16 > 0, принимает и отрицательные значения.
Ответ: выражение 3.
277. Докажите, что: а) x² + 7x + 1 > −x² + 10x − 1 при любом x; б) −2x² + 10x < 18 − 2x при x ≠ 3.
а) Перенесём всё влево: x² + 7x + 1 + x² − 10x + 1 > 0 ⇔ 2x² − 3x + 2 > 0. D = 9 − 16 = −7 < 0, a = 2 > 0, поэтому трёхчлен положителен при любом x. Неравенство доказано.
б) −2x² + 10x − 18 + 2x < 0 ⇔ −2x² + 12x − 18 < 0 ⇔ −2(x² − 6x + 9) < 0 ⇔ −2(x − 3)² < 0 ⇔ (x − 3)² > 0. Это верно при всех x ≠ 3. Неравенство доказано.
б) −2x² + 10x − 18 + 2x < 0 ⇔ −2x² + 12x − 18 < 0 ⇔ −2(x² − 6x + 9) < 0 ⇔ −2(x − 3)² < 0 ⇔ (x − 3)² > 0. Это верно при всех x ≠ 3. Неравенство доказано.
278. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть меньшая сторона, если площадь прямоугольника не превосходит 60 см²?
Пусть меньшая сторона x см (x > 0), тогда большая x + 7 см. Площадь x(x + 7) ≤ 60, то есть x² + 7x − 60 ≤ 0. Корни: D = 49 + 240 = 289, x = (−7 ± 17)/2, x₁ = −12, x₂ = 5. Решение неравенства: −12 ≤ x ≤ 5. С учётом x > 0 получаем 0 < x ≤ 5.
Ответ: меньшая сторона больше 0 и не больше 5 см.
Ответ: меньшая сторона больше 0 и не больше 5 см.
279. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36 см²?
Пусть ширина x см (x > 0), тогда длина x + 5 см. Площадь x(x + 5) > 36 ⇔ x² + 5x − 36 > 0. Корни: D = 25 + 144 = 169, x = (−5 ± 13)/2, x₁ = −9, x₂ = 4. Решение: x < −9 или x > 4. С учётом x > 0 получаем x > 4.
Ответ: ширина должна быть больше 4 см.
Ответ: ширина должна быть больше 4 см.
280. Решите систему неравенств: а) { x² − 2x − 8 < 0, x² − 9 < 0; б) { 2x² − 13x + 6 < 0, x² − 4x > 0; в) { x² − 6x − 16 > 0, x² + 2x − 120 < 0; г) { 3x² + x − 2 ≤ 0, x² + 4x − 12 ≤ 0; д) { 2x² + 4x + 15 ≥ 0, x² − 9x + 8 ≤ 0; е) { 2x² + 5x − 3 < 0, 3x² + x + 11 < 0.
Решаем каждое неравенство и находим пересечение решений.
а) x² − 2x − 8 < 0: корни −2 и 4, решение (−2; 4). x² − 9 < 0: (−3; 3). Пересечение: (−2; 3).
б) 2x² − 13x + 6 < 0: D = 169 − 48 = 121, корни 0,5 и 6, решение (0,5; 6). x² − 4x > 0: x(x − 4) > 0, решение (−∞; 0) ∪ (4; +∞). Пересечение: (4; 6).
в) x² − 6x − 16 > 0: корни −2 и 8, решение (−∞; −2) ∪ (8; +∞). x² + 2x − 120 < 0: корни −12 и 10, решение (−12; 10). Пересечение: (−12; −2) ∪ (8; 10).
г) 3x² + x − 2 ≤ 0: D = 25, корни −1 и 2/3, решение [−1; 2/3]. x² + 4x − 12 ≤ 0: корни −6 и 2, решение [−6; 2]. Пересечение: [−1; 2/3].
д) 2x² + 4x + 15 ≥ 0: D = 16 − 120 < 0, a > 0, верно при любом x. x² − 9x + 8 ≤ 0: корни 1 и 8, решение [1; 8]. Пересечение: [1; 8].
е) 2x² + 5x − 3 < 0: корни −3 и 0,5, решение (−3; 0,5). 3x² + x + 11 < 0: D = 1 − 132 < 0, a > 0, решений нет. Значит, у системы решений нет.
Ответ: а) (−2; 3); б) (4; 6); в) (−12; −2) ∪ (8; 10); г) [−1; 2/3]; д) [1; 8]; е) решений нет.
а) x² − 2x − 8 < 0: корни −2 и 4, решение (−2; 4). x² − 9 < 0: (−3; 3). Пересечение: (−2; 3).
б) 2x² − 13x + 6 < 0: D = 169 − 48 = 121, корни 0,5 и 6, решение (0,5; 6). x² − 4x > 0: x(x − 4) > 0, решение (−∞; 0) ∪ (4; +∞). Пересечение: (4; 6).
в) x² − 6x − 16 > 0: корни −2 и 8, решение (−∞; −2) ∪ (8; +∞). x² + 2x − 120 < 0: корни −12 и 10, решение (−12; 10). Пересечение: (−12; −2) ∪ (8; 10).
г) 3x² + x − 2 ≤ 0: D = 25, корни −1 и 2/3, решение [−1; 2/3]. x² + 4x − 12 ≤ 0: корни −6 и 2, решение [−6; 2]. Пересечение: [−1; 2/3].
д) 2x² + 4x + 15 ≥ 0: D = 16 − 120 < 0, a > 0, верно при любом x. x² − 9x + 8 ≤ 0: корни 1 и 8, решение [1; 8]. Пересечение: [1; 8].
е) 2x² + 5x − 3 < 0: корни −3 и 0,5, решение (−3; 0,5). 3x² + x + 11 < 0: D = 1 − 132 < 0, a > 0, решений нет. Значит, у системы решений нет.
Ответ: а) (−2; 3); б) (4; 6); в) (−12; −2) ∪ (8; 10); г) [−1; 2/3]; д) [1; 8]; е) решений нет.
281. Укажите все целые значения x, принадлежащие области определения функции: а) y = √(25 − x²) + √(9x − x² − 14); б) y = √(8x − x² − 12) + √(16 − x²).
Область определения — значения x, при которых оба подкоренных выражения неотрицательны.
а) 25 − x² ≥ 0 ⇔ x ∈ [−5; 5]. 9x − x² − 14 ≥ 0 ⇔ x² − 9x + 14 ≤ 0, корни 2 и 7, решение [2; 7]. Пересечение: [2; 5]. Целые значения: 2, 3, 4, 5.
б) 8x − x² − 12 ≥ 0 ⇔ x² − 8x + 12 ≤ 0, корни 2 и 6, решение [2; 6]. 16 − x² ≥ 0 ⇔ [−4; 4]. Пересечение: [2; 4]. Целые значения: 2, 3, 4.
Ответ: а) 2, 3, 4, 5; б) 2, 3, 4.
а) 25 − x² ≥ 0 ⇔ x ∈ [−5; 5]. 9x − x² − 14 ≥ 0 ⇔ x² − 9x + 14 ≤ 0, корни 2 и 7, решение [2; 7]. Пересечение: [2; 5]. Целые значения: 2, 3, 4, 5.
б) 8x − x² − 12 ≥ 0 ⇔ x² − 8x + 12 ≤ 0, корни 2 и 6, решение [2; 6]. 16 − x² ≥ 0 ⇔ [−4; 4]. Пересечение: [2; 4]. Целые значения: 2, 3, 4.
Ответ: а) 2, 3, 4, 5; б) 2, 3, 4.
282. Функция задана формулой y = (0,5x − 2)/3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения её графика с осью x; с осью y. Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
С осью x: y = 0, 0,5x − 2 = 0, x = 4. Точка (4; 0).
С осью y: x = 0, y = −2/3. Точка (0; −2/3).
Функция линейная: y = (1/6)x − 2/3, угловой коэффициент 1/6 > 0, поэтому функция возрастающая.
Ответ: (4; 0); (0; −2/3); функция возрастающая.
С осью y: x = 0, y = −2/3. Точка (0; −2/3).
Функция линейная: y = (1/6)x − 2/3, угловой коэффициент 1/6 > 0, поэтому функция возрастающая.
Ответ: (4; 0); (0; −2/3); функция возрастающая.