Глава II. §4. п.10 Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)² — с. 55
140. Используя шаблон параболы y = x², постройте график функции: а) y = (x − 2)² + 3; б) y = −(x − 3)² + 5.
а) Шаблон y = x² сдвигаем на 2 вправо и на 3 вверх. Вершина (2; 3), ось симметрии x = 2, ветви вверх. Точки шаблона (±1; 1), (±2; 4) переходят в (1; 4), (3; 4), (0; 7), (4; 7).
б) Шаблон отражаем относительно оси x (y = −x²), затем сдвигаем на 3 вправо и на 5 вверх. Вершина (3; 5), ось x = 3, ветви вниз. Точки (±1; −1), (±2; −4) переходят в (2; 4), (4; 4), (1; 1), (5; 1).
На рисунке вершины — чёрные точки, найденные точки — красные.
б) Шаблон отражаем относительно оси x (y = −x²), затем сдвигаем на 3 вправо и на 5 вверх. Вершина (3; 5), ось x = 3, ветви вниз. Точки (±1; −1), (±2; −4) переходят в (2; 4), (4; 4), (1; 1), (5; 1).
На рисунке вершины — чёрные точки, найденные точки — красные.
141. С помощью шаблона параболы y = x² постройте график функции: а) y = (x + 3)² − 4; б) y = −(x + 4)² − 2.
а) Шаблон сдвигаем на 3 влево и на 4 вниз. Вершина (−3; −4), ось x = −3, ветви вверх. Точки: (−2; −3), (−4; −3), (−1; 0), (−5; 0), (0; 5). Нули функции: −5 и −1.
б) Шаблон отражаем относительно оси x, сдвигаем на 4 влево и на 2 вниз. Вершина (−4; −2), ось x = −4, ветви вниз. Точки: (−3; −3), (−5; −3), (−2; −6), (−6; −6). Так как вершина ниже оси x, а ветви вниз, график ось x не пересекает.
б) Шаблон отражаем относительно оси x, сдвигаем на 4 влево и на 2 вниз. Вершина (−4; −2), ось x = −4, ветви вниз. Точки: (−3; −3), (−5; −3), (−2; −6), (−6; −6). Так как вершина ниже оси x, а ветви вниз, график ось x не пересекает.
142. Найдите нули функции (если они существуют): а) y = 12x² − 3; б) y = 6x² + 4; в) y = −x² − 4.
Нули функции — значения x, при которых y = 0.
а) 12x² − 3 = 0, x² = 1/4, x = −1/2 или x = 1/2.
б) 6x² + 4 = 0, x² = −2/3 < 0 — корней нет, нулей нет.
в) −x² − 4 = 0, x² = −4 < 0 — нулей нет.
а) 12x² − 3 = 0, x² = 1/4, x = −1/2 или x = 1/2.
б) 6x² + 4 = 0, x² = −2/3 < 0 — корней нет, нулей нет.
в) −x² − 4 = 0, x² = −4 < 0 — нулей нет.
143. При каких значениях a функция y = ax² − 5 имеет нули?
Нули — решения уравнения ax² − 5 = 0, т. е. ax² = 5.
При a = 0 получаем 0 = 5 — решений нет.
При a ≠ 0: x² = 5/a. Это уравнение имеет решения, только если 5/a > 0, т. е. при a > 0; тогда x = ±√(5/a). При a < 0 правая часть отрицательна — решений нет (при a < 0 имеем ax² − 5 ≤ −5 < 0).
Ответ: при a > 0.
Оговорка: в ответах учебника указано «a < 0»; проверка (например, a = −1: −x² − 5 < 0 при всех x) показывает, что нули есть при a > 0.
При a = 0 получаем 0 = 5 — решений нет.
При a ≠ 0: x² = 5/a. Это уравнение имеет решения, только если 5/a > 0, т. е. при a > 0; тогда x = ±√(5/a). При a < 0 правая часть отрицательна — решений нет (при a < 0 имеем ax² − 5 ≤ −5 < 0).
Ответ: при a > 0.
Оговорка: в ответах учебника указано «a < 0»; проверка (например, a = −1: −x² − 5 < 0 при всех x) показывает, что нули есть при a > 0.
144. На рисунке 27 изображены графики функций: а) y = −1/3 (x + 4)²; б) y = 1/3 (x − 4)² − 1; в) y = 1/3 x² + 4; г) y = −1/3 x² − 2. Для каждого графика укажите соответствующую формулу. [рисунок 27: на одной координатной плоскости четыре параболы: две чёрные с вершинами на оси y — верхняя (ветви вверх) и нижняя (ветви вниз), две синие — одна с вершиной на оси x слева от оси y (ветви вниз), другая с вершиной ниже оси x справа от оси y (ветви вверх)]
Вершина графика y = a(x − m)² + n — точка (m; n), ветви вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
а) y = −1/3 (x + 4)²: вершина (−4; 0), ветви вниз — синяя парабола слева от оси y, касающаяся оси x в точке −4.
б) y = 1/3 (x − 4)² − 1: вершина (4; −1), ветви вверх — синяя парабола справа с вершиной чуть ниже оси x.
в) y = 1/3 x² + 4: вершина (0; 4), ветви вверх — верхняя чёрная парабола.
г) y = −1/3 x² − 2: вершина (0; −2), ветви вниз — нижняя чёрная парабола.
Проверка: синяя парабола б) пересекает ось y в точке 1/3 · 16 − 1 = 4 1/3 (рядом с вершиной верхней чёрной, т. е. около 4), что согласуется с рисунком.
а) y = −1/3 (x + 4)²: вершина (−4; 0), ветви вниз — синяя парабола слева от оси y, касающаяся оси x в точке −4.
б) y = 1/3 (x − 4)² − 1: вершина (4; −1), ветви вверх — синяя парабола справа с вершиной чуть ниже оси x.
в) y = 1/3 x² + 4: вершина (0; 4), ветви вверх — верхняя чёрная парабола.
г) y = −1/3 x² − 2: вершина (0; −2), ветви вниз — нижняя чёрная парабола.
Проверка: синяя парабола б) пересекает ось y в точке 1/3 · 16 − 1 = 4 1/3 (рядом с вершиной верхней чёрной, т. е. около 4), что согласуется с рисунком.
145. На рисунке 28 изображён график функции f(x) = a(x + b)². Найдите f(38). [рисунок 28: парабола с вершиной в точке (−2; 0) на оси x, ветви вверх, проходит через точки (0; 1), (2; 4), (−4; 1)]
Вершина параболы f(x) = a(x + b)² — точка (−b; 0). По рисунку вершина (−2; 0), значит −b = −2, b = 2.
Парабола проходит через точку (0; 1): 1 = a(0 + 2)² = 4a, откуда a = 1/4. (Проверка: точка (2; 4): 1/4 · 16 = 4 — верно.)
Итак, f(x) = 1/4 (x + 2)². Тогда f(38) = 1/4 · 40² = 1600/4 = 400.
Ответ: 400.
Парабола проходит через точку (0; 1): 1 = a(0 + 2)² = 4a, откуда a = 1/4. (Проверка: точка (2; 4): 1/4 · 16 = 4 — верно.)
Итак, f(x) = 1/4 (x + 2)². Тогда f(38) = 1/4 · 40² = 1600/4 = 400.
Ответ: 400.
146. На рисунке 29 изображён график функции f(x) = ax² − b. Найдите, при каком значении x значение функции равно 68. [рисунок 29: парабола с вершиной в точке (0; −4) на оси y, ветви вверх, проходит через точки (−2; −2), (2; −2)]
Вершина параболы f(x) = ax² − b — точка (0; −b). По рисунку вершина (0; −4), значит b = 4.
Парабола проходит через точку (4; 2): 2 = a · 4² − 4, откуда 16a = 6, a = 3/8. Итак, f(x) = 3x²/8 − 4.
Решаем уравнение f(x) = 68: 3x²/8 − 4 = 68, 3x²/8 = 72, x² = 192, x = −8√3 или x = 8√3 (≈ ±13,86).
Ответ: при x = −8√3 и x = 8√3.
Оговорка: коэффициенты считаны с рисунка (вершина (0; −4) и точки (±4; 2)); в ответах учебника значение не приведено.
Парабола проходит через точку (4; 2): 2 = a · 4² − 4, откуда 16a = 6, a = 3/8. Итак, f(x) = 3x²/8 − 4.
Решаем уравнение f(x) = 68: 3x²/8 − 4 = 68, 3x²/8 = 72, x² = 192, x = −8√3 или x = 8√3 (≈ ±13,86).
Ответ: при x = −8√3 и x = 8√3.
Оговорка: коэффициенты считаны с рисунка (вершина (0; −4) и точки (±4; 2)); в ответах учебника значение не приведено.