Глава III. §5. п.13 Целое уравнение и его корни — с. 76
210. Какова степень уравнения: а) 2x² − 6x⁵ + 1 = 0; б) x⁶ − 4x³ − 3 = 0; в) 1/7 x⁵ = 0; г) (x + 8)(x − 7) = 0; д) x/2 − x/4 = 5; е) 5x³ − 5x(x² + 4) = 17?
Степень целого уравнения — степень равносильного ему уравнения P(x) = 0, где P(x) — многочлен стандартного вида. Если уравнение уже записано в виде P(x) = 0, берём наибольший показатель степени переменной; иначе сначала приводим уравнение к такому виду.
а) 2x² − 6x⁵ + 1 = 0: уже P(x) = 0, наибольший показатель 5 — уравнение пятой степени.
б) x⁶ − 4x³ − 3 = 0: наибольший показатель 6 — шестой степени.
в) (1/7)x⁵ = 0: наибольший показатель 5 — пятой степени.
г) (x + 8)(x − 7) = 0: раскроем скобки: x² − 7x + 8x − 56 = x² + x − 56 = 0 — второй степени.
д) x/2 − x/4 = 5: приведём подобные слагаемые: x/4 = 5, или (1/4)x − 5 = 0 — первой степени.
е) 5x³ − 5x(x² + 4) = 17: раскроем скобки: 5x³ − 5x³ − 20x = 17, то есть −20x − 17 = 0 (слагаемые 5x³ и −5x³ взаимно уничтожаются) — первой степени.
Ответ: а) 5; б) 6; в) 5; г) 2; д) 1; е) 1.
а) 2x² − 6x⁵ + 1 = 0: уже P(x) = 0, наибольший показатель 5 — уравнение пятой степени.
б) x⁶ − 4x³ − 3 = 0: наибольший показатель 6 — шестой степени.
в) (1/7)x⁵ = 0: наибольший показатель 5 — пятой степени.
г) (x + 8)(x − 7) = 0: раскроем скобки: x² − 7x + 8x − 56 = x² + x − 56 = 0 — второй степени.
д) x/2 − x/4 = 5: приведём подобные слагаемые: x/4 = 5, или (1/4)x − 5 = 0 — первой степени.
е) 5x³ − 5x(x² + 4) = 17: раскроем скобки: 5x³ − 5x³ − 20x = 17, то есть −20x − 17 = 0 (слагаемые 5x³ и −5x³ взаимно уничтожаются) — первой степени.
Ответ: а) 5; б) 6; в) 5; г) 2; д) 1; е) 1.