Глава II. §4. п.11 Построение графика квадратичной функции — с. 60
153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) y = 1/3 x² − 4x + 4; б) y = −1/4 x² + x − 1; в) y = x² + 3x.
а) a = 1/3 > 0, ветви вверх. m = 4/(2/3) = 6, n = 12 − 24 + 4 = −8; вершина (6; −8), ось x = 6. С осью y: (0; 4), симметричная точка (12; 4). Нули: x² − 12x + 12 = 0, x = 6 ± 2√6 (≈ 1,1 и 10,9).
Свойства: область определения — все числа; множество значений [−8; +∞); y > 0 при x < 6 − 2√6 и x > 6 + 2√6, y < 0 между нулями; убывает на (−∞; 6], возрастает на [6; +∞); наименьшее значение −8, наибольшего нет.
б) a = −1/4 < 0, ветви вниз. m = −1/(2 · (−1/4)) = 2, n = −1 + 2 − 1 = 0; вершина (2; 0). Заметим, что y = −1/4 (x − 2)². С осью y: (0; −1), симметричная точка (4; −1); точки (−2; −4), (6; −4).
Свойства: область определения — все числа; множество значений (−∞; 0]; единственный нуль x = 2 (график касается оси x); y < 0 при x ≠ 2; возрастает на (−∞; 2], убывает на [2; +∞); наибольшее значение 0, наименьшего нет.
в) a = 1 > 0, ветви вверх. m = −3/2 = −1,5, n = 2,25 − 4,5 = −2,25; вершина (−1,5; −2,25). Нули: x(x + 3) = 0, x = 0 и x = −3.
Свойства: область определения — все числа; множество значений [−2,25; +∞); y > 0 при x < −3 и x > 0, y < 0 при −3 < x < 0; убывает на (−∞; −1,5], возрастает на [−1,5; +∞); наименьшее значение −2,25.
Свойства: область определения — все числа; множество значений [−8; +∞); y > 0 при x < 6 − 2√6 и x > 6 + 2√6, y < 0 между нулями; убывает на (−∞; 6], возрастает на [6; +∞); наименьшее значение −8, наибольшего нет.
б) a = −1/4 < 0, ветви вниз. m = −1/(2 · (−1/4)) = 2, n = −1 + 2 − 1 = 0; вершина (2; 0). Заметим, что y = −1/4 (x − 2)². С осью y: (0; −1), симметричная точка (4; −1); точки (−2; −4), (6; −4).
Свойства: область определения — все числа; множество значений (−∞; 0]; единственный нуль x = 2 (график касается оси x); y < 0 при x ≠ 2; возрастает на (−∞; 2], убывает на [2; +∞); наибольшее значение 0, наименьшего нет.
в) a = 1 > 0, ветви вверх. m = −3/2 = −1,5, n = 2,25 − 4,5 = −2,25; вершина (−1,5; −2,25). Нули: x(x + 3) = 0, x = 0 и x = −3.
Свойства: область определения — все числа; множество значений [−2,25; +∞); y > 0 при x < −3 и x > 0, y < 0 при −3 < x < 0; убывает на (−∞; −1,5], возрастает на [−1,5; +∞); наименьшее значение −2,25.
154. Постройте график функции: а) y = −1/2 x² + 5; б) y = x² − 4x; в) y = −x² + 6x − 9.
а) Ветви вниз, вершина (0; 5), ось — ось y. Нули: x² = 10, x = ±√10 (≈ ±3,2). Точки: (±1; 4,5), (±2; 3), (±3; 0,5), (±4; −3).
б) Ветви вверх. m = 2, n = 4 − 8 = −4; вершина (2; −4). Нули: x(x − 4) = 0, x = 0 и 4. Точки: (1; −3), (3; −3), (−1; 5), (5; 5).
в) y = −(x − 3)²: ветви вниз, вершина (3; 0) лежит на оси x (график касается её). Точки: (2; −1), (4; −1), (1; −4), (5; −4), (0; −9), (6; −9).
б) Ветви вверх. m = 2, n = 4 − 8 = −4; вершина (2; −4). Нули: x(x − 4) = 0, x = 0 и 4. Точки: (1; −3), (3; −3), (−1; 5), (5; 5).
в) y = −(x − 3)²: ветви вниз, вершина (3; 0) лежит на оси x (график касается её). Точки: (2; −1), (4; −1), (1; −4), (5; −4), (0; −9), (6; −9).
155. Постройте график функции: а) y = 0,5x² − 2; б) y = x² − 4x + 4; в) y = −x² + 2x.
а) Ветви вверх, вершина (0; −2). Нули: x² = 4, x = ±2. Точки: (±1; −1,5), (±3; 2,5), (±4; 6).
б) y = (x − 2)²: ветви вверх, вершина (2; 0) на оси x. Точки: (1; 1), (3; 1), (0; 4), (4; 4), (−1; 9), (5; 9).
в) Ветви вниз. m = 1, n = −1 + 2 = 1; вершина (1; 1). Нули: x(2 − x) = 0, x = 0 и 2. Точки: (−1; −3), (3; −3), (−2; −8), (4; −8).
б) y = (x − 2)²: ветви вверх, вершина (2; 0) на оси x. Точки: (1; 1), (3; 1), (0; 4), (4; 4), (−1; 9), (5; 9).
в) Ветви вниз. m = 1, n = −1 + 2 = 1; вершина (1; 1). Нули: x(2 − x) = 0, x = 0 и 2. Точки: (−1; −3), (3; −3), (−2; −8), (4; −8).
156. Постройте график функции: а) y = (x − 2)(x + 4); б) y = −x(x + 5).
а) Раскроем скобки: y = x² + 2x − 8. Ветви вверх. Нули (из формулы): x = 2 и x = −4. Вершина лежит посередине между нулями: m = (2 + (−4))/2 = −1, n = (−1 − 2)(−1 + 4) = −9; вершина (−1; −9). С осью y: (0; −8). Точки: (1; −5), (−3; −5), (3; 7), (−5; 7).
б) y = −x² − 5x. Ветви вниз. Нули: x = 0 и x = −5. Вершина: m = (0 − 5)/2 = −2,5, n = −(−2,5)(−2,5 + 5) = 6,25; вершина (−2,5; 6,25). Точки: (−1; 4), (−4; 4), (1; −6), (−6; −6).
б) y = −x² − 5x. Ветви вниз. Нули: x = 0 и x = −5. Вершина: m = (0 − 5)/2 = −2,5, n = −(−2,5)(−2,5 + 5) = 6,25; вершина (−2,5; 6,25). Точки: (−1; 4), (−4; 4), (1; −6), (−6; −6).
157. Найдите: а) наименьшее значение функции y = x² − 4x − 4; б) наибольшее значение функции y = −x² − 4x + 5; в) наименьшее значение функции y = x² − 6x − 6; г) наибольшее значение функции y = −x² − 3x + 2.
Экстремальное значение квадратичной функции достигается в вершине параболы: m = −b/(2a), значение — n = y(m). При a > 0 это наименьшее значение, при a < 0 — наибольшее.
а) m = 4/2 = 2, n = 4 − 8 − 4 = −8. Наименьшее значение −8.
б) m = −(−4)/(2 · (−1)) = −2, n = −4 + 8 + 5 = 9. Наибольшее значение 9.
в) m = 6/2 = 3, n = 9 − 18 − 6 = −15. Наименьшее значение −15.
г) m = −(−3)/(2 · (−1)) = −1,5, n = −2,25 + 4,5 + 2 = 4,25. Наибольшее значение 4,25.
а) m = 4/2 = 2, n = 4 − 8 − 4 = −8. Наименьшее значение −8.
б) m = −(−4)/(2 · (−1)) = −2, n = −4 + 8 + 5 = 9. Наибольшее значение 9.
в) m = 6/2 = 3, n = 9 − 18 − 6 = −15. Наименьшее значение −15.
г) m = −(−3)/(2 · (−1)) = −1,5, n = −2,25 + 4,5 + 2 = 4,25. Наибольшее значение 4,25.
158. Выясните, график какой из функций y = x² + 6x, y = 1/2 x² − 3x, y = −x² − 6 изображён на рисунке 34. [рисунок 34: парабола, ветви вверх, проходит через начало координат и точку (6; 0), вершина (3; −4,5)]
На рисунке ветви параболы направлены вверх, значит a > 0; поэтому функция y = −x² − 6 (a = −1) не подходит.
График проходит через начало координат и пересекает ось x в точке 6; вершина лежит правее оси y, в точке (3; −4,5).
У y = x² + 6x абсцисса вершины m = −3 (левее оси y), нули −6 и 0 — не подходит.
У y = 1/2 x² − 3x: m = 3/(2 · 1/2) = 3, n = 4,5 − 9 = −4,5; нули: x(x/2 − 3) = 0, x = 0 и x = 6 — всё совпадает с рисунком.
Ответ: y = 1/2 x² − 3x.
График проходит через начало координат и пересекает ось x в точке 6; вершина лежит правее оси y, в точке (3; −4,5).
У y = x² + 6x абсцисса вершины m = −3 (левее оси y), нули −6 и 0 — не подходит.
У y = 1/2 x² − 3x: m = 3/(2 · 1/2) = 3, n = 4,5 − 9 = −4,5; нули: x(x/2 − 3) = 0, x = 0 и x = 6 — всё совпадает с рисунком.
Ответ: y = 1/2 x² − 3x.
159. Найдите значение b, при котором прямая y = 6x + b касается параболы y = x² + 8.
Прямая касается параболы, если они имеют ровно одну общую точку, т. е. уравнение x² + 8 = 6x + b имеет один корень.
x² − 6x + 8 − b = 0. Дискриминант D = 36 − 4(8 − b) = 4 + 4b. D = 0 при b = −1.
Проверка: при b = −1 уравнение x² − 6x + 9 = 0, x = 3 — единственная точка касания (3; 17).
Ответ: b = −1.
x² − 6x + 8 − b = 0. Дискриминант D = 36 − 4(8 − b) = 4 + 4b. D = 0 при b = −1.
Проверка: при b = −1 уравнение x² − 6x + 9 = 0, x = 3 — единственная точка касания (3; 17).
Ответ: b = −1.
160. При каком значении n графики функций y = 2x² − 5x + 6 и y = x² − 7x + n имеют только одну общую точку?
Найдите координаты этой точки.
Абсциссы общих точек — корни уравнения 2x² − 5x + 6 = x² − 7x + n, т. е. x² + 2x + 6 − n = 0.
Одна общая точка — один корень: D = 4 − 4(6 − n) = 4n − 20 = 0, n = 5.
При n = 5: x² + 2x + 1 = 0, x = −1. Ордината: y = 2 · 1 + 5 + 6 = 13 (проверка по второй функции: 1 + 7 + 5 = 13).
Ответ: n = 5; общая точка (−1; 13).
Одна общая точка — один корень: D = 4 − 4(6 − n) = 4n − 20 = 0, n = 5.
При n = 5: x² + 2x + 1 = 0, x = −1. Ордината: y = 2 · 1 + 5 + 6 = 13 (проверка по второй функции: 1 + 7 + 5 = 13).
Ответ: n = 5; общая точка (−1; 13).
161. Функции, графики которых изображены на рисунке 35, задаются уравнениями вида y = ax² + bx + c. Найдите значения коэффициентов a, b и c в каждом случае. [рисунок 35: четыре параболы на клетчатой плоскости: а) ветви вниз, вершина (0; 5); б) ветви вверх, вершина (2; −5), проходит через (0; −3); в) ветви вверх, вершина (−3; 0), проходит через (−2; 2) и (−4; 2); г) ветви вниз, вершина (−2; 5), проходит через точку (0; 3)]
Читаем с рисунка вершину (m; n) и ещё одну точку, затем записываем y = a(x − m)² + n и раскрываем скобки: b = −2am, c = am² + n.
а) Вершина (0; 5): m = 0, n = 5, поэтому b = 0, c = 5. Парабола проходит через точку (2; 4): 4 = 4a + 5, a = −1/4.
б) Вершина (2; −5), точка (0; −3): −3 = 4a − 5, a = 1/2. Тогда y = 1/2 (x − 2)² − 5 = 1/2 x² − 2x − 3: a = 1/2, b = −2, c = −3.
в) Вершина (−3; 0), точка (−2; 2): 2 = a · 1, a = 2. y = 2(x + 3)² = 2x² + 12x + 18: a = 2, b = 12, c = 18.
г) Вершина (−2; 5), график пересекает ось y в точке (0; 3): 3 = a · 4 + 5, a = −1/2. y = −1/2 (x + 2)² + 5 = −1/2 x² − 2x + 3: a = −1/2, b = −2, c = 3.
Ответ: а) a = −1/4, b = 0, c = 5; б) a = 1/2, b = −2, c = −3; в) a = 2, b = 12, c = 18; г) a = −1/2, b = −2, c = 3.
Оговорка: значения считаны с рисунка; в ответах учебника приведены только два случая (a = −1/4, b = 0, c = 5 и a = 2, b = 12, c = 18), которые с моим чтением совпадают.
а) Вершина (0; 5): m = 0, n = 5, поэтому b = 0, c = 5. Парабола проходит через точку (2; 4): 4 = 4a + 5, a = −1/4.
б) Вершина (2; −5), точка (0; −3): −3 = 4a − 5, a = 1/2. Тогда y = 1/2 (x − 2)² − 5 = 1/2 x² − 2x − 3: a = 1/2, b = −2, c = −3.
в) Вершина (−3; 0), точка (−2; 2): 2 = a · 1, a = 2. y = 2(x + 3)² = 2x² + 12x + 18: a = 2, b = 12, c = 18.
г) Вершина (−2; 5), график пересекает ось y в точке (0; 3): 3 = a · 4 + 5, a = −1/2. y = −1/2 (x + 2)² + 5 = −1/2 x² − 2x + 3: a = −1/2, b = −2, c = 3.
Ответ: а) a = −1/4, b = 0, c = 5; б) a = 1/2, b = −2, c = −3; в) a = 2, b = 12, c = 18; г) a = −1/2, b = −2, c = 3.
Оговорка: значения считаны с рисунка; в ответах учебника приведены только два случая (a = −1/4, b = 0, c = 5 и a = 2, b = 12, c = 18), которые с моим чтением совпадают.