Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 69
189. Обладает ли функция y = f(x) свойством чётности или свойством нечётности, если: а) f(x) = x³ − 7x; б) f(x) = (x² + 9)/x?
Функция может быть чётной или нечётной только если её область определения симметрична относительно нуля; затем сравниваем f(−x) с f(x) и с −f(x).
а) f(x) = x³ − 7x. Область определения — все числа, она симметрична. f(−x) = (−x)³ − 7(−x) = −x³ + 7x = −(x³ − 7x) = −f(x). Функция нечётная (чётной не является: например, f(1) = −6, а f(−1) = 6 ≠ f(1)).
б) f(x) = (x² + 9)/x. Область определения: x ≠ 0, она симметрична. f(−x) = ((−x)² + 9)/(−x) = (x² + 9)/(−x) = −(x² + 9)/x = −f(x). Функция нечётная (чётной не является: f(1) = 10, f(−1) = −10).
Ответ: а) нечётная; б) нечётная.
а) f(x) = x³ − 7x. Область определения — все числа, она симметрична. f(−x) = (−x)³ − 7(−x) = −x³ + 7x = −(x³ − 7x) = −f(x). Функция нечётная (чётной не является: например, f(1) = −6, а f(−1) = 6 ≠ f(1)).
б) f(x) = (x² + 9)/x. Область определения: x ≠ 0, она симметрична. f(−x) = ((−x)² + 9)/(−x) = (x² + 9)/(−x) = −(x² + 9)/x = −f(x). Функция нечётная (чётной не является: f(1) = 10, f(−1) = −10).
Ответ: а) нечётная; б) нечётная.
190. Постройте график функции и опишите её свойства: а) f(x) = (x² − 9)/(x − 3); б) f(x) = (x² − 6x − 7)/(x + 1).
а) Область определения: x ≠ 3. Для x ≠ 3 числитель раскладывается: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), поэтому f(x) = x + 3. График — прямая y = x + 3 с выколотой точкой, абсцисса которой равна 3, а ордината 3 + 3 = 6: точка (3; 6) не принадлежит графику. Для построения: (−3; 0), (0; 3), (1; 4).
Свойства: D(f) = (−∞; 3) ∪ (3; +∞); E(f) = (−∞; 6) ∪ (6; +∞) (значение 6 не принимается); нуль x = −3; f(x) > 0 при x > −3, x ≠ 3; f(x) < 0 при x < −3; функция возрастает на промежутках (−∞; 3) и (3; +∞); ни чётная, ни нечётная (область определения несимметрична); наибольшего и наименьшего значений нет.
б) Область определения: x ≠ −1. x² − 6x − 7 = (x − 7)(x + 1) (корни x = 7 и x = −1 по теореме Виета), поэтому для x ≠ −1 получаем f(x) = x − 7. График — прямая y = x − 7 с выколотой точкой (−1; −8). Для построения: (0; −7), (7; 0), (3; −4).
Свойства: D(f) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞); E(f) = (−∞; −8) ∪ (−8; +∞); нуль x = 7; f(x) > 0 при x > 7; f(x) < 0 при x < 7, x ≠ −1; функция возрастает на промежутках (−∞; −1) и (−1; +∞); ни чётная, ни нечётная; наибольшего и наименьшего значений нет.
Ответ: а) прямая y = x + 3 без точки (3; 6); б) прямая y = x − 7 без точки (−1; −8).
Свойства: D(f) = (−∞; 3) ∪ (3; +∞); E(f) = (−∞; 6) ∪ (6; +∞) (значение 6 не принимается); нуль x = −3; f(x) > 0 при x > −3, x ≠ 3; f(x) < 0 при x < −3; функция возрастает на промежутках (−∞; 3) и (3; +∞); ни чётная, ни нечётная (область определения несимметрична); наибольшего и наименьшего значений нет.
б) Область определения: x ≠ −1. x² − 6x − 7 = (x − 7)(x + 1) (корни x = 7 и x = −1 по теореме Виета), поэтому для x ≠ −1 получаем f(x) = x − 7. График — прямая y = x − 7 с выколотой точкой (−1; −8). Для построения: (0; −7), (7; 0), (3; −4).
Свойства: D(f) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞); E(f) = (−∞; −8) ∪ (−8; +∞); нуль x = 7; f(x) > 0 при x > 7; f(x) < 0 при x < 7, x ≠ −1; функция возрастает на промежутках (−∞; −1) и (−1; +∞); ни чётная, ни нечётная; наибольшего и наименьшего значений нет.
Ответ: а) прямая y = x + 3 без точки (3; 6); б) прямая y = x − 7 без точки (−1; −8).
191. При каком значении a график функции y = ax² проходит через точку: а) (5; −7); б) (−√3; 9); в) (−1/2; −1/2); г) (100; 10)?
Если точка лежит на графике, её координаты удовлетворяют уравнению y = ax². Подставим координаты и найдём a.
а) −7 = a·5², 25a = −7, a = −7/25 = −0,28.
б) 9 = a·(−√3)² = 3a, a = 3.
в) −1/2 = a·(−1/2)² = a/4, a = −2.
г) 10 = a·100² = 10000a, a = 10/10000 = 0,001.
Ответ: а) a = −0,28; б) a = 3; в) a = −2; г) a = 0,001.
а) −7 = a·5², 25a = −7, a = −7/25 = −0,28.
б) 9 = a·(−√3)² = 3a, a = 3.
в) −1/2 = a·(−1/2)² = a/4, a = −2.
г) 10 = a·100² = 10000a, a = 10/10000 = 0,001.
Ответ: а) a = −0,28; б) a = 3; в) a = −2; г) a = 0,001.
192. Постройте график функции, заданной формулой y = −0,25x², где x ∈ [−6; 2]. Каковы наибольшее и наименьшее значения этой функции?
График — часть параболы с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз (a = −0,25 < 0); берём только точки с x от −6 до 2.
Таблица: x = −6; −4; −2; 0; 2 — y = −0,25·36 = −9; −4; −1; 0; −1.
Отмечаем точки и соединяем плавной линией от (−6; −9) до (2; −1) (концы входят в график).
Наибольшее значение функции на отрезке [−6; 2] достигается в вершине, при x = 0: y = 0. Наименьшее значение — на левом конце отрезка (он дальше всего от оси симметрии), при x = −6: y = −9. На правом конце x = 2 значение −1 > −9.
Ответ: наибольшее значение 0 (при x = 0), наименьшее значение −9 (при x = −6).
Таблица: x = −6; −4; −2; 0; 2 — y = −0,25·36 = −9; −4; −1; 0; −1.
Отмечаем точки и соединяем плавной линией от (−6; −9) до (2; −1) (концы входят в график).
Наибольшее значение функции на отрезке [−6; 2] достигается в вершине, при x = 0: y = 0. Наименьшее значение — на левом конце отрезка (он дальше всего от оси симметрии), при x = −6: y = −9. На правом конце x = 2 значение −1 > −9.
Ответ: наибольшее значение 0 (при x = 0), наименьшее значение −9 (при x = −6).
193. При каких значениях a областью значений функции y = ax² является промежуток: а) [0; +∞); б) (−∞; 0]?
При a ≠ 0 график функции y = ax² — парабола с вершиной (0; 0). Так как x² ≥ 0, знак значения y совпадает со знаком a (или y = 0 при x = 0).
а) Если a > 0, то y = ax² ≥ 0, наименьшее значение 0 достигается при x = 0, а при росте |x| значения неограниченно возрастают: E(y) = [0; +∞).
б) Если a < 0, то y = ax² ≤ 0, наибольшее значение 0, а при росте |x| значения неограниченно убывают: E(y) = (−∞; 0].
При a = 0 функция y = 0 принимает единственное значение, это не промежуток.
Ответ: а) при a > 0; б) при a < 0.
а) Если a > 0, то y = ax² ≥ 0, наименьшее значение 0 достигается при x = 0, а при росте |x| значения неограниченно возрастают: E(y) = [0; +∞).
б) Если a < 0, то y = ax² ≤ 0, наибольшее значение 0, а при росте |x| значения неограниченно убывают: E(y) = (−∞; 0].
При a = 0 функция y = 0 принимает единственное значение, это не промежуток.
Ответ: а) при a > 0; б) при a < 0.
194. Докажите, что графики функций y = ax² и y = ax, где a ≠ 0, пересекаются в точке (1; a). В какой ещё точке пересекаются эти графики?
Подставим x = 1 в обе формулы: y = a·1² = a и y = a·1 = a. Значения совпадают, значит, точка (1; a) лежит на обоих графиках, то есть является общей точкой.
Для нахождения всех общих точек решим уравнение ax² = ax: ax² − ax = 0, ax(x − 1) = 0. Так как a ≠ 0, получаем x = 0 или x = 1. При x = 0 имеем y = a·0 = 0, при x = 1 имеем y = a.
Значит, графики пересекаются ровно в двух точках: (1; a) и (0; 0).
Ответ: графики пересекаются также в точке (0; 0).
Для нахождения всех общих точек решим уравнение ax² = ax: ax² − ax = 0, ax(x − 1) = 0. Так как a ≠ 0, получаем x = 0 или x = 1. При x = 0 имеем y = a·0 = 0, при x = 1 имеем y = a.
Значит, графики пересекаются ровно в двух точках: (1; a) и (0; 0).
Ответ: графики пересекаются также в точке (0; 0).
195. Параболу y = 7x² сдвинули вверх на 5 единиц и влево на 8 единиц. Графиком какой функции является полученная парабола?
Сдвиг графика функции y = f(x) вверх на n единиц даёт график y = f(x) + n, а сдвиг влево на m единиц — график y = f(x + m).
Сдвигаем параболу y = 7x² влево на 8 единиц: y = 7(x + 8)². Затем вверх на 5 единиц: y = 7(x + 8)² + 5.
Вершина новой параболы в точке (−8; 5), ветви направлены вверх, как и у исходной.
Ответ: y = 7(x + 8)² + 5.
Сдвигаем параболу y = 7x² влево на 8 единиц: y = 7(x + 8)². Затем вверх на 5 единиц: y = 7(x + 8)² + 5.
Вершина новой параболы в точке (−8; 5), ветви направлены вверх, как и у исходной.
Ответ: y = 7(x + 8)² + 5.
196. Какие преобразования надо выполнить, чтобы: а) из графика функции y = x³ получить графики функций y = −x³, y = (x − 3)³, y = x³ + 4; б) из графика функции y = √x получить графики функций y = −√x, y = √(x + 5), y = √x − 1?
а) y = −x³: график y = x³ отражается симметрично относительно оси x (все ординаты меняют знак).
y = (x − 3)³: график y = x³ сдвигается параллельно оси x на 3 единицы вправо.
y = x³ + 4: график y = x³ сдвигается параллельно оси y на 4 единицы вверх.
б) y = −√x: график y = √x отражается симметрично относительно оси x.
y = √(x + 5): график y = √x сдвигается параллельно оси x на 5 единиц влево.
y = √x − 1: график y = √x сдвигается параллельно оси y на 1 единицу вниз.
Ответ: а) симметрия относительно оси x; сдвиг на 3 вправо; сдвиг на 4 вверх; б) симметрия относительно оси x; сдвиг на 5 влево; сдвиг на 1 вниз.
y = (x − 3)³: график y = x³ сдвигается параллельно оси x на 3 единицы вправо.
y = x³ + 4: график y = x³ сдвигается параллельно оси y на 4 единицы вверх.
б) y = −√x: график y = √x отражается симметрично относительно оси x.
y = √(x + 5): график y = √x сдвигается параллельно оси x на 5 единиц влево.
y = √x − 1: график y = √x сдвигается параллельно оси y на 1 единицу вниз.
Ответ: а) симметрия относительно оси x; сдвиг на 3 вправо; сдвиг на 4 вверх; б) симметрия относительно оси x; сдвиг на 5 влево; сдвиг на 1 вниз.
197. Постройте в одной координатной плоскости графики функций y = |x|, y = |x − 4|, y = |x − 4| − 3.
Все три графика — «галочки» (уголки) с ветвями, идущими под углом 45° к осям.
y = |x|: вершина (0; 0), точки (±1; 1), (±3; 3).
y = |x − 4|: график y = |x| сдвинут на 4 единицы вправо; вершина (4; 0), точки (3; 1), (5; 1), (0; 4), (8; 4).
y = |x − 4| − 3: график y = |x − 4| сдвинут на 3 единицы вниз; вершина (4; −3), точки (3; −2), (5; −2), (1; 0), (7; 0), (0; 1), (8; 1).
Ответ: см. рисунок.
y = |x|: вершина (0; 0), точки (±1; 1), (±3; 3).
y = |x − 4|: график y = |x| сдвинут на 4 единицы вправо; вершина (4; 0), точки (3; 1), (5; 1), (0; 4), (8; 4).
y = |x − 4| − 3: график y = |x − 4| сдвинут на 3 единицы вниз; вершина (4; −3), точки (3; −2), (5; −2), (1; 0), (7; 0), (0; 1), (8; 1).
Ответ: см. рисунок.