Глава III. §5. п.15 Решение задач с помощью уравнений — с. 86
249. Одно число на 6 больше другого. Если большее число разделить на меньшее и к частному прибавить результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа на большее, то получится 4. Найдите эти числа.
Пусть меньшее число x (x ≠ 0), тогда большее x + 6. Частное большего на меньшее (x + 6)/x; результат деления увеличенного в 4 раза меньшего числа на большее 4x/(x + 6). По условию (x + 6)/x + 4x/(x + 6) = 4.
Пусть t = (x + 6)/x, тогда 4x/(x + 6) = 4/t: t + 4/t = 4; t² − 4t + 4 = 0; (t − 2)² = 0; t = 2. Значит, (x + 6)/x = 2; x + 6 = 2x; x = 6. Большее число 12.
Проверка: 12/6 + 24/12 = 2 + 2 = 4.
Ответ: 6 и 12.
Пусть t = (x + 6)/x, тогда 4x/(x + 6) = 4/t: t + 4/t = 4; t² − 4t + 4 = 0; (t − 2)² = 0; t = 2. Значит, (x + 6)/x = 2; x + 6 = 2x; x = 6. Большее число 12.
Проверка: 12/6 + 24/12 = 2 + 2 = 4.
Ответ: 6 и 12.
250. Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше её числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на 1/6. Найдите эту дробь.
Пусть числитель x, тогда знаменатель x + 6, дробь x/(x + 6). После изменений получится (x − 2)/(x + 8). По условию x/(x + 6) − (x − 2)/(x + 8) = 1/6.
Умножим на 6(x + 6)(x + 8): 6x(x + 8) − 6(x − 2)(x + 6) = (x + 6)(x + 8); 6x² + 48x − 6x² − 24x + 72 = x² + 14x + 48; 24x + 72 = x² + 14x + 48; x² − 10x − 24 = 0; x = 12 или x = −2. Числитель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому x = 12, знаменатель 18.
Проверка: 12/18 − 10/20 = 2/3 − 1/2 = 1/6.
Ответ: 12/18.
Умножим на 6(x + 6)(x + 8): 6x(x + 8) − 6(x − 2)(x + 6) = (x + 6)(x + 8); 6x² + 48x − 6x² − 24x + 72 = x² + 14x + 48; 24x + 72 = x² + 14x + 48; x² − 10x − 24 = 0; x = 12 или x = −2. Числитель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому x = 12, знаменатель 18.
Проверка: 12/18 − 10/20 = 2/3 − 1/2 = 1/6.
Ответ: 12/18.
251. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если числитель дроби увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 7, а знаменатель увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11, то получится дробь, обратная данной. Найдите эту дробь.
Пусть числитель x, знаменатель x + 3; дробь x/(x + 3). После изменений числитель 3x − 7, знаменатель 2(x + 3) − 11 = 2x − 5. По условию (3x − 7)/(2x − 5) = (x + 3)/x.
x ≠ 0, x ≠ 2,5. x(3x − 7) = (x + 3)(2x − 5); 3x² − 7x = 2x² + x − 15; x² − 8x + 15 = 0; x = 3 или x = 5. Оба значения подходят.
x = 3: дробь 3/6, после изменений (9 − 7)/(12 − 11) = 2/1 = 2; обратная дробь 6/3 = 2. Верно.
x = 5: дробь 5/8, после изменений (15 − 7)/(16 − 11) = 8/5. Верно.
Ответ: 3/6 или 5/8.
x ≠ 0, x ≠ 2,5. x(3x − 7) = (x + 3)(2x − 5); 3x² − 7x = 2x² + x − 15; x² − 8x + 15 = 0; x = 3 или x = 5. Оба значения подходят.
x = 3: дробь 3/6, после изменений (9 − 7)/(12 − 11) = 2/1 = 2; обратная дробь 6/3 = 2. Верно.
x = 5: дробь 5/8, после изменений (15 − 7)/(16 − 11) = 8/5. Верно.
Ответ: 3/6 или 5/8.
252. Из посёлка в город, до которого 150 км, выехали одновременно легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового автомобиля была на 10 км/ч больше скорости грузового, поэтому он приехал в город на полчаса быстрее, чем грузовой автомобиль. Найдите скорость грузового автомобиля.
Пусть скорость грузового автомобиля x км/ч, тогда легкового x + 10 км/ч. Время в пути: 150/x ч и 150/(x + 10) ч. Разность 0,5 ч:
150/x − 150/(x + 10) = 1/2. Умножим на 2x(x + 10): 300(x + 10) − 300x = x(x + 10); 3000 = x² + 10x; x² + 10x − 3000 = 0; D/4 = 25 + 3000 = 3025 = 55²; x = −5 ± 55; x = 50 или x = −60 (не подходит).
Проверка: 150/50 = 3 ч, 150/60 = 2,5 ч, разность 0,5 ч.
Ответ: 50 км/ч.
150/x − 150/(x + 10) = 1/2. Умножим на 2x(x + 10): 300(x + 10) − 300x = x(x + 10); 3000 = x² + 10x; x² + 10x − 3000 = 0; D/4 = 25 + 3000 = 3025 = 55²; x = −5 ± 55; x = 50 или x = −60 (не подходит).
Проверка: 150/50 = 3 ч, 150/60 = 2,5 ч, разность 0,5 ч.
Ответ: 50 км/ч.
253. Мотоциклист проехал от села до озера 60 км. На обратном пути он уменьшил скорость на 10 км/ч, поэтому от озера в село он ехал на 0,3 ч дольше. Сколько времени мотоциклист ехал от озера до села?
Пусть скорость от села до озера x км/ч, тогда обратно x − 10 км/ч (x > 10). Время туда 60/x ч, обратно 60/(x − 10) ч. Разность 0,3 ч:
60/(x − 10) − 60/x = 0,3. Умножим на 10x(x − 10): 600x − 600(x − 10) = 3x(x − 10); 6000 = 3x² − 30x; x² − 10x − 2000 = 0; D/4 = 25 + 2000 = 2025 = 45²; x = 5 ± 45; x = 50 или x = −40 (не подходит).
Обратная скорость 40 км/ч, время 60 : 40 = 1,5 ч. Проверка: 60/50 = 1,2 ч, 1,5 − 1,2 = 0,3 ч.
Ответ: 1,5 ч.
60/(x − 10) − 60/x = 0,3. Умножим на 10x(x − 10): 600x − 600(x − 10) = 3x(x − 10); 6000 = 3x² − 30x; x² − 10x − 2000 = 0; D/4 = 25 + 2000 = 2025 = 45²; x = 5 ± 45; x = 50 или x = −40 (не подходит).
Обратная скорость 40 км/ч, время 60 : 40 = 1,5 ч. Проверка: 60/50 = 1,2 ч, 1,5 − 1,2 = 0,3 ч.
Ответ: 1,5 ч.
254. На 80 км пути велосипедист тратит на 2 ч больше, чем мотоциклист, так как его скорость на 20 км/ч меньше, чем скорость мотоциклиста. Найдите скорость велосипедиста.
Пусть скорость велосипедиста x км/ч, тогда мотоциклиста x + 20 км/ч. Время: 80/x ч и 80/(x + 20) ч, разность 2 ч:
80/x − 80/(x + 20) = 2. Разделим на 2: 40/x − 40/(x + 20) = 1. Умножим на x(x + 20): 40(x + 20) − 40x = x(x + 20); 800 = x² + 20x; x² + 20x − 800 = 0; D/4 = 100 + 800 = 900; x = −10 ± 30; x = 20 или x = −40 (не подходит).
Проверка: 80/20 = 4 ч, 80/40 = 2 ч, разность 2 ч.
Ответ: 20 км/ч.
80/x − 80/(x + 20) = 2. Разделим на 2: 40/x − 40/(x + 20) = 1. Умножим на x(x + 20): 40(x + 20) − 40x = x(x + 20); 800 = x² + 20x; x² + 20x − 800 = 0; D/4 = 100 + 800 = 900; x = −10 ± 30; x = 20 или x = −40 (не подходит).
Проверка: 80/20 = 4 ч, 80/40 = 2 ч, разность 2 ч.
Ответ: 20 км/ч.
255. Первый лыжник прошёл дистанцию 30 км на 1/2 ч быстрее, чем второй дистанцию 45 км, хотя скорость второго была на 3 км/ч больше. За какое время первый лыжник прошёл 30 км?
Пусть скорость первого x км/ч, второго x + 3 км/ч. Время первого 30/x ч, второго 45/(x + 3) ч. Первый быстрее на 1/2 ч: 45/(x + 3) − 30/x = 1/2.
Умножим на 2x(x + 3): 90x − 60(x + 3) = x(x + 3); 30x − 180 = x² + 3x; x² − 27x + 180 = 0; D = 729 − 720 = 9; x = (27 ± 3)/2; x = 15 или x = 12. Оба значения подходят.
x = 15: время первого 30/15 = 2 ч (второй 45/18 = 2,5 ч). x = 12: время первого 30/12 = 2,5 ч (второй 45/15 = 3 ч). В обоих случаях разность 0,5 ч.
Ответ: 2 ч или 2,5 ч.
Умножим на 2x(x + 3): 90x − 60(x + 3) = x(x + 3); 30x − 180 = x² + 3x; x² − 27x + 180 = 0; D = 729 − 720 = 9; x = (27 ± 3)/2; x = 15 или x = 12. Оба значения подходят.
x = 15: время первого 30/15 = 2 ч (второй 45/18 = 2,5 ч). x = 12: время первого 30/12 = 2,5 ч (второй 45/15 = 3 ч). В обоих случаях разность 0,5 ч.
Ответ: 2 ч или 2,5 ч.
256. С первого участка собрали 80 ц проса, а со второго 90 ц проса, хотя площадь второго участка была на 2 га меньше. С каждого гектара второго участка собирали на 5 ц больше, чем с каждого гектара первого. Какова урожайность проса на каждом участке?
Пусть урожайность на первом участке x ц/га, на втором x + 5 ц/га. Площади: 80/x га и 90/(x + 5) га. Площадь первого на 2 га больше: 80/x − 90/(x + 5) = 2.
Разделим на 2: 40/x − 45/(x + 5) = 1. Умножим на x(x + 5): 40(x + 5) − 45x = x(x + 5); 200 − 5x = x² + 5x; x² + 10x − 200 = 0; D/4 = 25 + 200 = 225; x = −5 ± 15; x = 10 или x = −20 (не подходит).
Первый участок 10 ц/га, второй 15 ц/га. Проверка: 80/10 = 8 га, 90/15 = 6 га, разность 2 га.
Ответ: 10 ц/га и 15 ц/га.
Разделим на 2: 40/x − 45/(x + 5) = 1. Умножим на x(x + 5): 40(x + 5) − 45x = x(x + 5); 200 − 5x = x² + 5x; x² + 10x − 200 = 0; D/4 = 25 + 200 = 225; x = −5 ± 15; x = 10 или x = −20 (не подходит).
Первый участок 10 ц/га, второй 15 ц/га. Проверка: 80/10 = 8 га, 90/15 = 6 га, разность 2 га.
Ответ: 10 ц/га и 15 ц/га.
257. За 6 ч катер прошёл 36 км по течению реки и 48 км против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 3 км/ч?
Пусть скорость катера в стоячей воде x км/ч (x > 3). По течению x + 3 км/ч, против течения x − 3 км/ч. Время: 36/(x + 3) + 48/(x − 3) = 6. Разделим на 6: 6/(x + 3) + 8/(x − 3) = 1. Умножим на (x + 3)(x − 3): 6(x − 3) + 8(x + 3) = x² − 9; 14x + 6 = x² − 9; x² − 14x − 15 = 0; x = 15 или x = −1 (не подходит).
Проверка: 36/18 + 48/12 = 2 + 4 = 6 ч.
Ответ: 15 км/ч.
Проверка: 36/18 + 48/12 = 2 + 4 = 6 ч.
Ответ: 15 км/ч.