Глава III. §5. п.15 Решение задач с помощью уравнений — с. 87
258. Плот проплывает 60 км по течению реки на 5 ч быстрее, чем такое же расстояние проходит моторная лодка против течения. Найдите скорость лодки по течению, если её скорость в стоячей воде 10 км/ч.
Пусть скорость течения x км/ч (0 < x < 10). Плот плывёт со скоростью течения x, время 60/x ч. Лодка против течения идёт со скоростью 10 − x, время 60/(10 − x) ч. Плот быстрее на 5 ч: 60/(10 − x) − 60/x = 5. Разделим на 5: 12/(10 − x) − 12/x = 1. Умножим на x(10 − x): 12x − 12(10 − x) = x(10 − x); 24x − 120 = 10x − x²; x² + 14x − 120 = 0; D/4 = 49 + 120 = 169; x = −7 ± 13; x = 6 или x = −20 (не подходит).
Скорость течения 6 км/ч, скорость лодки по течению 10 + 6 = 16 км/ч.
Проверка: плот 60/6 = 10 ч, лодка против течения 60/4 = 15 ч, разность 5 ч.
Ответ: 16 км/ч.
Скорость течения 6 км/ч, скорость лодки по течению 10 + 6 = 16 км/ч.
Проверка: плот 60/6 = 10 ч, лодка против течения 60/4 = 15 ч, разность 5 ч.
Ответ: 16 км/ч.
259. Моторная лодка прошла по течению 70 км. За то же время она может пройти против течения 30 км. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.
Пусть скорость течения x км/ч (0 < x < 10). По течению лодка идёт со скоростью 10 + x, против течения 10 − x. Время одинаково: 70/(10 + x) = 30/(10 − x). Откуда 70(10 − x) = 30(10 + x); 700 − 70x = 300 + 30x; 400 = 100x; x = 4.
Проверка: 70/14 = 5 ч, 30/6 = 5 ч.
Ответ: 4 км/ч.
Проверка: 70/14 = 5 ч, 30/6 = 5 ч.
Ответ: 4 км/ч.
260. Две швеи, работая вместе, выполнят полученный заказ за 6 дней. За сколько дней выполнит заказ каждая швея, работая отдельно, если одной из них для этого потребуется на 5 дней больше, чем другой?
Пусть одна швея выполнит заказ за x дней, тогда другая за (x + 5) дней. За день они выполняют 1/x и 1/(x + 5) части заказа, вместе 1/6: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6. Умножим на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5); 12x + 30 = x² + 5x; x² − 7x − 30 = 0; D = 49 + 120 = 169; x = (7 ± 13)/2; x = 10 или x = −3 (не подходит).
Одна швея за 10 дней, другая за 15 дней. Проверка: 1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6.
Ответ: 10 дней и 15 дней.
Одна швея за 10 дней, другая за 15 дней. Проверка: 1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6.
Ответ: 10 дней и 15 дней.
261. Два слесаря выполнили задание за 12 ч. Если бы половину задания выполнил первый, а оставшуюся часть второй, то первому потребовалось бы времени на 5 ч больше, чем второму. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить задание?
Пусть второй слесарь один выполнит задание за x ч, первый — за y ч. Вместе за 12 ч: 1/x + 1/y = 1/12. Половину задания первый выполнит за y/2 ч, второй за x/2 ч; y/2 − x/2 = 5, откуда y = x + 10.
1/x + 1/(x + 10) = 1/12. Умножим на 12x(x + 10): 12(x + 10) + 12x = x(x + 10); 24x + 120 = x² + 10x; x² − 14x − 120 = 0; D/4 = 49 + 120 = 169; x = 7 ± 13; x = 20 или x = −6 (не подходит). Тогда y = 30.
Проверка: 1/20 + 1/30 = 5/60 = 1/12; половина задания: первому 15 ч, второму 10 ч, разность 5 ч.
Ответ: первый за 30 ч, второй за 20 ч.
1/x + 1/(x + 10) = 1/12. Умножим на 12x(x + 10): 12(x + 10) + 12x = x(x + 10); 24x + 120 = x² + 10x; x² − 14x − 120 = 0; D/4 = 49 + 120 = 169; x = 7 ± 13; x = 20 или x = −6 (не подходит). Тогда y = 30.
Проверка: 1/20 + 1/30 = 5/60 = 1/12; половина задания: первому 15 ч, второму 10 ч, разность 5 ч.
Ответ: первый за 30 ч, второй за 20 ч.
262. Сократите дробь: а) (2ab + 2by + ay + y²)/(2ab − 2by + ay + y²); б) (9x² + 6x + 4)/(27x³ − 8).
а) Числитель: 2ab + 2by + ay + y² = 2b(a + y) + y(a + y) = (a + y)(2b + y). Знаменатель в условии напечатан с «+ y²»; в таком виде он на множители не раскладывается и дробь не сокращается. Ответ учебника (a + y)/(a − y) получается, если в знаменателе стоит 2ab − 2by + ay − y²: тогда 2b(a − y) + y(a − y) = (a − y)(2b + y), и дробь равна (a + y)(2b + y)/((a − y)(2b + y)) = (a + y)/(a − y).
б) Знаменатель по формуле разности кубов: 27x³ − 8 = (3x)³ − 2³ = (3x − 2)(9x² + 6x + 4). Дробь равна (9x² + 6x + 4)/((3x − 2)(9x² + 6x + 4)) = 1/(3x − 2).
Ответ: а) (a + y)/(a − y); б) 1/(3x − 2).
Оговорка: в условии а) знак перед y² в знаменателе читается как «+», но сокращение возможно только при «−», что и даёт ответ учебника; решено в этом предположении.
б) Знаменатель по формуле разности кубов: 27x³ − 8 = (3x)³ − 2³ = (3x − 2)(9x² + 6x + 4). Дробь равна (9x² + 6x + 4)/((3x − 2)(9x² + 6x + 4)) = 1/(3x − 2).
Ответ: а) (a + y)/(a − y); б) 1/(3x − 2).
Оговорка: в условии а) знак перед y² в знаменателе читается как «+», но сокращение возможно только при «−», что и даёт ответ учебника; решено в этом предположении.
263. В одной системе координат постройте графики функций y = x² и y = x + 6, с их помощью найдите решение уравнения x² − x − 6 = 0.
Уравнение x² − x − 6 = 0 равносильно x² = x + 6, поэтому его корни — абсциссы точек пересечения графиков y = x² и y = x + 6.
Парабола y = x²: вершина (0; 0), точки (±1; 1), (±2; 4), (±3; 9). Прямая y = x + 6 проходит через точки (0; 6) и (−2; 4. (или (3; 9)).
Графики пересекаются в точках (−2; 4) и (3; 9). Абсциссы этих точек −2 и 3 — корни уравнения.
Проверка: (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0; 3² − 3 − 6 = 0.
Ответ: −2; 3.
Парабола y = x²: вершина (0; 0), точки (±1; 1), (±2; 4), (±3; 9). Прямая y = x + 6 проходит через точки (0; 6) и (−2; 4. (или (3; 9)).
Графики пересекаются в точках (−2; 4) и (3; 9). Абсциссы этих точек −2 и 3 — корни уравнения.
Проверка: (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0; 3² − 3 − 6 = 0.
Ответ: −2; 3.
Вопрос 1. Какое уравнение с одной переменной называется целым?
Приведите пример.
Уравнение с одной переменной называется целым, если его левая и правая части — целые выражения (составленные из чисел и переменной с помощью сложения, вычитания и умножения, в том числе деления на число). Пример: 3x² − 5x + 1 = 0 или (x − 1)(x + 2) = x³.
Вопрос 2. Как найти степень целого уравнения?
Нужно перенести все члены уравнения в левую часть, привести подобные слагаемые и записать уравнение в виде P(x) = 0, где P(x) — многочлен стандартного вида. Степень многочлена P(x) называют степенью целого уравнения. Например, уравнение x³ + 2x = x³ − 5x² + 1 после преобразования принимает вид 5x² + 2x − 1 = 0, то есть оно второй степени.
Вопрос 3. Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните, как решают биквадратное уравнение.
Биквадратным называют уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. Его решают заменой переменной z = x² (z ≥ 0). Получается квадратное уравнение az² + bz + c = 0. Находят его корни z₁ и z₂. Затем для каждого неотрицательного корня решают уравнение x² = z: при z > 0 два корня x = ±√z, при z = 0 один корень x = 0; отрицательные значения z корней не дают. Если корней z нет или все они отрицательны, биквадратное уравнение корней не имеет. Пример: x⁴ − 5x² + 4 = 0; z² − 5z + 4 = 0; z = 1 или z = 4; x = ±1, x = ±2.
Вопрос 4. Какое уравнение называется дробным рациональным?
На примере уравнения 4/(x − 1) + 1/(x − 3) = (x² − 7)/(x² − 4x + 3) объясните, как решают дробные рациональные уравнения.
Дробным рациональным называется уравнение, обе части которого — рациональные выражения, причём хотя бы одно из них является дробным выражением.
Порядок решения: 1) найти общий знаменатель дробей; 2) умножить обе части на него; 3) решить полученное целое уравнение; 4) исключить корни, обращающие общий знаменатель в нуль.
Пример: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), общий знаменатель (x − 1)(x − 3). Умножим на него: 4(x − 3) + (x − 1) = x² − 7; 5x − 13 = x² − 7; x² − 5x + 6 = 0; x = 2 или x = 3. При x = 3 знаменатель обращается в нуль, это посторонний корень. При x = 2 знаменатель равен −1 ≠ 0.
Ответ: 2.
Порядок решения: 1) найти общий знаменатель дробей; 2) умножить обе части на него; 3) решить полученное целое уравнение; 4) исключить корни, обращающие общий знаменатель в нуль.
Пример: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), общий знаменатель (x − 1)(x − 3). Умножим на него: 4(x − 3) + (x − 1) = x² − 7; 5x − 13 = x² − 7; x² − 5x + 6 = 0; x = 2 или x = 3. При x = 3 знаменатель обращается в нуль, это посторонний корень. При x = 2 знаменатель равен −1 ≠ 0.
Ответ: 2.