Глава II. §4. п.10 Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)² — с. 54
134. Изобразите схематически график каждой функции (отметьте вершину параболы и направление её ветвей): а) y = 1/2 x², y = 1/2 x² + 4, y = 1/2 x² − 3; б) y = −1/3 x², y = −1/3 x² + 2, y = −1/3 x² − 1; в) y = 1/5 x², y = 1/5 (x − 3)², y = 1/5 (x + 3)².
Все графики — параболы, получаемые из графика y = ax² сдвигами: график y = ax² + n сдвигается вдоль оси y на n, график y = a(x − m)² — вдоль оси x на m.
а) a = 1/2 > 0, ветви вверх. y = x²/2 — вершина (0; 0); y = x²/2 + 4 — сдвиг на 4 вверх, вершина (0; 4); y = x²/2 − 3 — сдвиг на 3 вниз, вершина (0; −3). Ось симметрии у всех — ось y.
б) a = −1/3 < 0, ветви вниз. y = −x²/3 — вершина (0; 0); y = −x²/3 + 2 — вершина (0; 2); y = −x²/3 − 1 — вершина (0; −1).
в) a = 1/5 > 0, ветви вверх. y = x²/5 — вершина (0; 0); y = (x − 3)²/5 — сдвиг на 3 вправо, вершина (3; 0), ось симметрии x = 3; y = (x + 3)²/5 — сдвиг на 3 влево, вершина (−3; 0), ось симметрии x = −3.
На рисунке вершины отмечены точками, разные параболы — разными цветами.
а) a = 1/2 > 0, ветви вверх. y = x²/2 — вершина (0; 0); y = x²/2 + 4 — сдвиг на 4 вверх, вершина (0; 4); y = x²/2 − 3 — сдвиг на 3 вниз, вершина (0; −3). Ось симметрии у всех — ось y.
б) a = −1/3 < 0, ветви вниз. y = −x²/3 — вершина (0; 0); y = −x²/3 + 2 — вершина (0; 2); y = −x²/3 − 1 — вершина (0; −1).
в) a = 1/5 > 0, ветви вверх. y = x²/5 — вершина (0; 0); y = (x − 3)²/5 — сдвиг на 3 вправо, вершина (3; 0), ось симметрии x = 3; y = (x + 3)²/5 — сдвиг на 3 влево, вершина (−3; 0), ось симметрии x = −3.
На рисунке вершины отмечены точками, разные параболы — разными цветами.
135. С помощью шаблона параболы y = x² постройте график функции: а) y = x² − 4; б) y = −x² + 3; в) y = (x − 5)²; г) y = (x + 3)².
Шаблон — парабола y = x² с вершиной (0; 0), проходящая через точки (±1; 1), (±2; 4), (±3; 9).
а) y = x² − 4: сдвигаем шаблон на 4 единицы вниз вдоль оси y. Вершина (0; −4); точки (±1; −3), (±2; 0), (±3; 5). Нули функции: −2 и 2.
б) y = −x² + 3: график y = −x² симметричен шаблону относительно оси x (ветви вниз); сдвигаем его на 3 вверх. Вершина (0; 3); точки (±1; 2), (±2; −1). Нули: ±√3.
в) y = (x − 5)²: сдвигаем шаблон на 5 единиц вправо вдоль оси x. Вершина (5; 0); точки (4; 1), (6; 1), (3; 4), (7; 4).
г) y = (x + 3)²: сдвигаем шаблон на 3 единицы влево. Вершина (−3; 0); точки (−2; 1), (−4; 1), (−1; 4), (−5; 4).
Вершины на рисунке отмечены точками.
а) y = x² − 4: сдвигаем шаблон на 4 единицы вниз вдоль оси y. Вершина (0; −4); точки (±1; −3), (±2; 0), (±3; 5). Нули функции: −2 и 2.
б) y = −x² + 3: график y = −x² симметричен шаблону относительно оси x (ветви вниз); сдвигаем его на 3 вверх. Вершина (0; 3); точки (±1; 2), (±2; −1). Нули: ±√3.
в) y = (x − 5)²: сдвигаем шаблон на 5 единиц вправо вдоль оси x. Вершина (5; 0); точки (4; 1), (6; 1), (3; 4), (7; 4).
г) y = (x + 3)²: сдвигаем шаблон на 3 единицы влево. Вершина (−3; 0); точки (−2; 1), (−4; 1), (−1; 4), (−5; 4).
Вершины на рисунке отмечены точками.
136. Используя шаблон параболы y = x², постройте график функции: а) y = x² + 2; б) y = −x² − 1; в) y = (x + 4)²; г) y = −(x − 3)².
а) y = x² + 2: шаблон сдвигаем на 2 вверх. Вершина (0; 2); точки (±1; 3), (±2; 6).
б) y = −x² − 1: отражаем шаблон относительно оси x и сдвигаем на 1 вниз. Вершина (0; −1), ветви вниз; точки (±1; −2), (±2; −5).
в) y = (x + 4)²: сдвигаем шаблон на 4 влево. Вершина (−4; 0); точки (−3; 1), (−5; 1), (−2; 4), (−6; 4).
г) y = −(x − 3)²: отражаем шаблон относительно оси x и сдвигаем на 3 вправо. Вершина (3; 0), ветви вниз; точки (2; −1), (4; −1), (1; −4), (5; −4).
б) y = −x² − 1: отражаем шаблон относительно оси x и сдвигаем на 1 вниз. Вершина (0; −1), ветви вниз; точки (±1; −2), (±2; −5).
в) y = (x + 4)²: сдвигаем шаблон на 4 влево. Вершина (−4; 0); точки (−3; 1), (−5; 1), (−2; 4), (−6; 4).
г) y = −(x − 3)²: отражаем шаблон относительно оси x и сдвигаем на 3 вправо. Вершина (3; 0), ветви вниз; точки (2; −1), (4; −1), (1; −4), (5; −4).
137. В каких координатных четвертях расположен график функции: а) y = 10x² + 5; б) y = −7x² − 3; в) y = −6x² + 8; г) y = (x − 4)²; д) y = −(x − 8)²; е) y = −3(x + 5)²?
Определяем знак y и положение вершины.
а) y = 10x² + 5 ≥ 5 > 0 при всех x, поэтому график лежит выше оси x, т. е. в I и II четвертях.
б) y = −7x² − 3 ≤ −3 < 0, график ниже оси x: в III и IV четвертях.
в) Вершина (0; 8), ветви вниз. y > 0 при x² < 4/3, т. е. при |x| < 2/√3 (точки обеих знаков x), y < 0 при больших |x|. График расположен во всех четырёх четвертях.
г) y = (x − 4)² ≥ 0, вершина (4; 0) лежит на оси x; при x ≠ 4 график выше оси x. Он находится в I четверти (x > 0) и во II четверти (x < 0).
д) y = −(x − 8)² ≤ 0, вершина (8; 0). При x < 0 график в III четверти, при x > 0 (x ≠ 8) — в IV четверти.
е) y = −3(x + 5)² ≤ 0, вершина (−5; 0). При x < 0 график в III четверти, при x > 0 — в IV четверти.
а) y = 10x² + 5 ≥ 5 > 0 при всех x, поэтому график лежит выше оси x, т. е. в I и II четвертях.
б) y = −7x² − 3 ≤ −3 < 0, график ниже оси x: в III и IV четвертях.
в) Вершина (0; 8), ветви вниз. y > 0 при x² < 4/3, т. е. при |x| < 2/√3 (точки обеих знаков x), y < 0 при больших |x|. График расположен во всех четырёх четвертях.
г) y = (x − 4)² ≥ 0, вершина (4; 0) лежит на оси x; при x ≠ 4 график выше оси x. Он находится в I четверти (x > 0) и во II четверти (x < 0).
д) y = −(x − 8)² ≤ 0, вершина (8; 0). При x < 0 график в III четверти, при x > 0 (x ≠ 8) — в IV четверти.
е) y = −3(x + 5)² ≤ 0, вершина (−5; 0). При x < 0 график в III четверти, при x > 0 — в IV четверти.
138. Изобразите схематически график функции: а) y = 1/2 (x − 2)² + 1; б) y = 1/2 (x + 3)² − 1; в) y = −4(x − 3)² + 5; г) y = −4(x + 2)² − 2.
График y = a(x − m)² + n — парабола y = ax², сдвинутая на m по оси x и на n по оси y; вершина (m; n), ось симметрии x = m.
а) a = 1/2 > 0, ветви вверх; m = 2, n = 1: вершина (2; 1), ось x = 2.
б) a = 1/2 > 0, ветви вверх; m = −3, n = −1: вершина (−3; −1), ось x = −3.
в) a = −4 < 0, ветви вниз (парабола «узкая»); m = 3, n = 5: вершина (3; 5), ось x = 3.
г) a = −4 < 0, ветви вниз; m = −2, n = −2: вершина (−2; −2), ось x = −2. Так как вершина лежит ниже оси x, а ветви направлены вниз, график не пересекает ось x.
а) a = 1/2 > 0, ветви вверх; m = 2, n = 1: вершина (2; 1), ось x = 2.
б) a = 1/2 > 0, ветви вверх; m = −3, n = −1: вершина (−3; −1), ось x = −3.
в) a = −4 < 0, ветви вниз (парабола «узкая»); m = 3, n = 5: вершина (3; 5), ось x = 3.
г) a = −4 < 0, ветви вниз; m = −2, n = −2: вершина (−2; −2), ось x = −2. Так как вершина лежит ниже оси x, а ветви направлены вниз, график не пересекает ось x.
139. Изобразите схематически график функции: а) y = 1/4 (x − 2)² − 3; б) y = −1/4 (x + 2)² + 3.
а) a = 1/4 > 0, ветви вверх; m = 2, n = −3. Вершина (2; −3), ось симметрии x = 2. С осью y: y(0) = 1/4 · 4 − 3 = −2, точка (0; −2). Нули: (x − 2)² = 12, x = 2 ± 2√3 (≈ −1,5 и 5,5).
б) a = −1/4 < 0, ветви вниз; m = −2, n = 3. Вершина (−2; 3), ось x = −2. С осью y: y(0) = −1/4 · 4 + 3 = 2, точка (0; 2). Нули: (x + 2)² = 12, x = −2 ± 2√3.
б) a = −1/4 < 0, ветви вниз; m = −2, n = 3. Вершина (−2; 3), ось x = −2. С осью y: y(0) = −1/4 · 4 + 3 = 2, точка (0; 2). Нули: (x + 2)² = 12, x = −2 ± 2√3.