Глава III. §5. п.14 Дробные рациональные уравнения — с. 84
243. Найдите корни уравнения: а) ((x + 2)/(x − 4))² + 16((x − 4)/(x + 2))² = 17; б) ((x + 1)/(x − 3))² + 18((x − 3)/(x + 1))² = 11.
а) Пусть t = ((x + 2)/(x − 4))² (t > 0), тогда второе слагаемое 16/t. t + 16/t = 17; t² − 17t + 16 = 0; t = 1 или t = 16.
t = 1: (x + 2)/(x − 4) = 1 — решений нет (2 = −4), или (x + 2)/(x − 4) = −1, x + 2 = 4 − x, x = 1.
t = 16: (x + 2)/(x − 4) = 4, x + 2 = 4x − 16, x = 6; или (x + 2)/(x − 4) = −4, x + 2 = 16 − 4x, x = 2,8.
б) Пусть t = ((x + 1)/(x − 3))²: t + 18/t = 11; t² − 11t + 18 = 0; t = 2 или t = 9.
t = 9: (x + 1)/(x − 3) = 3, x + 1 = 3x − 9, x = 5; или (x + 1)/(x − 3) = −3, x + 1 = 9 − 3x, x = 2.
t = 2: (x + 1)/(x − 3) = √2: x + 1 = √2·x − 3√2; x(1 − √2) = −3√2 − 1; x = (3√2 + 1)/(√2 − 1) = (3√2 + 1)(√2 + 1) = 7 + 4√2. Аналогично (x + 1)/(x − 3) = −√2: x + 1 = −√2·x + 3√2; x(1 + √2) = 3√2 − 1; x = (3√2 − 1)(√2 − 1) = 7 − 4√2.
Все найденные числа отличны от −2, 4 (в а) и от 3, −1 (в б), поэтому подходят.
Ответ: а) 1; 2,8; 6; б) 2; 5; 7 − 4√2; 7 + 4√2.
t = 1: (x + 2)/(x − 4) = 1 — решений нет (2 = −4), или (x + 2)/(x − 4) = −1, x + 2 = 4 − x, x = 1.
t = 16: (x + 2)/(x − 4) = 4, x + 2 = 4x − 16, x = 6; или (x + 2)/(x − 4) = −4, x + 2 = 16 − 4x, x = 2,8.
б) Пусть t = ((x + 1)/(x − 3))²: t + 18/t = 11; t² − 11t + 18 = 0; t = 2 или t = 9.
t = 9: (x + 1)/(x − 3) = 3, x + 1 = 3x − 9, x = 5; или (x + 1)/(x − 3) = −3, x + 1 = 9 − 3x, x = 2.
t = 2: (x + 1)/(x − 3) = √2: x + 1 = √2·x − 3√2; x(1 − √2) = −3√2 − 1; x = (3√2 + 1)/(√2 − 1) = (3√2 + 1)(√2 + 1) = 7 + 4√2. Аналогично (x + 1)/(x − 3) = −√2: x + 1 = −√2·x + 3√2; x(1 + √2) = 3√2 − 1; x = (3√2 − 1)(√2 − 1) = 7 − 4√2.
Все найденные числа отличны от −2, 4 (в а) и от 3, −1 (в б), поэтому подходят.
Ответ: а) 1; 2,8; 6; б) 2; 5; 7 − 4√2; 7 + 4√2.
244. (Задача-исследование.) Существует ли такое положительное число, при сложении которого с числом, ему обратным, получится сумма, в 13 раз меньшая суммы кубов этих чисел?
1. Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.
2. Введите новую переменную и решите полученное уравнение.
3. Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.
4. Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.
1) Пусть x > 0 — искомое число, 1/x — обратное ему. Сумма чисел x + 1/x, сумма их кубов x³ + 1/x³. По условию x + 1/x = (x³ + 1/x³)/13, то есть x³ + 1/x³ = 13(x + 1/x).
2) Пусть t = x + 1/x. Тогда t³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³ = x³ + 1/x³ + 3t, откуда x³ + 1/x³ = t³ − 3t. Уравнение: t³ − 3t = 13t; t³ − 16t = 0; t(t − 4)(t + 4) = 0; t = 0, 4, −4.
3) t = 0 и t = −4 для положительного x невозможны (x + 1/x > 0). t = 4: x + 1/x = 4; x² − 4x + 1 = 0; D/4 = 3; x = 2 ± √3.
4) Оба корня положительны (2 − √3 ≈ 0,27). Проверка: для x = 2 + √3 обратное число 2 − √3; их сумма 4, сумма кубов t³ − 3t = 64 − 12 = 52 = 13·4.
Ответ: да; такие числа 2 + √3 и 2 − √3 (они взаимно обратны).
2) Пусть t = x + 1/x. Тогда t³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³ = x³ + 1/x³ + 3t, откуда x³ + 1/x³ = t³ − 3t. Уравнение: t³ − 3t = 13t; t³ − 16t = 0; t(t − 4)(t + 4) = 0; t = 0, 4, −4.
3) t = 0 и t = −4 для положительного x невозможны (x + 1/x > 0). t = 4: x + 1/x = 4; x² − 4x + 1 = 0; D/4 = 3; x = 2 ± √3.
4) Оба корня положительны (2 − √3 ≈ 0,27). Проверка: для x = 2 + √3 обратное число 2 − √3; их сумма 4, сумма кубов t³ − 3t = 64 − 12 = 52 = 13·4.
Ответ: да; такие числа 2 + √3 и 2 − √3 (они взаимно обратны).
245. Решите уравнение: а) x² + 1/x² − 1/2 (x − 1/x) = 3 1/2; б) x² + 1/x² − 1/3 (x + 1/x) = 8.
а) Пусть u = x − 1/x. Тогда u² = x² − 2 + 1/x², откуда x² + 1/x² = u² + 2. Уравнение: u² + 2 − u/2 = 7/2; 2u² − u − 3 = 0; D = 1 + 24 = 25; u = (1 ± 5)/4; u = 1,5 или u = −1.
u = 1,5: x − 1/x = 3/2; 2x² − 3x − 2 = 0; x = (3 ± 5)/4; x = 2 или x = −1/2.
u = −1: x − 1/x = −1; x² + x − 1 = 0; x = (−1 ± √5)/2.
б) Пусть v = x + 1/x. Тогда v² = x² + 2 + 1/x², откуда x² + 1/x² = v² − 2. Уравнение: v² − 2 − v/3 = 8; 3v² − v − 30 = 0; D = 1 + 360 = 361; v = (1 ± 19)/6; v = 10/3 или v = −3.
v = 10/3: x + 1/x = 10/3; 3x² − 10x + 3 = 0; x = (10 ± 8)/6; x = 3 или x = 1/3.
v = −3: x² + 3x + 1 = 0; x = (−3 ± √5)/2.
Все корни не равны нулю, подходят.
Ответ: а) −1/2; 2; (−1 − √5)/2; (−1 + √5)/2; б) 1/3; 3; (−3 − √5)/2; (−3 + √5)/2.
u = 1,5: x − 1/x = 3/2; 2x² − 3x − 2 = 0; x = (3 ± 5)/4; x = 2 или x = −1/2.
u = −1: x − 1/x = −1; x² + x − 1 = 0; x = (−1 ± √5)/2.
б) Пусть v = x + 1/x. Тогда v² = x² + 2 + 1/x², откуда x² + 1/x² = v² − 2. Уравнение: v² − 2 − v/3 = 8; 3v² − v − 30 = 0; D = 1 + 360 = 361; v = (1 ± 19)/6; v = 10/3 или v = −3.
v = 10/3: x + 1/x = 10/3; 3x² − 10x + 3 = 0; x = (10 ± 8)/6; x = 3 или x = 1/3.
v = −3: x² + 3x + 1 = 0; x = (−3 ± √5)/2.
Все корни не равны нулю, подходят.
Ответ: а) −1/2; 2; (−1 − √5)/2; (−1 + √5)/2; б) 1/3; 3; (−3 − √5)/2; (−3 + √5)/2.
246. Сократите дробь: а) (12 − 5x − 2x²)/(15 − 10x); б) (3x² − 36x − 192)/(x² − 256).
а) Разложим числитель: 2x² + 5x − 12 = 2(x − 3/2)(x + 4) = (2x − 3)(x + 4), поэтому 12 − 5x − 2x² = −(2x − 3)(x + 4). Знаменатель 15 − 10x = −5(2x − 3). Дробь равна (−(2x − 3)(x + 4))/(−5(2x − 3)) = (x + 4)/5.
б) Числитель: 3(x² − 12x − 64); корни x² − 12x − 64 = 0: x = 16 и x = −4 (D/4 = 36 + 64 = 100), значит, x² − 12x − 64 = (x − 16)(x + 4). Знаменатель x² − 256 = (x − 16)(x + 16). Дробь равна 3(x − 16)(x + 4)/((x − 16)(x + 16)) = 3(x + 4)/(x + 16).
Ответ: а) (x + 4)/5; б) 3(x + 4)/(x + 16) = (3x + 12)/(x + 16).
б) Числитель: 3(x² − 12x − 64); корни x² − 12x − 64 = 0: x = 16 и x = −4 (D/4 = 36 + 64 = 100), значит, x² − 12x − 64 = (x − 16)(x + 4). Знаменатель x² − 256 = (x − 16)(x + 16). Дробь равна 3(x − 16)(x + 4)/((x − 16)(x + 16)) = 3(x + 4)/(x + 16).
Ответ: а) (x + 4)/5; б) 3(x + 4)/(x + 16) = (3x + 12)/(x + 16).
247. Постройте график функции y = x² − 3. Укажите промежутки, в которых функция принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения.
График функции y = x² − 3 получается сдвигом параболы y = x² на 3 единицы вниз. Вершина (0; −3), ось симметрии — ось y, ветви направлены вверх. Таблица значений: x = 0, ±1, ±2, ±3 → y = −3, −2, 1, 6. С осью x парабола пересекается там, где x² − 3 = 0, то есть в точках x = ±√3 (≈ ±1,73).
Часть графика выше оси x (на рисунке красная) соответствует y > 0, часть ниже оси (синяя) — y < 0.
а) y > 0 при x < −√3 и x > √3, то есть на промежутках (−∞; −√3) и (√3; +∞).
б) y < 0 при −√3 < x < √3, то есть на промежутке (−√3; √3).
Часть графика выше оси x (на рисунке красная) соответствует y > 0, часть ниже оси (синяя) — y < 0.
а) y > 0 при x < −√3 и x > √3, то есть на промежутках (−∞; −√3) и (√3; +∞).
б) y < 0 при −√3 < x < √3, то есть на промежутке (−√3; √3).
248. На строительстве работали две бригады. После 5 дней совместной работы вторую бригаду перевели на другой объект. Оставшуюся часть работы первая бригада закончила за 9 дней. За сколько дней могла бы выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно, если известно, что второй бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше, чем одной первой бригаде?
Пусть первая бригада выполняет всю работу за x дней, тогда вторая — за (x − 12) дней. Производительности: 1/x и 1/(x − 12) части работы в день.
Первая бригада работала 5 + 9 = 14 дней, вторая — 5 дней, вместе они выполнили всю работу, то есть 1:
14/x + 5/(x − 12) = 1, x ≠ 0, x ≠ 12. Умножим на x(x − 12): 14(x − 12) + 5x = x(x − 12); 19x − 168 = x² − 12x; x² − 31x + 168 = 0; D = 961 − 672 = 289 = 17²; x = (31 ± 17)/2; x = 24 или x = 7. Значение x = 7 не подходит, так как тогда x − 12 < 0. Значит, x = 24, x − 12 = 12.
Проверка: 14/24 + 5/12 = 7/12 + 5/12 = 1.
Ответ: первая бригада за 24 дня, вторая за 12 дней.
Первая бригада работала 5 + 9 = 14 дней, вторая — 5 дней, вместе они выполнили всю работу, то есть 1:
14/x + 5/(x − 12) = 1, x ≠ 0, x ≠ 12. Умножим на x(x − 12): 14(x − 12) + 5x = x(x − 12); 19x − 168 = x² − 12x; x² − 31x + 168 = 0; D = 961 − 672 = 289 = 17²; x = (31 ± 17)/2; x = 24 или x = 7. Значение x = 7 не подходит, так как тогда x − 12 < 0. Значит, x = 24, x − 12 = 12.
Проверка: 14/24 + 5/12 = 7/12 + 5/12 = 1.
Ответ: первая бригада за 24 дня, вторая за 12 дней.