Глава III. §5. п.14 Дробные рациональные уравнения — с. 82
233. При каких значениях a равно нулю значение дроби: а) (a³ − 9a)/(a² + a − 12); б) (a⁵ + 2a⁴)/(a³ + a + 10); в) (a⁵ − 4a⁴ + 4a³)/(a⁴ − 16)?
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
а) a³ − 9a = a(a − 3)(a + 3) = 0 при a = 0, 3, −3. Знаменатель a² + a − 12 = (a + 4)(a − 3) при a = 3 равен нулю, при a = 0 и a = −3 не равен (−12 и −6). Подходят a = 0 и a = −3.
б) a⁵ + 2a⁴ = a⁴(a + 2) = 0 при a = 0 или a = −2. Знаменатель a³ + a + 10 = (a + 2)(a² − 2a + 5); при a = −2 он равен нулю, при a = 0 равен 10. Подходит a = 0.
в) a⁵ − 4a⁴ + 4a³ = a³(a − 2)² = 0 при a = 0 или a = 2. Знаменатель a⁴ − 16 = (a − 2)(a + 2)(a² + 4); при a = 2 равен нулю, при a = 0 равен −16. Подходит a = 0.
Ответ: а) 0; −3; б) 0; в) 0.
а) a³ − 9a = a(a − 3)(a + 3) = 0 при a = 0, 3, −3. Знаменатель a² + a − 12 = (a + 4)(a − 3) при a = 3 равен нулю, при a = 0 и a = −3 не равен (−12 и −6). Подходят a = 0 и a = −3.
б) a⁵ + 2a⁴ = a⁴(a + 2) = 0 при a = 0 или a = −2. Знаменатель a³ + a + 10 = (a + 2)(a² − 2a + 5); при a = −2 он равен нулю, при a = 0 равен 10. Подходит a = 0.
в) a⁵ − 4a⁴ + 4a³ = a³(a − 2)² = 0 при a = 0 или a = 2. Знаменатель a⁴ − 16 = (a − 2)(a + 2)(a² + 4); при a = 2 равен нулю, при a = 0 равен −16. Подходит a = 0.
Ответ: а) 0; −3; б) 0; в) 0.
234. Решите уравнение: а) (5y³ − 15y² − 2y + 6)/(y² − 9) = 0; б) (3y³ − 12y² − y + 4)/(9y⁴ − 1) = 0; в) (6x³ + 48x² − 2x − 16)/(x² − 64) = 0; г) (y³ − 4y² − 6y + 24)/(y³ − 6y) = 0.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
а) 5y²(y − 3) − 2(y − 3) = (y − 3)(5y² − 2) = 0; y = 3 или y² = 0,4. При y = 3 знаменатель y² − 9 = 0, значит, не подходит. Корни y = ±√0,4.
б) 3y²(y − 4) − (y − 4) = (y − 4)(3y² − 1) = 0; y = 4 или y² = 1/3. Знаменатель 9y⁴ − 1 = (3y² − 1)(3y² + 1) при y² = 1/3 равен нулю. Остаётся y = 4 (знаменатель 9·256 − 1 ≠ 0).
в) 6x²(x + 8) − 2(x + 8) = (x + 8)(6x² − 2) = 0; x = −8 или x² = 1/3. При x = −8 знаменатель x² − 64 = 0, не подходит. Корни x = ±√3/3 (знаменатель 1/3 − 64 ≠ 0).
г) y²(y − 4) − 6(y − 4) = (y − 4)(y² − 6) = 0; y = 4 или y = ±√6. Знаменатель y³ − 6y = y(y² − 6) при y = ±√6 равен нулю. Остаётся y = 4 (знаменатель 64 − 24 = 40 ≠ 0).
Ответ: а) −√0,4; √0,4; б) 4; в) −√3/3; √3/3; г) 4.
а) 5y²(y − 3) − 2(y − 3) = (y − 3)(5y² − 2) = 0; y = 3 или y² = 0,4. При y = 3 знаменатель y² − 9 = 0, значит, не подходит. Корни y = ±√0,4.
б) 3y²(y − 4) − (y − 4) = (y − 4)(3y² − 1) = 0; y = 4 или y² = 1/3. Знаменатель 9y⁴ − 1 = (3y² − 1)(3y² + 1) при y² = 1/3 равен нулю. Остаётся y = 4 (знаменатель 9·256 − 1 ≠ 0).
в) 6x²(x + 8) − 2(x + 8) = (x + 8)(6x² − 2) = 0; x = −8 или x² = 1/3. При x = −8 знаменатель x² − 64 = 0, не подходит. Корни x = ±√3/3 (знаменатель 1/3 − 64 ≠ 0).
г) y²(y − 4) − 6(y − 4) = (y − 4)(y² − 6) = 0; y = 4 или y = ±√6. Знаменатель y³ − 6y = y(y² − 6) при y = ±√6 равен нулю. Остаётся y = 4 (знаменатель 64 − 24 = 40 ≠ 0).
Ответ: а) −√0,4; √0,4; б) 4; в) −√3/3; √3/3; г) 4.
235. Решите уравнение: а) 2/(x − 2) − 10/(x + 3) = 50/(x² + x − 6) − 1; б) (x + 5)/(x − 1) + (2x − 5)/(x − 7) − (30 − 12x)/(8x − x² − 7) = 0.
а) x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3). Общий знаменатель (x − 2)(x + 3), x ≠ 2, x ≠ −3. Умножаем: 2(x + 3) − 10(x − 2) = 50 − (x² + x − 6); 2x + 6 − 10x + 20 = 56 − x² − x; −8x + 26 = 56 − x² − x; x² − 7x − 30 = 0; D = 49 + 120 = 169; x = (7 ± 13)/2; x = 10 или x = −3. Значение x = −3 обращает знаменатель в нуль, поэтому остаётся x = 10.
б) 8x − x² − 7 = −(x − 1)(x − 7). Тогда −(30 − 12x)/(8x − x² − 7) = (30 − 12x)/((x − 1)(x − 7)). Общий знаменатель (x − 1)(x − 7), x ≠ 1, x ≠ 7. Умножаем: (x + 5)(x − 7) + (2x − 5)(x − 1) + 30 − 12x = 0; x² − 2x − 35 + 2x² − 7x + 5 + 30 − 12x = 0; 3x² − 21x = 0; 3x(x − 7) = 0; x = 0 или x = 7. Значение x = 7 не подходит, остаётся x = 0.
Ответ: а) 10; б) 0.
б) 8x − x² − 7 = −(x − 1)(x − 7). Тогда −(30 − 12x)/(8x − x² − 7) = (30 − 12x)/((x − 1)(x − 7)). Общий знаменатель (x − 1)(x − 7), x ≠ 1, x ≠ 7. Умножаем: (x + 5)(x − 7) + (2x − 5)(x − 1) + 30 − 12x = 0; x² − 2x − 35 + 2x² − 7x + 5 + 30 − 12x = 0; 3x² − 21x = 0; 3x(x − 7) = 0; x = 0 или x = 7. Значение x = 7 не подходит, остаётся x = 0.
Ответ: а) 10; б) 0.
236. Найдите корни уравнения: а) (3x − 2)/(x − 1) − (2x + 3)/(x + 3) = (12x + 4)/(x² + 2x − 3); б) (5x − 1)/(x + 7) − (2x + 2)/(x − 3) + 63/(x² + 4x − 21) = 0; в) x/(x² + 4x + 4) = 4/(x² − 4) − 16/(x³ + 2x² − 4x − 8).
а) x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3), x ≠ 1, x ≠ −3. Умножаем на (x − 1)(x + 3): (3x − 2)(x + 3) − (2x + 3)(x − 1) = 12x + 4; 3x² + 7x − 6 − 2x² − x + 3 = 12x + 4; x² + 6x − 3 = 12x + 4; x² − 6x − 7 = 0; x = 7 или x = −1. Оба числа допустимы.
б) x² + 4x − 21 = (x + 7)(x − 3), x ≠ −7, x ≠ 3. Умножаем: (5x − 1)(x − 3) − (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0; 5x² − 16x + 3 − 2x² − 16x − 14 + 63 = 0; 3x² − 32x + 52 = 0; D = 1024 − 624 = 400; x = (32 ± 20)/6; x = 2 или x = 26/3 = 8 2/3. Оба допустимы.
в) x² + 4x + 4 = (x + 2)²; x² − 4 = (x − 2)(x + 2); x³ + 2x² − 4x − 8 = x²(x + 2) − 4(x + 2) = (x + 2)(x² − 4) = (x + 2)²(x − 2). Общий знаменатель (x + 2)²(x − 2), x ≠ ±2. Умножаем: x(x − 2) = 4(x + 2) − 16; x² − 2x = 4x − 8; x² − 6x + 8 = 0; x = 2 или x = 4. Значение x = 2 не подходит. Остаётся x = 4.
Ответ: а) −1; 7; б) 2; 8 2/3; в) 4.
б) x² + 4x − 21 = (x + 7)(x − 3), x ≠ −7, x ≠ 3. Умножаем: (5x − 1)(x − 3) − (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0; 5x² − 16x + 3 − 2x² − 16x − 14 + 63 = 0; 3x² − 32x + 52 = 0; D = 1024 − 624 = 400; x = (32 ± 20)/6; x = 2 или x = 26/3 = 8 2/3. Оба допустимы.
в) x² + 4x + 4 = (x + 2)²; x² − 4 = (x − 2)(x + 2); x³ + 2x² − 4x − 8 = x²(x + 2) − 4(x + 2) = (x + 2)(x² − 4) = (x + 2)²(x − 2). Общий знаменатель (x + 2)²(x − 2), x ≠ ±2. Умножаем: x(x − 2) = 4(x + 2) − 16; x² − 2x = 4x − 8; x² − 6x + 8 = 0; x = 2 или x = 4. Значение x = 2 не подходит. Остаётся x = 4.
Ответ: а) −1; 7; б) 2; 8 2/3; в) 4.