Глава II. §4. п.12 Дробно-линейная функция и её график — с. 67
172. Постройте график функции y = (3x − 2)/(x − 2). Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства.
Выделим целую часть: (3x − 2)/(x − 2) = (3(x − 2) + 4)/(x − 2) = 3 + 4/(x − 2). Значит, y = 4/(x − 2) + 3 — гипербола, полученная из гиперболы y = 4/x сдвигом на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Асимптоты: x = 2 и y = 3.
Точки для построения: при x > 2: (3; 7), (4; 5), (6; 4), (10; 3,5); при x < 2: (1; −1), (0; 1), (−2; 2), (−6; 2,5).
Нули функции: y = 0 при 3x − 2 = 0, x = 2/3 (при этом x − 2 ≠ 0). Нуль один: x = 2/3.
Промежутки знакопостоянства: нуль 2/3 и точка 2, в которой функция не определена, делят числовую прямую на три промежутка. При x < 2/3 (например, x = 0: y = 1) значение положительно; при 2/3 < x < 2 (например, x = 1: y = −1) отрицательно; при x > 2 (например, x = 3: y = 7) положительно.
Ответ: нуль функции x = 2/3; y > 0 при x < 2/3 и при x > 2; y < 0 при 2/3 < x < 2.
Точки для построения: при x > 2: (3; 7), (4; 5), (6; 4), (10; 3,5); при x < 2: (1; −1), (0; 1), (−2; 2), (−6; 2,5).
Нули функции: y = 0 при 3x − 2 = 0, x = 2/3 (при этом x − 2 ≠ 0). Нуль один: x = 2/3.
Промежутки знакопостоянства: нуль 2/3 и точка 2, в которой функция не определена, делят числовую прямую на три промежутка. При x < 2/3 (например, x = 0: y = 1) значение положительно; при 2/3 < x < 2 (например, x = 1: y = −1) отрицательно; при x > 2 (например, x = 3: y = 7) положительно.
Ответ: нуль функции x = 2/3; y > 0 при x < 2/3 и при x > 2; y < 0 при 2/3 < x < 2.
173. Укажите функции, графиками которых являются гиперболы: 1. y = 15/(x − 3); 2. y = (37 + x)/(37 − x); 3. y = (8x − 5)/25; 4. y = (8x − 40)/(5x − 25).
Гиперболой является график функции y = k/(x − m) + n при k ≠ 0, то есть график дробно-линейной функции (ax + b)/(cx + d), в которой дробь нельзя сократить и c ≠ 0.
1. y = 15/(x − 3) — гипербола (k = 15, m = 3, n = 0).
2. (37 + x)/(37 − x) = −(x + 37)/(x − 37) = −((x − 37) + 74)/(x − 37) = −1 − 74/(x − 37). Это функция вида k/(x − m) + n, где k = −74 ≠ 0, m = 37, n = −1 — гипербола.
3. (8x − 5)/25 = 0,32x − 0,2 — линейная функция, её график прямая.
4. (8x − 40)/(5x − 25) = 8(x − 5)/(5(x − 5)) = 1,6 при x ≠ 5 — график представляет собой прямую y = 1,6 с выколотой точкой (5; 1,6), это не гипербола.
Ответ: 1 и 2.
1. y = 15/(x − 3) — гипербола (k = 15, m = 3, n = 0).
2. (37 + x)/(37 − x) = −(x + 37)/(x − 37) = −((x − 37) + 74)/(x − 37) = −1 − 74/(x − 37). Это функция вида k/(x − m) + n, где k = −74 ≠ 0, m = 37, n = −1 — гипербола.
3. (8x − 5)/25 = 0,32x − 0,2 — линейная функция, её график прямая.
4. (8x − 40)/(5x − 25) = 8(x − 5)/(5(x − 5)) = 1,6 при x ≠ 5 — график представляет собой прямую y = 1,6 с выколотой точкой (5; 1,6), это не гипербола.
Ответ: 1 и 2.
174. Докажите, что графику функции y = (2x + 5)/(x − 3) принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа. Найдите координаты этих точек.
Выделим целую часть: y = (2(x − 3) + 11)/(x − 3) = 2 + 11/(x − 3).
Пусть абсцисса x и ордината y — натуральные числа. Тогда y − 2 = 11/(x − 3) — целое число, значит, x − 3 является делителем числа 11, то есть x − 3 ∈ {−11; −1; 1; 11}.
x − 3 = −11: x = −8 — не натуральное число.
x − 3 = −1: x = 2, y = 2 − 11 = −9 — не натуральное число.
x − 3 = 1: x = 4, y = 2 + 11 = 13 — подходит.
x − 3 = 11: x = 14, y = 2 + 1 = 3 — подходит.
Итак, только две точки графика имеют натуральные координаты.
Ответ: (4; 13) и (14; 3).
Пусть абсцисса x и ордината y — натуральные числа. Тогда y − 2 = 11/(x − 3) — целое число, значит, x − 3 является делителем числа 11, то есть x − 3 ∈ {−11; −1; 1; 11}.
x − 3 = −11: x = −8 — не натуральное число.
x − 3 = −1: x = 2, y = 2 − 11 = −9 — не натуральное число.
x − 3 = 1: x = 4, y = 2 + 11 = 13 — подходит.
x − 3 = 11: x = 14, y = 2 + 1 = 3 — подходит.
Итак, только две точки графика имеют натуральные координаты.
Ответ: (4; 13) и (14; 3).
175. Найдите все точки графика функции y = (8x − 7)/x, у которых и абсцисса, и ордината являются целыми числами.
Преобразуем: y = (8x − 7)/x = 8 − 7/x. Если x — целое и y — целое, то 7/x — целое число, значит, x — делитель числа 7: x ∈ {−7; −1; 1; 7}.
x = −7: y = 8 + 1 = 9.
x = −1: y = 8 + 7 = 15.
x = 1: y = 8 − 7 = 1.
x = 7: y = 8 − 1 = 7.
Ответ: (−7; 9), (−1; 15), (1; 1), (7; 7).
x = −7: y = 8 + 1 = 9.
x = −1: y = 8 + 7 = 15.
x = 1: y = 8 − 7 = 1.
x = 7: y = 8 − 1 = 7.
Ответ: (−7; 9), (−1; 15), (1; 1), (7; 7).
176. Решите графически уравнение 4x/(x + 2) = x − 3.
Построим в одной системе координат графики функций y = 4x/(x + 2) и y = x − 3; абсциссы точек их пересечения — корни уравнения.
Первая функция: 4x/(x + 2) = (4(x + 2) − 8)/(x + 2) = 4 − 8/(x + 2). Это гипербола с асимптотами x = −2 и y = 4; точки: (0; 0), (−1; −4), (2; 2), (6; 3), (−3; 12), (−4; 8), (−6; 6).
Вторая функция линейная: y = x − 3, прямая через точки (0; −3) и (3; 0).
Графики пересекаются в точках (−1; −4) и (6; 3). Значит, корни уравнения −1 и 6.
Проверка: x = −1: 4·(−1)/(−1 + 2) = −4 = −1 − 3; x = 6: 24/8 = 3 = 6 − 3.
Ответ: −1; 6.
Первая функция: 4x/(x + 2) = (4(x + 2) − 8)/(x + 2) = 4 − 8/(x + 2). Это гипербола с асимптотами x = −2 и y = 4; точки: (0; 0), (−1; −4), (2; 2), (6; 3), (−3; 12), (−4; 8), (−6; 6).
Вторая функция линейная: y = x − 3, прямая через точки (0; −3) и (3; 0).
Графики пересекаются в точках (−1; −4) и (6; 3). Значит, корни уравнения −1 и 6.
Проверка: x = −1: 4·(−1)/(−1 + 2) = −4 = −1 − 3; x = 6: 24/8 = 3 = 6 − 3.
Ответ: −1; 6.
177. Постройте график функции g(x) = 6/|x − 2|. Решите уравнение: а) g(x) = 3; б) g(x) = 6; в) g(x) = −2.
Область определения: x ≠ 2. Раскроем модуль: при x > 2 имеем |x − 2| = x − 2 и g(x) = 6/(x − 2); при x < 2 имеем |x − 2| = 2 − x и g(x) = 6/(2 − x). Значит, правая ветвь — гипербола y = 6/(x − 2) (сдвиг y = 6/x на 2 вправо), а левая получается её симметрией относительно прямой x = 2. Все значения функции положительны, оба конца графика приближаются к оси x, а около прямой x = 2 график уходит вверх. Точки: (3; 6), (4; 3), (5; 2), (8; 1), (1; 6), (0; 3), (−1; 2), (−4; 1).
а) 6/|x − 2| = 3, |x − 2| = 2, x − 2 = 2 или x − 2 = −2, x = 4 или x = 0.
б) 6/|x − 2| = 6, |x − 2| = 1, x = 3 или x = 1.
в) g(x) > 0 при всех x ≠ 2, значение −2 не принимается (прямая y = −2 не пересекает график), корней нет.
Ответ: а) 0; 4; б) 1; 3; в) корней нет.
а) 6/|x − 2| = 3, |x − 2| = 2, x − 2 = 2 или x − 2 = −2, x = 4 или x = 0.
б) 6/|x − 2| = 6, |x − 2| = 1, x = 3 или x = 1.
в) g(x) > 0 при всех x ≠ 2, значение −2 не принимается (прямая y = −2 не пересекает график), корней нет.
Ответ: а) 0; 4; б) 1; 3; в) корней нет.
178. Установите соответствие между функциями y = (x + 2)/(x − 1), y = (−x − 2)/(x − 1) и их графиками, представленными на рисунке 39. [рисунок 39: а) гипербола, ветви которой расположены в правом верхнем и левом нижнем углах относительно центра; левая ветвь пересекает ось y ниже начала координат; б) гипербола, ветви которой расположены в левом верхнем и правом нижнем углах относительно центра; левая ветвь пересекает ось y выше начала координат]
Выделим целую часть. (x + 2)/(x − 1) = ((x − 1) + 3)/(x − 1) = 1 + 3/(x − 1): асимптоты x = 1 и y = 1, k = 3 > 0, ветви лежат в правой верхней и левой нижней областях относительно центра (1; 1). При x = 0 значение равно (0 + 2)/(0 − 1) = −2: график пересекает ось y ниже начала координат.
(−x − 2)/(x − 1) = −(x + 2)/(x − 1) = −1 − 3/(x − 1): асимптоты x = 1 и y = −1, k = −3 < 0, ветви лежат в левой верхней и правой нижней областях относительно центра (1; −1). При x = 0 значение равно −2/(−1) = 2: график пересекает ось y выше начала координат. Кроме того, при x → ±∞ первая функция приближается к 1 (хвосты выше оси x), вторая — к −1 (хвосты ниже оси x).
Сопоставляя с рисунком, получаем соответствие.
Ответ: а) y = (x + 2)/(x − 1); б) y = (−x − 2)/(x − 1).
Оговорка: по рисунку надёжно различаются расположение ветвей и точка пересечения с осью y; масштаб рисунка приблизителен.
(−x − 2)/(x − 1) = −(x + 2)/(x − 1) = −1 − 3/(x − 1): асимптоты x = 1 и y = −1, k = −3 < 0, ветви лежат в левой верхней и правой нижней областях относительно центра (1; −1). При x = 0 значение равно −2/(−1) = 2: график пересекает ось y выше начала координат. Кроме того, при x → ±∞ первая функция приближается к 1 (хвосты выше оси x), вторая — к −1 (хвосты ниже оси x).
Сопоставляя с рисунком, получаем соответствие.
Ответ: а) y = (x + 2)/(x − 1); б) y = (−x − 2)/(x − 1).
Оговорка: по рисунку надёжно различаются расположение ветвей и точка пересечения с осью y; масштаб рисунка приблизителен.