Глава III. §6. п.16 Решение неравенств второй степени с одной переменной — с. 90
264. Решите неравенство: а) x² + 2x − 48 < 0; б) 2x² − 7x + 6 > 0; в) −x² + 2x + 15 < 0; г) −5x² + 11x − 6 > 0; д) 4x² − 12x + 9 > 0; е) 25x² + 30x + 9 < 0; ж) −10x² + 9x > 0; з) −2x² + 7x < 0.
а) Корни x² + 2x − 48 = 0: D = 4 + 192 = 196, x = (−2 ± 14)/2, x₁ = −8, x₂ = 6. Ветви параболы вверх, значения отрицательны между корнями: (−8; 6).
б) 2x² − 7x + 6 = 0: D = 49 − 48 = 1, x = (7 ± 1)/4, x₁ = 1,5, x₂ = 2. Ветви вверх, значения положительны вне корней: (−∞; 1,5) ∪ (2; +∞).
в) Умножим на −1 и сменим знак неравенства: x² − 2x − 15 > 0. Корни: x = 5 и x = −3. Ветви параболы вверх, значения положительны вне корней: (−∞; −3) ∪ (5; +∞).
г) Умножим на −1: 5x² − 11x + 6 < 0. D = 121 − 120 = 1, x = (11 ± 1)/10, x₁ = 1, x₂ = 1,2. Решение: (1; 1,2).
д) 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)² > 0 при всех x, кроме x = 1,5. Решение: (−∞; 1,5) ∪ (1,5; +∞).
е) 25x² + 30x + 9 = (5x + 3)² ≥ 0, поэтому неравенство (5x + 3)² < 0 не имеет решений.
ж) −10x² + 9x > 0 ⇔ 10x² − 9x < 0 ⇔ x(10x − 9) < 0. Корни 0 и 0,9, ветви вверх: (0; 0,9).
з) −2x² + 7x < 0 ⇔ 2x² − 7x > 0 ⇔ x(2x − 7) > 0. Корни 0 и 3,5: (−∞; 0) ∪ (3,5; +∞).
Ответ: а) (−8; 6); б) (−∞; 1,5) ∪ (2; +∞); в) (−∞; −3) ∪ (5; +∞); г) (1; 1,2); д) (−∞; 1,5) ∪ (1,5; +∞); е) решений нет; ж) (0; 0,9); з) (−∞; 0) ∪ (3,5; +∞).
б) 2x² − 7x + 6 = 0: D = 49 − 48 = 1, x = (7 ± 1)/4, x₁ = 1,5, x₂ = 2. Ветви вверх, значения положительны вне корней: (−∞; 1,5) ∪ (2; +∞).
в) Умножим на −1 и сменим знак неравенства: x² − 2x − 15 > 0. Корни: x = 5 и x = −3. Ветви параболы вверх, значения положительны вне корней: (−∞; −3) ∪ (5; +∞).
г) Умножим на −1: 5x² − 11x + 6 < 0. D = 121 − 120 = 1, x = (11 ± 1)/10, x₁ = 1, x₂ = 1,2. Решение: (1; 1,2).
д) 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)² > 0 при всех x, кроме x = 1,5. Решение: (−∞; 1,5) ∪ (1,5; +∞).
е) 25x² + 30x + 9 = (5x + 3)² ≥ 0, поэтому неравенство (5x + 3)² < 0 не имеет решений.
ж) −10x² + 9x > 0 ⇔ 10x² − 9x < 0 ⇔ x(10x − 9) < 0. Корни 0 и 0,9, ветви вверх: (0; 0,9).
з) −2x² + 7x < 0 ⇔ 2x² − 7x > 0 ⇔ x(2x − 7) > 0. Корни 0 и 3,5: (−∞; 0) ∪ (3,5; +∞).
Ответ: а) (−8; 6); б) (−∞; 1,5) ∪ (2; +∞); в) (−∞; −3) ∪ (5; +∞); г) (1; 1,2); д) (−∞; 1,5) ∪ (1,5; +∞); е) решений нет; ж) (0; 0,9); з) (−∞; 0) ∪ (3,5; +∞).