Глава II. §4. п.11 Построение графика квадратичной функции — с. 62
165. Решите уравнение: а) (x − 1)² + (x + 1)² = (x + 2)² − 2x + 2; б) (2x − 3)(2x + 3) − 1 = 5x + (x − 2)².
а) Раскроем скобки: x² − 2x + 1 + x² + 2x + 1 = x² + 4x + 4 − 2x + 2, 2x² + 2 = x² + 2x + 6, x² − 2x − 4 = 0. D/4 = 1 + 4 = 5, x = 1 ± √5.
б) 4x² − 9 − 1 = 5x + x² − 4x + 4, 4x² − 10 = x² + x + 4, 3x² − x − 14 = 0. D = 1 + 168 = 169, x = (1 ± 13)/6, x = 14/6 = 7/3 = 2 1/3 или x = −2.
Ответ: а) 1 − √5; 1 + √5; б) −2; 2 1/3.
б) 4x² − 9 − 1 = 5x + x² − 4x + 4, 4x² − 10 = x² + x + 4, 3x² − x − 14 = 0. D = 1 + 168 = 169, x = (1 ± 13)/6, x = 14/6 = 7/3 = 2 1/3 или x = −2.
Ответ: а) 1 − √5; 1 + √5; б) −2; 2 1/3.
166. Если с каждого гектара участка соберут 35 ц пшеницы, то план недовыполнят на 20 т; если с каждого гектара будет получено 42 ц, то план перевыполнят на 50 т. Какова площадь участка?
Пусть площадь участка x га. Тогда при 35 ц/га соберут 35x ц = 3,5x т, при 42 ц/га — 4,2x т. План один и тот же. В первом случае плана не хватает 20 т: план = 3,5x + 20. Во втором — собрано на 50 т больше плана: план = 4,2x − 50.
Уравнение: 3,5x + 20 = 4,2x − 50, 70 = 0,7x, x = 100.
Проверка: план 3,5 · 100 + 20 = 370 т; 4,2 · 100 − 50 = 370 т.
Ответ: 100 га.
Уравнение: 3,5x + 20 = 4,2x − 50, 70 = 0,7x, x = 100.
Проверка: план 3,5 · 100 + 20 = 370 т; 4,2 · 100 − 50 = 370 т.
Ответ: 100 га.
167. Если на каждую машину грузить 3,5 т груза, то останется 4 т; если на каждую машину грузить 4,5 т, то для полной загрузки всех машин не хватит 4 т груза. Сколько было машин?
Пусть было x машин. Весь груз: при загрузке по 3,5 т остаётся 4 т, т. е. груз = 3,5x + 4. При загрузке по 4,5 т не хватает 4 т, т. е. груз = 4,5x − 4.
Уравнение: 3,5x + 4 = 4,5x − 4, x = 8.
Проверка: груз 3,5 · 8 + 4 = 32 т, 4,5 · 8 − 4 = 32 т.
Ответ: 8 машин.
Уравнение: 3,5x + 4 = 4,5x − 4, x = 8.
Проверка: груз 3,5 · 8 + 4 = 32 т, 4,5 · 8 − 4 = 32 т.
Ответ: 8 машин.
Вопрос 1. Сформулируйте определение квадратичной функции.
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где x — независимая переменная, a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0.
Вопрос 2. Как выглядит график квадратичной функции y = ax² и какими свойствами обладает функция: а) при a > 0; б) при a < 0?
Графиком функции y = ax² является парабола с вершиной в начале координат; ось y — ось симметрии параболы.
а) При a > 0 ветви параболы направлены вверх. Все значения функции неотрицательны, y = 0 только при x = 0; наименьшее значение 0, наибольшего нет; множество значений [0; +∞). Функция убывает на промежутке (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). Функция чётная.
б) При a < 0 ветви направлены вниз. Все значения функции неположительны, y = 0 только при x = 0; наибольшее значение 0, наименьшего нет; множество значений (−∞; 0]. Функция возрастает на (−∞; 0] и убывает на [0; +∞). Функция чётная.
а) При a > 0 ветви параболы направлены вверх. Все значения функции неотрицательны, y = 0 только при x = 0; наименьшее значение 0, наибольшего нет; множество значений [0; +∞). Функция убывает на промежутке (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). Функция чётная.
б) При a < 0 ветви направлены вниз. Все значения функции неположительны, y = 0 только при x = 0; наибольшее значение 0, наименьшего нет; множество значений (−∞; 0]. Функция возрастает на (−∞; 0] и убывает на [0; +∞). Функция чётная.
Вопрос 3. Как из графика функции y = ax² можно получить график функции: а) y = ax² + n; б) y = a(x − m)²; в) y = a(x − m)² + n?
а) График y = ax² + n получается параллельным переносом (сдвигом) графика y = ax² вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0, или на −n единиц вниз, если n < 0.
б) График y = a(x − m)² получается сдвигом графика y = ax² вдоль оси x на m единиц вправо, если m > 0, или на −m единиц влево, если m < 0.
в) График y = a(x − m)² + n получается из графика y = ax² двумя параллельными переносами: вдоль оси x на m и вдоль оси y на n (в указанных направлениях). Вершина параболы — точка (m; n), ось симметрии — прямая x = m.
б) График y = a(x − m)² получается сдвигом графика y = ax² вдоль оси x на m единиц вправо, если m > 0, или на −m единиц влево, если m < 0.
в) График y = a(x − m)² + n получается из графика y = ax² двумя параллельными переносами: вдоль оси x на m и вдоль оси y на n (в указанных направлениях). Вершина параболы — точка (m; n), ось симметрии — прямая x = m.
Вопрос 4. Что представляет собой график квадратичной функции y = ax² + bx + c?
На примере функции y = 2x² − 12x + 16 покажите, как строят график квадратичной функции.
Графиком функции y = ax² + bx + c является парабола, которую можно получить из графика y = ax² двумя параллельными переносами — вдоль осей x и y. Вершина параболы — точка (m; n), где m = −b/(2a), n = −(b² − 4ac)/(4a) (n = y(m)); ось симметрии — прямая x = m; ветви направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
Построение для y = 2x² − 12x + 16:
1) a = 2 > 0 — ветви вверх.
2) Вершина: m = 12/(2 · 2) = 3, n = 2 · 9 − 12 · 3 + 16 = −2. Вершина (3; −2), ось симметрии x = 3 (то же получим, выделив квадрат: 2(x² − 6x + 8) = 2((x − 3)² − 1) = 2(x − 3)² − 2).
3) Нули: 2(x − 3)² = 2, x = 2 и x = 4. С осью y: (0; 16). Ещё точки (симметричные относительно x = 3): таблица x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 6, 0, −2, 0, 6.
4) Отмечаем точки и соединяем плавной линией.
Построение для y = 2x² − 12x + 16:
1) a = 2 > 0 — ветви вверх.
2) Вершина: m = 12/(2 · 2) = 3, n = 2 · 9 − 12 · 3 + 16 = −2. Вершина (3; −2), ось симметрии x = 3 (то же получим, выделив квадрат: 2(x² − 6x + 8) = 2((x − 3)² − 1) = 2(x − 3)² − 2).
3) Нули: 2(x − 3)² = 2, x = 2 и x = 4. С осью y: (0; 16). Ещё точки (симметричные относительно x = 3): таблица x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 6, 0, −2, 0, 6.
4) Отмечаем точки и соединяем плавной линией.