Глава II. §4. п.9 Функция y = ax², её график и свойства — с. 48
118. Постройте график функции y = 1/4 x². Найдите:
а) значение y при x = −2,5; −1,5; 3,5;
б) значения x, при которых y = 5; 3; 2;
в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
а) значение y при x = −2,5; −1,5; 3,5;
б) значения x, при которых y = 5; 3; 2;
в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
Таблица значений: x = −4; −2; 0; 2; 4 → y = 4; 1; 0; 1; 4; дополнительно x = ±1 → y = 0,25; x = ±3 → y = 2,25. Строим точки и соединяем плавной линией (парабола, вершина O(0; 0), ветви вверх; рисунок).
а) y = x²/4: при x = −2,5: 6,25/4 = 1,5625 ≈ 1,56; при x = −1,5: 2,25/4 = 0,5625 ≈ 0,56; при x = 3,5: 12,25/4 = 3,0625 ≈ 3,06.
б) x²/4 = y, x = ±2√y. При y = 5: x = ±2√5 ≈ ±4,5; при y = 3: x = ±2√3 ≈ ±3,5; при y = 2: x = ±2√2 ≈ ±2,8.
в) Функция убывает на промежутке (−∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞).
Ответ: а) ≈ 1,56; ≈ 0,56; ≈ 3,06; б) ±4,5; ±3,5; ±2,8 (приближённо); в) убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞).
а) y = x²/4: при x = −2,5: 6,25/4 = 1,5625 ≈ 1,56; при x = −1,5: 2,25/4 = 0,5625 ≈ 0,56; при x = 3,5: 12,25/4 = 3,0625 ≈ 3,06.
б) x²/4 = y, x = ±2√y. При y = 5: x = ±2√5 ≈ ±4,5; при y = 3: x = ±2√3 ≈ ±3,5; при y = 2: x = ±2√2 ≈ ±2,8.
в) Функция убывает на промежутке (−∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞).
Ответ: а) ≈ 1,56; ≈ 0,56; ≈ 3,06; б) ±4,5; ±3,5; ±2,8 (приближённо); в) убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞).
119. Постройте график функции y = −2x² и найдите:
а) значение y при x = −1,5; 0,6; 1,5;
б) значения x, при которых y = −1; −3; −4,5;
в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
а) значение y при x = −1,5; 0,6; 1,5;
б) значения x, при которых y = −1; −3; −4,5;
в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
Таблица значений: x = −2; −1; 0; 1; 2 → y = −8; −2; 0; −2; −8; дополнительно x = ±0,5 → y = −0,5; x = ±1,5 → y = −4,5. Парабола с вершиной O(0; 0), ветви вниз (рисунок).
а) При x = −1,5: y = −2 · 2,25 = −4,5; при x = 0,6: y = −2 · 0,36 = −0,72; при x = 1,5: y = −4,5.
б) −2x² = y, x² = −y/2. При y = −1: x² = 0,5, x = ±√0,5 ≈ ±0,7; при y = −3: x² = 1,5, x = ±√1,5 ≈ ±1,2; при y = −4,5: x² = 2,25, x = ±1,5.
в) Функция возрастает на промежутке (−∞; 0] и убывает на промежутке [0; +∞).
Ответ: а) −4,5; −0,72; −4,5; б) ±0,7; ±1,2; ±1,5; в) возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞).
а) При x = −1,5: y = −2 · 2,25 = −4,5; при x = 0,6: y = −2 · 0,36 = −0,72; при x = 1,5: y = −4,5.
б) −2x² = y, x² = −y/2. При y = −1: x² = 0,5, x = ±√0,5 ≈ ±0,7; при y = −3: x² = 1,5, x = ±√1,5 ≈ ±1,2; при y = −4,5: x² = 2,25, x = ±1,5.
в) Функция возрастает на промежутке (−∞; 0] и убывает на промежутке [0; +∞).
Ответ: а) −4,5; −0,72; −4,5; б) ±0,7; ±1,2; ±1,5; в) возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞).
120. Постройте в одной системе координат графики функций y = x², y = 1,8x² и y = 1/3 x². Сравните значения этих функций при x = 0,5, x = 1 и x = 2.
Таблица значений (x = 0; ±0,5; ±1; ±2): y = x²: 0; 0,25; 1; 4. y = 1,8x²: 0; 0,45; 1,8; 7,2. y = 1/3 x²: 0; 0,083...; 0,333...; 1,333.... Графики — параболы с общей вершиной O(0; 0), ветвями вверх (рисунок): чем больше коэффициент a, тем «уже» парабола.
Сравнение:
при x = 0,5: 1/3 x² ≈ 0,08 < x² = 0,25 < 1,8x² = 0,45;
при x = 1: 1/3 x² ≈ 0,33 < x² = 1 < 1,8x² = 1,8;
при x = 2: 1/3 x² ≈ 1,33 < x² = 4 < 1,8x² = 7,2.
Ответ: при каждом из значений x наибольшее значение у функции y = 1,8x², наименьшее — у y = 1/3 x².
Сравнение:
при x = 0,5: 1/3 x² ≈ 0,08 < x² = 0,25 < 1,8x² = 0,45;
при x = 1: 1/3 x² ≈ 0,33 < x² = 1 < 1,8x² = 1,8;
при x = 2: 1/3 x² ≈ 1,33 < x² = 4 < 1,8x² = 7,2.
Ответ: при каждом из значений x наибольшее значение у функции y = 1,8x², наименьшее — у y = 1/3 x².
121. Постройте в одной системе координат графики функций y = 0,4x² и y = −0,4x². Какова область значений каждой из этих функций?
Таблица значений y = 0,4x²: x = 0; ±1; ±2; ±3; ±4 → y = 0; 0,4; 1,6; 3,6; 6,4. Для y = −0,4x² значения противоположны: 0; −0,4; −1,6; −3,6; −6,4. Графики симметричны относительно оси x (рисунок).
У y = 0,4x² значения неотрицательны (x² ≥ 0), наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет: E(y) = [0; +∞).
У y = −0,4x² значения неположительны, наибольшее значение 0 при x = 0, наименьшего нет: E(y) = (−∞; 0].
Ответ: для y = 0,4x² — [0; +∞); для y = −0,4x² — (−∞; 0].
У y = 0,4x² значения неотрицательны (x² ≥ 0), наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет: E(y) = [0; +∞).
У y = −0,4x² значения неположительны, наибольшее значение 0 при x = 0, наименьшего нет: E(y) = (−∞; 0].
Ответ: для y = 0,4x² — [0; +∞); для y = −0,4x² — (−∞; 0].
122. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции:
а) y = −1,5x²; б) y = 0,8x².
Перечислите свойства этой функции.
а) y = −1,5x²; б) y = 0,8x².
Перечислите свойства этой функции.
Графики обеих функций — параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии Oy (рисунок).
а) y = −1,5x²: a = −1,5 < 0, поэтому ветви направлены вниз, парабола расположена в нижней полуплоскости (y ≤ 0); график получается из y = x² симметрией относительно оси x и растяжением от оси x в 1,5 раза.
Свойства: 1. D(y) = (−∞; +∞); 2) y = 0 только при x = 0, график проходит через начало координат; 3) при x ≠ 0 значение y < 0; 4) функция чётная, график симметричен относительно оси y; 5) возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); 6) наибольшее значение 0 при x = 0, наименьшего нет; 7) E(y) = (−∞; 0].
б) y = 0,8x²: a = 0,8 > 0, ветви вверх, парабола расположена в верхней полуплоскости (y ≥ 0); график получается из y = x² сжатием к оси x в 1/0,8 = 1,25 раза.
Свойства: 1. D(y) = (−∞; +∞); 2) y = 0 только при x = 0; 3) при x ≠ 0 значение y > 0; 4) функция чётная; 5) убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); 6) наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; 7. E(y) = [0; +∞).
а) y = −1,5x²: a = −1,5 < 0, поэтому ветви направлены вниз, парабола расположена в нижней полуплоскости (y ≤ 0); график получается из y = x² симметрией относительно оси x и растяжением от оси x в 1,5 раза.
Свойства: 1. D(y) = (−∞; +∞); 2) y = 0 только при x = 0, график проходит через начало координат; 3) при x ≠ 0 значение y < 0; 4) функция чётная, график симметричен относительно оси y; 5) возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); 6) наибольшее значение 0 при x = 0, наименьшего нет; 7) E(y) = (−∞; 0].
б) y = 0,8x²: a = 0,8 > 0, ветви вверх, парабола расположена в верхней полуплоскости (y ≥ 0); график получается из y = x² сжатием к оси x в 1/0,8 = 1,25 раза.
Свойства: 1. D(y) = (−∞; +∞); 2) y = 0 только при x = 0; 3) при x ≠ 0 значение y > 0; 4) функция чётная; 5) убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); 6) наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; 7. E(y) = [0; +∞).
123. Изобразите схематически график и перечислите свойства функций:
а) y = 0,2x²; б) y = −10x².
а) y = 0,2x²; б) y = −10x².
Графики — параболы с вершиной O(0; 0) и осью симметрии Oy (рисунок).
а) y = 0,2x²: a = 0,2 > 0, ветви вверх; так как 0 < a < 1, парабола «шире» y = x² (сжатие к оси x в 5 раз).
Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [0; +∞); y = 0 при x = 0, y > 0 при x ≠ 0; функция чётная; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет.
б) y = −10x²: a = −10 < 0, ветви вниз; |a| > 1, поэтому парабола очень «узкая» (растяжение от оси x в 10 раз, затем симметрия относительно оси x).
Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 0]; y = 0 при x = 0, y < 0 при x ≠ 0; функция чётная; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 0 при x = 0, наименьшего нет.
а) y = 0,2x²: a = 0,2 > 0, ветви вверх; так как 0 < a < 1, парабола «шире» y = x² (сжатие к оси x в 5 раз).
Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [0; +∞); y = 0 при x = 0, y > 0 при x ≠ 0; функция чётная; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет.
б) y = −10x²: a = −10 < 0, ветви вниз; |a| > 1, поэтому парабола очень «узкая» (растяжение от оси x в 10 раз, затем симметрия относительно оси x).
Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 0]; y = 0 при x = 0, y < 0 при x ≠ 0; функция чётная; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 0 при x = 0, наименьшего нет.
124. Пересекаются ли парабола y = 2x² и прямая:
а) y = 50; в) y = −8;
б) y = 100; г) y = 14x − 20?
Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
а) y = 50; в) y = −8;
б) y = 100; г) y = 14x − 20?
Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
Абсциссы точек пересечения находим из уравнения 2x² = (правая часть).
а) 2x² = 50, x² = 25, x = ±5. Пересекаются в точках (−5; 50) и (5; 50).
б) 2x² = 100, x² = 50, x = ±√50 = ±5√2. Пересекаются в точках (−5√2; 100) и (5√2; 100), где 5√2 ≈ 7,07.
в) 2x² = −8, x² = −4 — решений нет (x² ≥ 0). Не пересекаются: парабола лежит в верхней полуплоскости, а прямая y = −8 — ниже оси x.
г) 2x² = 14x − 20, 2x² − 14x + 20 = 0, x² − 7x + 10 = 0, по теореме Виета x = 2 или x = 5. Тогда y = 2 · 4 = 8 и y = 2 · 25 = 50. Пересекаются в точках (2; 8) и (5; 50).
Ответ: а) да: (−5; 50), (5; 50); б) да: (−5√2; 100), (5√2; 100); в) нет; г) да: (2; 8), (5; 50).
а) 2x² = 50, x² = 25, x = ±5. Пересекаются в точках (−5; 50) и (5; 50).
б) 2x² = 100, x² = 50, x = ±√50 = ±5√2. Пересекаются в точках (−5√2; 100) и (5√2; 100), где 5√2 ≈ 7,07.
в) 2x² = −8, x² = −4 — решений нет (x² ≥ 0). Не пересекаются: парабола лежит в верхней полуплоскости, а прямая y = −8 — ниже оси x.
г) 2x² = 14x − 20, 2x² − 14x + 20 = 0, x² − 7x + 10 = 0, по теореме Виета x = 2 или x = 5. Тогда y = 2 · 4 = 8 и y = 2 · 25 = 50. Пересекаются в точках (2; 8) и (5; 50).
Ответ: а) да: (−5; 50), (5; 50); б) да: (−5√2; 100), (5√2; 100); в) нет; г) да: (2; 8), (5; 50).
125. Принадлежит ли графику функции y = −100x² точка:
а) M(1,5; −225); б) K(−3; −900); в) P(2; 400)?
а) M(1,5; −225); б) K(−3; −900); в) P(2; 400)?
Точка принадлежит графику, если её координаты обращают равенство y = −100x² в верное.
а) x = 1,5: −100 · 1,5² = −100 · 2,25 = −225 = y. Принадлежит.
б) x = −3: −100 · (−3)² = −100 · 9 = −900 = y. Принадлежит.
в) x = 2: −100 · 2² = −400, а ордината точки равна 400; −400 ≠ 400. Не принадлежит (принадлежала бы точка (2; −400)).
Ответ: а) да; б) да; в) нет.
Оговорка: в ответах учебника для пункта в) указано «да»; при условии, напечатанном в учебнике (P(2; 400)), это не так, так как −100 · 2² = −400.
а) x = 1,5: −100 · 1,5² = −100 · 2,25 = −225 = y. Принадлежит.
б) x = −3: −100 · (−3)² = −100 · 9 = −900 = y. Принадлежит.
в) x = 2: −100 · 2² = −400, а ордината точки равна 400; −400 ≠ 400. Не принадлежит (принадлежала бы точка (2; −400)).
Ответ: а) да; б) да; в) нет.
Оговорка: в ответах учебника для пункта в) указано «да»; при условии, напечатанном в учебнике (P(2; 400)), это не так, так как −100 · 2² = −400.