Глава II. §4. п.11 Построение графика квадратичной функции — с. 59
149. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀ (м/с) с высоты h₀ (м). Высота h (м), на которой окажется тело через t (с), выражается формулой h = −gt²/2 + v₀t + h₀ (g ≈ 10 м/с²). На рисунке 33 показан график зависимости h от t для случая, когда h₀ = 20, v₀ = 15. Найдите по графику: а) сколько времени тело поднималось вверх; б) сколько времени оно опускалось вниз; в) какой наибольшей высоты достигло тело; г) через сколько секунд тело упало на землю. [рисунок 33: парабола h(t), ветви вниз, начинается в точке (0; 20), вершина около (1,5; 31), пересекает ось t в точке 4]
При g = 10, h₀ = 20, v₀ = 15 получаем h = −5t² + 15t + 20. Это парабола с ветвями вниз; абсцисса вершины t = −15/(2 · (−5)) = 1,5.
а) Тело поднималось до вершины графика, т. е. 1,5 с.
б) Тело упало на землю при h = 0: −5t² + 15t + 20 = 0, t² − 3t − 4 = 0, t = 4 (отрицательный корень t = −1 не подходит). Опускалось 4 − 1,5 = 2,5 с.
в) Наибольшая высота — ордината вершины: h(1,5) = −5 · 2,25 + 15 · 1,5 + 20 = −11,25 + 22,5 + 20 = 31,25 м.
г) Тело упало на землю через 4 с (график пересекает ось t в точке 4).
Ответ: а) 1,5 с; б) 2,5 с; в) 31,25 м; г) 4 с.
а) Тело поднималось до вершины графика, т. е. 1,5 с.
б) Тело упало на землю при h = 0: −5t² + 15t + 20 = 0, t² − 3t − 4 = 0, t = 4 (отрицательный корень t = −1 не подходит). Опускалось 4 − 1,5 = 2,5 с.
в) Наибольшая высота — ордината вершины: h(1,5) = −5 · 2,25 + 15 · 1,5 + 20 = −11,25 + 22,5 + 20 = 31,25 м.
г) Тело упало на землю через 4 с (график пересекает ось t в точке 4).
Ответ: а) 1,5 с; б) 2,5 с; в) 31,25 м; г) 4 с.
150. Квадратичная функция задана формулой: а) y = x² − 4x + 7; б) y = −2x² − 5x − 2. Найдите координаты вершины параболы. Наметив на координатной плоскости вершину параболы и её ось симметрии, изобразите схематически график.
Абсцисса вершины m = −b/(2a), ордината n — значение функции при x = m.
а) a = 1, b = −4, c = 7. m = 4/2 = 2, n = 2² − 4 · 2 + 7 = 3. Вершина (2; 3), ось симметрии x = 2, ветви вверх. Дискриминант 16 − 28 < 0, поэтому график ось x не пересекает; с осью y он пересекается в точке (0; 7) (симметричная ей точка (4; 7)).
б) a = −2, b = −5, c = −2. m = −(−5)/(2 · (−2)) = −1,25, n = −2 · 1,5625 + 5 · 1,25 − 2 = −3,125 + 6,25 − 2 = 1,125. Вершина (−1,25; 1,125), ось x = −1,25, ветви вниз. Нули: 2x² + 5x + 2 = 0, x = −2 и x = −0,5. С осью y: (0; −2).
Ответ: а) (2; 3); б) (−1,25; 1,125). Вершины на рисунке — красные точки.
а) a = 1, b = −4, c = 7. m = 4/2 = 2, n = 2² − 4 · 2 + 7 = 3. Вершина (2; 3), ось симметрии x = 2, ветви вверх. Дискриминант 16 − 28 < 0, поэтому график ось x не пересекает; с осью y он пересекается в точке (0; 7) (симметричная ей точка (4; 7)).
б) a = −2, b = −5, c = −2. m = −(−5)/(2 · (−2)) = −1,25, n = −2 · 1,5625 + 5 · 1,25 − 2 = −3,125 + 6,25 − 2 = 1,125. Вершина (−1,25; 1,125), ось x = −1,25, ветви вниз. Нули: 2x² + 5x + 2 = 0, x = −2 и x = −0,5. С осью y: (0; −2).
Ответ: а) (2; 3); б) (−1,25; 1,125). Вершины на рисунке — красные точки.
151. Постройте график функции y = −x² + 2x + 8 и найдите, используя график: а) значения функции при x = 2,5; −0,5; −3; б) значения аргумента, при которых y = 6; 0; −2; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.
Парабола, a = −1 < 0 — ветви вниз. Вершина: m = −2/(2 · (−1)) = 1, n = −1 + 2 + 8 = 9, т. е. (1; 9); ось симметрии x = 1. С осью y: (0; 8). Нули: x² − 2x − 8 = 0, x = −2; 4.
Таблица: x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5; y = −7, 0, 5, 8, 9, 8, 5, 0, −7. По точкам строим график (рисунок).
а) y(2,5) = −6,25 + 5 + 8 = 6,75; y(−0,5) = −0,25 − 1 + 8 = 6,75; y(−3) = −9 − 6 + 8 = −7.
б) y = 6: −x² + 2x + 2 = 0, x² − 2x − 2 = 0, x = 1 ± √3 (≈ −0,7 и 2,7). y = 0: x = −2 и x = 4. y = −2: x² − 2x − 10 = 0, x = 1 ± √11 (≈ −2,3 и 4,3).
в) Нули: −2 и 4. y > 0 при −2 < x < 4; y < 0 при x < −2 и при x > 4.
г) Функция возрастает на промежутке (−∞; 1], убывает на [1; +∞). Наибольшее значение 9, поэтому множество значений (−∞; 9].
Таблица: x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5; y = −7, 0, 5, 8, 9, 8, 5, 0, −7. По точкам строим график (рисунок).
а) y(2,5) = −6,25 + 5 + 8 = 6,75; y(−0,5) = −0,25 − 1 + 8 = 6,75; y(−3) = −9 − 6 + 8 = −7.
б) y = 6: −x² + 2x + 2 = 0, x² − 2x − 2 = 0, x = 1 ± √3 (≈ −0,7 и 2,7). y = 0: x = −2 и x = 4. y = −2: x² − 2x − 10 = 0, x = 1 ± √11 (≈ −2,3 и 4,3).
в) Нули: −2 и 4. y > 0 при −2 < x < 4; y < 0 при x < −2 и при x > 4.
г) Функция возрастает на промежутке (−∞; 1], убывает на [1; +∞). Наибольшее значение 9, поэтому множество значений (−∞; 9].
152. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график: а) значения y при x = −2,3; −0,5; 1,2; б) значения x, при которых y = −4; −1; 1,7; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.
a = 2 > 0 — ветви вверх. Вершина: m = −8/(2 · 2) = −2, n = 8 − 16 + 2 = −6, т. е. (−2; −6); ось x = −2. С осью y: (0; 2). Таблица: x = −4, −3, −2, −1, 0; y = 2, −4, −6, −4, 2 (точки симметричны относительно оси x = −2). Строим график (рисунок).
а) y(−2,3) = 2 · 5,29 − 18,4 + 2 = −5,82; y(−0,5) = 0,5 − 4 + 2 = −1,5; y(1,2) = 2 · 1,44 + 9,6 + 2 = 14,48.
б) y = −4: 2x² + 8x + 6 = 0, x² + 4x + 3 = 0, x = −3 или x = −1. y = −1: 2x² + 8x + 3 = 0, x = −2 ± √10/2 (≈ −3,6 и −0,4). y = 1,7: 2x² + 8x + 0,3 = 0, x = −2 ± √3,85 (≈ −4,0 и −0,04).
в) Нули: 2x² + 8x + 2 = 0, x² + 4x + 1 = 0, x = −2 ± √3 (≈ −3,7 и −0,3). y > 0 при x < −2 − √3 и при x > −2 + √3; y < 0 при −2 − √3 < x < −2 + √3.
г) Функция убывает на (−∞; −2], возрастает на [−2; +∞). Наименьшее значение −6 (при x = −2).
а) y(−2,3) = 2 · 5,29 − 18,4 + 2 = −5,82; y(−0,5) = 0,5 − 4 + 2 = −1,5; y(1,2) = 2 · 1,44 + 9,6 + 2 = 14,48.
б) y = −4: 2x² + 8x + 6 = 0, x² + 4x + 3 = 0, x = −3 или x = −1. y = −1: 2x² + 8x + 3 = 0, x = −2 ± √10/2 (≈ −3,6 и −0,4). y = 1,7: 2x² + 8x + 0,3 = 0, x = −2 ± √3,85 (≈ −4,0 и −0,04).
в) Нули: 2x² + 8x + 2 = 0, x² + 4x + 1 = 0, x = −2 ± √3 (≈ −3,7 и −0,3). y > 0 при x < −2 − √3 и при x > −2 + √3; y < 0 при −2 − √3 < x < −2 + √3.
г) Функция убывает на (−∞; −2], возрастает на [−2; +∞). Наименьшее значение −6 (при x = −2).