Глава III. §5. п.14 Дробные рациональные уравнения — с. 83
237. При каких значениях a: а) сумма дробей (a + 1)/(a − 2) и (a − 4)/(a + 1) равна дроби (3a + 3)/(a² − a − 2); б) разность дробей (3a − 5)/(a² − 1) и (6a − 5)/(a − a²) равна дроби (3a + 2)/(a² + a)?
а) a² − a − 2 = (a − 2)(a + 1); a ≠ 2, a ≠ −1. Уравнение (a + 1)/(a − 2) + (a − 4)/(a + 1) = (3a + 3)/((a − 2)(a + 1)). Умножаем: (a + 1)² + (a − 4)(a − 2) = 3a + 3; a² + 2a + 1 + a² − 6a + 8 = 3a + 3; 2a² − 7a + 6 = 0; D = 49 − 48 = 1; a = (7 ± 1)/4; a = 2 или a = 1,5. Значение a = 2 не допустимо. Ответ: a = 1,5.
б) a² − 1 = (a − 1)(a + 1); a − a² = −a(a − 1); a² + a = a(a + 1); a ≠ 0, ±1. Тогда −(6a − 5)/(−a(a − 1)) = (6a − 5)/(a(a − 1)), и уравнение: (3a − 5)/((a − 1)(a + 1)) + (6a − 5)/(a(a − 1)) = (3a + 2)/(a(a + 1)). Умножаем на a(a − 1)(a + 1): a(3a − 5) + (6a − 5)(a + 1) = (3a + 2)(a − 1); 3a² − 5a + 6a² + a − 5 = 3a² − a − 2; 6a² − 3a − 3 = 0; 2a² − a − 1 = 0; a = 1 или a = −0,5. Значение a = 1 не допустимо. Ответ: a = −0,5.
Ответ: а) 1,5; б) −0,5.
б) a² − 1 = (a − 1)(a + 1); a − a² = −a(a − 1); a² + a = a(a + 1); a ≠ 0, ±1. Тогда −(6a − 5)/(−a(a − 1)) = (6a − 5)/(a(a − 1)), и уравнение: (3a − 5)/((a − 1)(a + 1)) + (6a − 5)/(a(a − 1)) = (3a + 2)/(a(a + 1)). Умножаем на a(a − 1)(a + 1): a(3a − 5) + (6a − 5)(a + 1) = (3a + 2)(a − 1); 3a² − 5a + 6a² + a − 5 = 3a² − a − 2; 6a² − 3a − 3 = 0; 2a² − a − 1 = 0; a = 1 или a = −0,5. Значение a = 1 не допустимо. Ответ: a = −0,5.
Ответ: а) 1,5; б) −0,5.
238. Найдите корни уравнения: а) 1/(x − 7) − 1/(x − 1) = 1/(x − 10) − 1/(x − 9); б) 1/(x + 3) − 1/(x + 9) = 1/(x + 5) − 1/(x + 21).
Вычтем дроби в каждой части отдельно.
а) Левая часть: ((x − 1) − (x − 7))/((x − 7)(x − 1)) = 6/((x − 7)(x − 1)). Правая: ((x − 9) − (x − 10))/((x − 10)(x − 9)) = 1/((x − 10)(x − 9)). Условие x ≠ 1, 7, 9, 10. 6(x − 10)(x − 9) = (x − 7)(x − 1); 6x² − 114x + 540 = x² − 8x + 7; 5x² − 106x + 533 = 0; D = 11236 − 10660 = 576 = 24²; x = (106 ± 24)/10; x = 13 или x = 8,2. Оба допустимы.
б) Левая часть: 6/((x + 3)(x + 9)); правая: 16/((x + 5)(x + 21)). Условие x ≠ −3, −9, −5, −21. 6(x + 5)(x + 21) = 16(x + 3)(x + 9); 3(x² + 26x + 105) = 8(x² + 12x + 27); 3x² + 78x + 315 = 8x² + 96x + 216; 5x² + 18x − 99 = 0; D = 324 + 1980 = 2304 = 48²; x = (−18 ± 48)/10; x = 3 или x = −6,6. Оба допустимы.
Ответ: а) 8,2; 13; б) −6,6; 3.
а) Левая часть: ((x − 1) − (x − 7))/((x − 7)(x − 1)) = 6/((x − 7)(x − 1)). Правая: ((x − 9) − (x − 10))/((x − 10)(x − 9)) = 1/((x − 10)(x − 9)). Условие x ≠ 1, 7, 9, 10. 6(x − 10)(x − 9) = (x − 7)(x − 1); 6x² − 114x + 540 = x² − 8x + 7; 5x² − 106x + 533 = 0; D = 11236 − 10660 = 576 = 24²; x = (106 ± 24)/10; x = 13 или x = 8,2. Оба допустимы.
б) Левая часть: 6/((x + 3)(x + 9)); правая: 16/((x + 5)(x + 21)). Условие x ≠ −3, −9, −5, −21. 6(x + 5)(x + 21) = 16(x + 3)(x + 9); 3(x² + 26x + 105) = 8(x² + 12x + 27); 3x² + 78x + 315 = 8x² + 96x + 216; 5x² + 18x − 99 = 0; D = 324 + 1980 = 2304 = 48²; x = (−18 ± 48)/10; x = 3 или x = −6,6. Оба допустимы.
Ответ: а) 8,2; 13; б) −6,6; 3.
239. (Для работы в парах.) Решите уравнение: а) 1/(x − 4) + 1/(x − 2) = 1/(x + 4) + 1/(x − 5); б) 1/(x + 1) + 1/(x + 3) = 1/(x + 28) + 1/x.
1. Обсудите, в каком виде удобно представить уравнение в каждом случае, и выполните соответствующие преобразования.
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли найдены корни уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.
1) Удобно перенести слагаемые так, чтобы в каждой части стояла разность дробей с числителем 1: тогда после приведения к общему знаменателю в числителях получатся числа.
а) 1/(x − 4) − 1/(x + 4) = 1/(x − 5) − 1/(x − 2); 8/(x² − 16) = 3/((x − 5)(x − 2)), x ≠ ±4, 5, 2. 8(x² − 7x + 10) = 3(x² − 16); 8x² − 56x + 80 = 3x² − 48; 5x² − 56x + 128 = 0; D = 3136 − 2560 = 576; x = (56 ± 24)/10; x = 8 или x = 3,2. Оба допустимы.
б) 1/(x + 1) − 1/x = 1/(x + 28) − 1/(x + 3); −1/(x(x + 1)) = −25/((x + 28)(x + 3)), x ≠ 0, −1, −3, −28. (x + 28)(x + 3) = 25x(x + 1); x² + 31x + 84 = 25x² + 25x; 24x² − 6x − 84 = 0; 4x² − x − 14 = 0; D = 1 + 224 = 225; x = (1 ± 15)/8; x = 2 или x = −1,75. Оба допустимы.
3) Проверка подстановкой: а) при x = 8: 1/4 + 1/6 = 5/12; 1/12 + 1/3 = 5/12. Верно. б) при x = 2: 1/3 + 1/5 = 8/15; 1/30 + 1/2 = 16/30 = 8/15. Верно.
Ответ: а) 3,2; 8; б) −1,75; 2.
а) 1/(x − 4) − 1/(x + 4) = 1/(x − 5) − 1/(x − 2); 8/(x² − 16) = 3/((x − 5)(x − 2)), x ≠ ±4, 5, 2. 8(x² − 7x + 10) = 3(x² − 16); 8x² − 56x + 80 = 3x² − 48; 5x² − 56x + 128 = 0; D = 3136 − 2560 = 576; x = (56 ± 24)/10; x = 8 или x = 3,2. Оба допустимы.
б) 1/(x + 1) − 1/x = 1/(x + 28) − 1/(x + 3); −1/(x(x + 1)) = −25/((x + 28)(x + 3)), x ≠ 0, −1, −3, −28. (x + 28)(x + 3) = 25x(x + 1); x² + 31x + 84 = 25x² + 25x; 24x² − 6x − 84 = 0; 4x² − x − 14 = 0; D = 1 + 224 = 225; x = (1 ± 15)/8; x = 2 или x = −1,75. Оба допустимы.
3) Проверка подстановкой: а) при x = 8: 1/4 + 1/6 = 5/12; 1/12 + 1/3 = 5/12. Верно. б) при x = 2: 1/3 + 1/5 = 8/15; 1/30 + 1/2 = 16/30 = 8/15. Верно.
Ответ: а) 3,2; 8; б) −1,75; 2.
240. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: а) y = x² + x − 9 и y = 9/x; б) y = x² + 6x − 4 и y = 24/x.
В точках пересечения значения y равны. Приравниваем выражения при x ≠ 0.
а) x² + x − 9 = 9/x; x³ + x² − 9x − 9 = 0; x²(x + 1) − 9(x + 1) = 0; (x + 1)(x − 3)(x + 3) = 0; x = −1, 3, −3. y = 9/x: −9; 3; −3.
б) x² + 6x − 4 = 24/x; x³ + 6x² − 4x − 24 = 0; x²(x + 6) − 4(x + 6) = 0; (x + 6)(x − 2)(x + 2) = 0; x = −6, 2, −2. y = 24/x: −4; 12; −12.
Ответ: а) (−3; −3), (−1; −9), (3; 3); б) (−6; −4), (−2; −12), (2; 12).
а) x² + x − 9 = 9/x; x³ + x² − 9x − 9 = 0; x²(x + 1) − 9(x + 1) = 0; (x + 1)(x − 3)(x + 3) = 0; x = −1, 3, −3. y = 9/x: −9; 3; −3.
б) x² + 6x − 4 = 24/x; x³ + 6x² − 4x − 24 = 0; x²(x + 6) − 4(x + 6) = 0; (x + 6)(x − 2)(x + 2) = 0; x = −6, 2, −2. y = 24/x: −4; 12; −12.
Ответ: а) (−3; −3), (−1; −9), (3; 3); б) (−6; −4), (−2; −12), (2; 12).
241. При каких значениях a: а) равны значения выражений (5a + 7 − 28a²)/(20a) и a²; б) являются противоположными числами значения выражений (2 − 18a² − a)/(3a) и 3a²?
В обоих случаях a ≠ 0.
а) (5a + 7 − 28a²)/(20a) = a²; 5a + 7 − 28a² = 20a³; 20a³ + 28a² − 5a − 7 = 0; 4a²(5a + 7) − (5a + 7) = 0; (5a + 7)(4a² − 1) = 0; a = −1,4; a = ±0,5.
б) Сумма выражений равна нулю: (2 − 18a² − a)/(3a) + 3a² = 0; 2 − 18a² − a + 9a³ = 0; 9a³ − 18a² − a + 2 = 0; 9a²(a − 2) − (a − 2) = 0; (a − 2)(9a² − 1) = 0; a = 2 или a = ±1/3.
Ответ: а) −1,4; −0,5; 0,5; б) −1/3; 1/3; 2.
а) (5a + 7 − 28a²)/(20a) = a²; 5a + 7 − 28a² = 20a³; 20a³ + 28a² − 5a − 7 = 0; 4a²(5a + 7) − (5a + 7) = 0; (5a + 7)(4a² − 1) = 0; a = −1,4; a = ±0,5.
б) Сумма выражений равна нулю: (2 − 18a² − a)/(3a) + 3a² = 0; 2 − 18a² − a + 9a³ = 0; 9a³ − 18a² − a + 2 = 0; 9a²(a − 2) − (a − 2) = 0; (a − 2)(9a² − 1) = 0; a = 2 или a = ±1/3.
Ответ: а) −1,4; −0,5; 0,5; б) −1/3; 1/3; 2.
242. (Для работы в парах.) Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) 12/(x² − 2x + 3) = x² − 2x − 1; б) 12/(x² + x − 10) − 6/(x² + x − 6) = 5/(x² + x − 11); в) 16/(x² − 2x) − 11/(x² − 2x + 3) = 9/(x² − 2x + 1).
1. Выполните совместно задание а).
2. Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли решены уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.
а) Пусть z = x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2 ≥ 2; тогда x² − 2x − 1 = z − 4 и 12/z = z − 4; z² − 4z − 12 = 0; z = 6 или z = −2. Значение −2 не подходит (z ≥ 2). x² − 2x + 3 = 6; x² − 2x − 3 = 0; x = 3 или x = −1.
б) Пусть z = x² + x: 12/(z − 10) − 6/(z − 6) = 5/(z − 11), z ≠ 10, 6, 11. 12(z − 6)(z − 11) − 6(z − 10)(z − 11) = 5(z − 10)(z − 6); 12z² − 204z + 792 − 6z² + 126z − 660 = 5z² − 80z + 300; z² + 2z − 168 = 0; D = 4 + 672 = 676; z = (−2 ± 26)/2; z = 12 или z = −14. x² + x = 12: x = 3 или x = −4. x² + x = −14: D = 1 − 56 < 0, корней нет.
в) Пусть z = x² − 2x: 16/z − 11/(z + 3) = 9/(z + 1), z ≠ 0, −3, −1. 16(z + 3)(z + 1) − 11z(z + 1) = 9z(z + 3); 16z² + 64z + 48 − 11z² − 11z = 9z² + 27z; 4z² − 26z − 48 = 0; 2z² − 13z − 24 = 0; D = 169 + 192 = 361; z = (13 ± 19)/4; z = 8 или z = −1,5. x² − 2x = 8: x = 4 или x = −2. x² − 2x = −1,5: D/4 = 1 − 1,5 < 0, корней нет.
Ответ: а) −1; 3; б) −4; 3; в) −2; 4.
б) Пусть z = x² + x: 12/(z − 10) − 6/(z − 6) = 5/(z − 11), z ≠ 10, 6, 11. 12(z − 6)(z − 11) − 6(z − 10)(z − 11) = 5(z − 10)(z − 6); 12z² − 204z + 792 − 6z² + 126z − 660 = 5z² − 80z + 300; z² + 2z − 168 = 0; D = 4 + 672 = 676; z = (−2 ± 26)/2; z = 12 или z = −14. x² + x = 12: x = 3 или x = −4. x² + x = −14: D = 1 − 56 < 0, корней нет.
в) Пусть z = x² − 2x: 16/z − 11/(z + 3) = 9/(z + 1), z ≠ 0, −3, −1. 16(z + 3)(z + 1) − 11z(z + 1) = 9z(z + 3); 16z² + 64z + 48 − 11z² − 11z = 9z² + 27z; 4z² − 26z − 48 = 0; 2z² − 13z − 24 = 0; D = 169 + 192 = 361; z = (13 ± 19)/4; z = 8 или z = −1,5. x² − 2x = 8: x = 4 или x = −2. x² − 2x = −1,5: D/4 = 1 − 1,5 < 0, корней нет.
Ответ: а) −1; 3; б) −4; 3; в) −2; 4.