Упражнения 222–231, стр. 78 — Алгебра, 9 класс, Алгебра Макарычев · ГДЗ
Алгебра · 9 КЛАСС

Упражнения 222–231 — Глава III. §5. п.13 Целое уравнение и его корни

Страница 78 · Алгебра Макарычев 9 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 15-е издание, переработанное

Оглавление

Глава III. §5. п.13 Целое уравнение и его корни — с. 78

222. Решите уравнение: а) (x² + 3)² − 11(x² + 3) + 28 = 0; б) (x² − 4x)² + 9(x² − 4x) + 20 = 0; в) (x² + x)(x² + x − 5) = 84.
а) Пусть z = x² + 3: z² − 11z + 28 = 0; z = 4 или z = 7. x² + 3 = 4, x² = 1, x = ±1; x² + 3 = 7, x² = 4, x = ±2.
б) Пусть z = x² − 4x: z² + 9z + 20 = 0; z = −4 или z = −5. x² − 4x = −4: (x − 2)² = 0, x = 2. x² − 4x = −5: x² − 4x + 5 = 0, D/4 = 4 − 5 < 0, корней нет.
в) Пусть z = x² + x: z(z − 5) = 84; z² − 5z − 84 = 0; D = 25 + 336 = 361; z = (5 ± 19)/2; z = 12 или z = −7. x² + x = 12: x² + x − 12 = 0, x = 3 или x = −4. x² + x = −7: D = 1 − 28 < 0, корней нет.
Ответ: а) −2; −1; 1; 2; б) 2; в) −4; 3.
223. Решите биквадратное уравнение: а) x⁴ − 5x² − 36 = 0; б) y⁴ − 6y² + 8 = 0; в) t⁴ + 10t² + 25 = 0; г) 4x⁴ − 5x² + 1 = 0; д) 9x⁴ − 9x² + 2 = 0; е) 16y⁴ − 8y² + 1 = 0.
Биквадратное уравнение решаем заменой z = x² (z ≥ 0).
а) z² − 5z − 36 = 0; z = 9 или z = −4 (не подходит, z ≥ 0). x² = 9, x = ±3.
б) z² − 6z + 8 = 0; z = 2 или z = 4. y² = 2, y = ±√2; y² = 4, y = ±2.
в) t⁴ + 10t² + 25 = (t² + 5)² = 0; t² = −5 — невозможно, корней нет.
г) 4z² − 5z + 1 = 0; D = 25 − 16 = 9; z = (5 ± 3)/8; z = 1 или z = 1/4. x = ±1; x = ±1/2.
д) 9z² − 9z + 2 = 0; D = 81 − 72 = 9; z = (9 ± 3)/18; z = 2/3 или z = 1/3. x = ±√(2/3) = ±√6/3; x = ±√(1/3) = ±√3/3.
е) 16y⁴ − 8y² + 1 = (4y² − 1)² = 0; 4y² = 1; y = ±1/2.
Ответ: а) −3; 3; б) −2; −√2; √2; 2; в) корней нет; г) −1; −1/2; 1/2; 1; д) ±√3/3; ±√6/3; е) −1/2; 1/2.
224. Найдите корни биквадратного уравнения: а) x⁴ − 25x² + 144 = 0; б) y⁴ + 14y² + 48 = 0; в) x⁴ − 4x² + 4 = 0; г) t⁴ − 2t² − 3 = 0; д) 2x⁴ − 9x² + 4 = 0; е) 5y⁴ − 5y² + 2 = 0.
Замена z = x² (z ≥ 0).
а) z² − 25z + 144 = 0; D = 625 − 576 = 49; z = (25 ± 7)/2 = 16 или 9. x = ±4; x = ±3.
б) z² + 14z + 48 = 0; z = −6 или z = −8, оба отрицательны, корней нет.
в) (x² − 2)² = 0; x² = 2; x = ±√2.
г) z² − 2z − 3 = 0; z = 3 или z = −1 (не подходит). t² = 3; t = ±√3.
д) 2z² − 9z + 4 = 0; D = 81 − 32 = 49; z = (9 ± 7)/4 = 4 или 1/2. x = ±2; x = ±√(1/2) = ±√2/2.
е) 5z² − 5z + 2 = 0; D = 25 − 40 < 0, корней нет.
Ответ: а) −4; −3; 3; 4; б) корней нет; в) −√2; √2; г) −√3; √3; д) −2; 2; ±√2/2; е) корней нет.
225. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции: а) y = x⁴ − 5x² + 4; б) y = x⁴ + 3x² − 10; в) y = x⁴ − 20x² + 100; г) y = 4x⁴ + 16x².
С осью y: x = 0, находим y(0). С осью x: y = 0, решаем биквадратное уравнение.
а) y(0) = 4. x⁴ − 5x² + 4 = 0; z = x² = 1 или 4; x = ±1; ±2. Точки (−2; 0), (−1; 0), (1; 0), (2; 0), (0; 4).
б) y(0) = −10. z² + 3z − 10 = 0; z = 2 или z = −5 (не подходит). x = ±√2. Точки (−√2; 0), (√2; 0), (0; −10).
в) y(0) = 100. (x² − 10)² = 0; x² = 10; x = ±√10. Точки (−√10; 0), (√10; 0), (0; 100).
г) y(0) = 0. 4x²(x² + 4) = 0; x = 0, так как x² + 4 > 0. Единственная точка (0; 0).
226. Разложите на множители трёхчлен: а) x⁴ − 47x² − 98; б) x⁴ − 85x² + 1764.
Решаем уравнение относительно z = x² и используем разложение az² + bz + c = a(z − z₁)(z − z₂).
а) z² − 47z − 98 = 0; D = 2209 + 392 = 2601 = 51²; z = (47 ± 51)/2 = 49 или −2. x⁴ − 47x² − 98 = (x² − 49)(x² + 2) = (x − 7)(x + 7)(x² + 2).
б) z² − 85z + 1764 = 0; D = 7225 − 7056 = 169; z = (85 ± 13)/2 = 49 или 36. x⁴ − 85x² + 1764 = (x² − 49)(x² − 36) = (x − 7)(x + 7)(x − 6)(x + 6).
227. Решите уравнение: а) (x² − 1)(x² + 1) − 4(x² − 11) = 0; б) 3x²(x − 1)(x + 1) − 10x² + 4 = 0.
а) x⁴ − 1 − 4x² + 44 = 0; x⁴ − 4x² + 43 = 0. Пусть z = x²: z² − 4z + 43 = 0; D/4 = 4 − 43 < 0. Корней нет.
б) 3x²(x² − 1) − 10x² + 4 = 0; 3x⁴ − 13x² + 4 = 0; 3z² − 13z + 4 = 0; D = 169 − 48 = 121; z = (13 ± 11)/6 = 4 или 1/3. x = ±2; x = ±√(1/3) = ±√3/3.
Ответ: а) корней нет; б) −2; −√3/3; √3/3; 2.
228. Решите уравнение: а) x⁵ + x⁴ − 6x³ − 6x² + 5x + 5 = 0; б) x⁵ − x⁴ − 2x³ + 2x² − 3x + 3 = 0.
а) Группируем: x⁴(x + 1) − 6x²(x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x⁴ − 6x² + 5) = 0. Далее x⁴ − 6x² + 5 = (x² − 1)(x² − 5). Итак, (x + 1)(x² − 1)(x² − 5) = 0; x = −1; x = 1; x = ±√5.
б) x⁴(x − 1) − 2x²(x − 1) − 3(x − 1) = (x − 1)(x⁴ − 2x² − 3) = 0. x⁴ − 2x² − 3 = (x² − 3)(x² + 1), x² + 1 > 0. Поэтому x = 1 или x² = 3, x = ±√3.
Ответ: а) −√5; −1; 1; √5; б) −√3; 1; √3.
229. Найдите корни уравнения: а) y⁷ − y⁶ + 8y = 8; б) u⁷ − u⁶ = 64u − 64.
а) y⁷ − y⁶ + 8y − 8 = 0; y⁶(y − 1) + 8(y − 1) = 0; (y − 1)(y⁶ + 8) = 0. Так как y⁶ + 8 > 0, то y = 1.
б) u⁷ − u⁶ − 64u + 64 = 0; u⁶(u − 1) − 64(u − 1) = 0; (u − 1)(u⁶ − 64) = 0; u = 1 или u⁶ = 64, u = ±2.
Ответ: а) 1; б) −2; 1; 2.
230. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) 3x² − 25x − 28; б) 2x² + 13x − 7.
Используем ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
а) 3x² − 25x − 28 = 0; D = 625 + 336 = 961 = 31²; x = (25 ± 31)/6; x₁ = 28/3, x₂ = −1. 3x² − 25x − 28 = 3(x − 28/3)(x + 1) = (3x − 28)(x + 1).
б) 2x² + 13x − 7 = 0; D = 169 + 56 = 225; x = (−13 ± 15)/4; x₁ = 1/2, x₂ = −7. 2x² + 13x − 7 = 2(x − 1/2)(x + 7) = (2x − 1)(x + 7).
231. Решите неравенство: а) 13(5x − 1) − 15(4x + 2) < 0; б) 6(7 − 0,2x) − 5(8 − 0,4x) > 0.
а) 65x − 13 − 60x − 30 < 0; 5x − 43 < 0; 5x < 43; x < 8,6. Ответ: (−∞; 8,6).
б) 42 − 1,2x − 40 + 2x > 0; 0,8x + 2 > 0; 0,8x > −2; x > −2,5. Ответ: (−2,5; +∞).