Глава II. §3. п.8 Графики и свойства некоторых видов функций — с. 43
116. Найдите первые четыре цифры длины окружности в сантиметрах, радиус которой равен 2,35 см.
Длина окружности C = 2πr = 2 · π · 2,35 = 4,7π см.
Используем приближение π = 3,14159265...: 4,7 · 3,14159265 ≈ 14,7655.
Первые четыре цифры числа 14,7655...: 1, 4, 7, 6 (округлять не нужно).
Проверка: 4,7 · 3,1415 = 14,76505 и 4,7 · 3,1416 = 14,76552; оба числа начинаются с 14,76, поэтому первые четыре цифры определены однозначно.
Ответ: 1, 4, 7, 6 (C ≈ 14,76 см).
Используем приближение π = 3,14159265...: 4,7 · 3,14159265 ≈ 14,7655.
Первые четыре цифры числа 14,7655...: 1, 4, 7, 6 (округлять не нужно).
Проверка: 4,7 · 3,1415 = 14,76505 и 4,7 · 3,1416 = 14,76552; оба числа начинаются с 14,76, поэтому первые четыре цифры определены однозначно.
Ответ: 1, 4, 7, 6 (C ≈ 14,76 см).
117. За одну поездку израсходовали более трёх, но менее четырёх литров бензина. Укажите точность приближённого значения израсходованного бензина, если за приближённое значение принять: а) 3 л; б) 4 л; в) среднее арифметическое 3 л и 4 л.
Если x — точное значение расхода, то 3 < x < 4. Точность приближённого значения a — число h такое, что |x − a| < h (оценка абсолютной погрешности).
а) a = 3: 0 < x − 3 < 1, поэтому |x − 3| < 1. Точность — 1 л.
б) a = 4: 0 < 4 − x < 1, поэтому |x − 4| < 1. Точность — 1 л.
в) a = (3 + 4)/2 = 3,5: −0,5 < x − 3,5 < 0,5, поэтому |x − 3,5| < 0,5. Точность — 0,5 л.
Ответ: а) 1 л; б) 1 л; в) 0,5 л. Приближение 3,5 л — самое точное.
а) a = 3: 0 < x − 3 < 1, поэтому |x − 3| < 1. Точность — 1 л.
б) a = 4: 0 < 4 − x < 1, поэтому |x − 4| < 1. Точность — 1 л.
в) a = (3 + 4)/2 = 3,5: −0,5 < x − 3,5 < 0,5, поэтому |x − 3,5| < 0,5. Точность — 0,5 л.
Ответ: а) 1 л; б) 1 л; в) 0,5 л. Приближение 3,5 л — самое точное.
Вопрос 1. Сформулируйте определение понятия функции. Что называют областью определения функции и множеством значений функции?
Как обозначаются эти понятия?
Функция — это зависимость, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента) x из некоторого множества соответствует единственное значение зависимой переменной y.
Областью определения функции называют все значения, которые принимает независимая переменная x; обозначают D(f) (или D(y)).
Множеством значений функции называют все значения, которые принимает зависимая переменная y; обозначают E(f) (или E(y)).
Например, для y = √x: D(f) = [0; +∞), E(f) = [0; +∞).
Областью определения функции называют все значения, которые принимает независимая переменная x; обозначают D(f) (или D(y)).
Множеством значений функции называют все значения, которые принимает зависимая переменная y; обозначают E(f) (или E(y)).
Например, для y = √x: D(f) = [0; +∞), E(f) = [0; +∞).
Вопрос 2. Сформулируйте определения чётной функции, нечётной функции. Приведите примеры чётной функции, нечётной функции. Может ли функция не обладать ни свойством чётности, ни свойством нечётности?
Функция y = f(x) называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля (вместе с каждым x в неё входит и −x) и для любого x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси y.
Функция называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполняется равенство f(−x) = −f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры: чётные функции — y = x², y = |x|, y = 5; нечётные — y = x³, y = k/x, y = kx.
Да, функция может не быть ни чётной, ни нечётной. Например, y = x² + x: f(1) = 2, f(−1) = 0, значит f(−1) ≠ f(1) и f(−1) ≠ −f(1). Также ни чётной, ни нечётной является y = √x, так как её область определения [0; +∞) не симметрична относительно нуля.
Функция называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполняется равенство f(−x) = −f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры: чётные функции — y = x², y = |x|, y = 5; нечётные — y = x³, y = k/x, y = kx.
Да, функция может не быть ни чётной, ни нечётной. Например, y = x² + x: f(1) = 2, f(−1) = 0, значит f(−1) ≠ f(1) и f(−1) ≠ −f(1). Также ни чётной, ни нечётной является y = √x, так как её область определения [0; +∞) не симметрична относительно нуля.
Вопрос 3. Перечислите и проиллюстрируйте рисунком свойства функции:
а) y = kx, k < 0; д) y = x³;
б) y = kx + b, k > 0, b < 0; е) y = √x;
в) y = k/x, k < 0; ж) y = |x|.
г) y = x²;
а) y = kx, k < 0; д) y = x³;
б) y = kx + b, k > 0, b < 0; е) y = √x;
в) y = k/x, k < 0; ж) y = |x|.
г) y = x²;
Для каждой функции указаны: область определения D, множество значений E, нули, промежутки знакопостоянства, монотонность, наибольшее и наименьшее значения, чётность. Схематичные графики показаны на рисунке.
а) y = kx, k < 0: D = E = (−∞; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; убывает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; нечётная.
б) y = kx + b, k > 0, b < 0: D = E = (−∞; +∞); нуль x = −b/k > 0; y < 0 при x < −b/k, y > 0 при x > −b/k; возрастает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; ни чётная, ни нечётная (график не симметричен ни относительно оси y, ни относительно начала координат, так как b ≠ 0).
в) y = k/x, k < 0: D = E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; возрастает на (−∞; 0) и на (0; +∞); наибольшего и наименьшего значений нет; нечётная.
г) y = x²: D = (−∞; +∞), E = [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; чётная.
д) y = x³: D = E = (−∞; +∞); нуль x = 0; y < 0 при x < 0, y > 0 при x > 0; возрастает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; нечётная.
е) y = √x: D = E = [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x > 0; возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; ни чётная, ни нечётная (область определения не симметрична относительно нуля).
ж) y = |x|: D = (−∞; +∞), E = [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; чётная.
а) y = kx, k < 0: D = E = (−∞; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; убывает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; нечётная.
б) y = kx + b, k > 0, b < 0: D = E = (−∞; +∞); нуль x = −b/k > 0; y < 0 при x < −b/k, y > 0 при x > −b/k; возрастает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; ни чётная, ни нечётная (график не симметричен ни относительно оси y, ни относительно начала координат, так как b ≠ 0).
в) y = k/x, k < 0: D = E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; возрастает на (−∞; 0) и на (0; +∞); наибольшего и наименьшего значений нет; нечётная.
г) y = x²: D = (−∞; +∞), E = [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; чётная.
д) y = x³: D = E = (−∞; +∞); нуль x = 0; y < 0 при x < 0, y > 0 при x > 0; возрастает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; нечётная.
е) y = √x: D = E = [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x > 0; возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; ни чётная, ни нечётная (область определения не симметрична относительно нуля).
ж) y = |x|: D = (−∞; +∞), E = [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; чётная.