Глава II. §4. п.11 Построение графика квадратичной функции — с. 61
162. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции y = ax² + bx + c, a ≠ 0, если: 1) a > 0, D > 0; a > 0, D = 0; a > 0, D < 0; 2) a < 0, D > 0; a < 0, D = 0; a < 0, D < 0. (Буквой D обозначен дискриминант квадратичного трёхчлена ax² + bx + c.)
Знак a определяет направление ветвей (a > 0 — вверх, a < 0 — вниз). Число общих точек параболы с осью x — число корней уравнения ax² + bx + c = 0, которое определяется знаком D: два корня при D > 0, один при D = 0, ни одного при D < 0.
1) a > 0 (ветви вверх): при D > 0 парабола пересекает ось x в двух точках, вершина ниже оси x; при D = 0 вершина лежит на оси x (парабола касается оси); при D < 0 парабола целиком выше оси x, y > 0 при всех x.
2) a < 0 (ветви вниз): при D > 0 две точки пересечения с осью x, вершина выше оси; при D = 0 вершина на оси x (касание); при D < 0 парабола целиком ниже оси x, y < 0 при всех x.
Расположение вершины по горизонтали зависит от b: абсцисса вершины −b/(2a). На рисунке — шесть случаев (верхний ряд a > 0, нижний a < 0).
1) a > 0 (ветви вверх): при D > 0 парабола пересекает ось x в двух точках, вершина ниже оси x; при D = 0 вершина лежит на оси x (парабола касается оси); при D < 0 парабола целиком выше оси x, y > 0 при всех x.
2) a < 0 (ветви вниз): при D > 0 две точки пересечения с осью x, вершина выше оси; при D = 0 вершина на оси x (касание); при D < 0 парабола целиком ниже оси x, y < 0 при всех x.
Расположение вершины по горизонтали зависит от b: абсцисса вершины −b/(2a). На рисунке — шесть случаев (верхний ряд a > 0, нижний a < 0).
163. (Задача-исследование.) По графику функции y = ax² + bx + c (рис. 36) определите знаки коэффициентов a, b и c.
1. Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов a и c. Укажите эти знаки.
2. Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента b. Укажите этот знак. [рисунок 36: а) парабола с ветвями вниз, вершина выше оси x справа от оси y, ось y пересекает ниже начала координат; б) парабола с ветвями вверх, вершина ниже оси x справа от оси y, ось y пересекает выше начала координат]
1) Знак a определяется направлением ветвей: ветви вверх — a > 0, вниз — a < 0. Число c = y(0) — ордината точки пересечения графика с осью y: точка выше начала координат — c > 0, ниже — c < 0.
а) Ветви вниз: a < 0. График пересекает ось y ниже начала координат: c < 0.
б) Ветви вверх: a > 0. График пересекает ось y выше начала координат: c > 0.
2) Абсцисса вершины m = −b/(2a), откуда b = −2am. Значит, знак b зависит от знаков a и m (положения вершины относительно оси y). В обоих случаях вершина расположена справа от оси y, т. е. m > 0.
а) a < 0 и m > 0, поэтому −2am > 0: b > 0.
б) a > 0 и m > 0, поэтому −2am < 0: b < 0.
Ответ: а) a < 0, b > 0, c < 0; б) a > 0, b < 0, c > 0.
а) Ветви вниз: a < 0. График пересекает ось y ниже начала координат: c < 0.
б) Ветви вверх: a > 0. График пересекает ось y выше начала координат: c > 0.
2) Абсцисса вершины m = −b/(2a), откуда b = −2am. Значит, знак b зависит от знаков a и m (положения вершины относительно оси y). В обоих случаях вершина расположена справа от оси y, т. е. m > 0.
а) a < 0 и m > 0, поэтому −2am > 0: b > 0.
б) a > 0 и m > 0, поэтому −2am < 0: b < 0.
Ответ: а) a < 0, b > 0, c < 0; б) a > 0, b < 0, c > 0.
164. Сократите дробь (1 − 3a)²/(3a² + 5a − 2).
Разложим знаменатель: 3a² + 5a − 2 = 0, D = 25 + 24 = 49, a = (−5 ± 7)/6, a₁ = 1/3, a₂ = −2. Тогда 3a² + 5a − 2 = 3(a − 1/3)(a + 2) = (3a − 1)(a + 2).
Числитель: (1 − 3a)² = (3a − 1)².
Сокращаем на 3a − 1 (при a ≠ 1/3): (3a − 1)²/((3a − 1)(a + 2)) = (3a − 1)/(a + 2).
Ответ: (3a − 1)/(a + 2).
Числитель: (1 − 3a)² = (3a − 1)².
Сокращаем на 3a − 1 (при a ≠ 1/3): (3a − 1)²/((3a − 1)(a + 2)) = (3a − 1)/(a + 2).
Ответ: (3a − 1)/(a + 2).