Алгебра Макарычев 9 класс, страница 49 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава II. §4. п.9 Функция y = ax², её график и свойства — с. 49 126. Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = −x² и y = 2x − 3. Выполните графическую иллюстрацию. Абсциссы общих точек — корни уравнения −x² = 2x − 3, то есть x² + 2x − 3 = 0. По теореме Виета x₁ = −3, x₂ = 1 (проверка: −3 + 1 = −2, −3 · 1 = −3). Ординаты: y = −(−3)² = −9; y = −1² = −1. Графическая иллюстрация: парабола y = −x² (вершина O(0; 0), ветви вниз) и прямая y = 2x − 3 (через точки (0; −3) и (1; −1)) пересекаются в двух точках (рисунок). Ответ: (−3; −9) и (1; −1). Графики y = −x² и y = 2x − 3 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 0 (−3; −9) (1; −1) y = −x² y = 2x − 3 127. Изобразите схематически графики функций y = 0,01x² и y = 10x. Графики этих функций имеют общую точку O(0; 0). Имеют ли графики этих функций другие общие точки? При положительном ответе найдите координаты этих точек. Графики — парабола с вершиной в начале координат (ветви вверх, очень «широкая», так как a = 0,01) и прямая через начало координат с угловым коэффициентом 10 (рисунок схематический, масштаб не соблюдён). Абсциссы общих точек находим из уравнения 0,01x² = 10x. Тогда 0,01x² − 10x = 0, x(0,01x − 10) = 0, откуда x = 0 или x = 10/0,01 = 1000. При x = 1000: y = 10 · 1000 = 10 000 (проверка: 0,01 · 1000² = 10 000). Ответ: да, есть ещё одна общая точка (1000; 10 000). Схематические графики y = 0,01x² и y = 10x x y O(0; 0) (1000; 10 000) y = 0,01x² y = 10x 128. При каких значениях k прямая y = kx − 4 имеет с параболой y = x² только одну точку? Общие точки находим из уравнения x² = kx − 4, то есть x² − kx + 4 = 0. Одна общая точка — когда уравнение имеет ровно один корень, то есть дискриминант равен нулю: D = k² − 4 · 4 = k² − 16 = 0, откуда k = 4 или k = −4. При k = 4: x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0, точка касания (2; 4). При k = −4: x² + 4x + 4 = (x + 2)² = 0, точка касания (−2; 4). Ответ: k = 4 или k = −4. 129. Площадь круга S (см²) вычисляется по формуле S = πr², где r (см) — радиус круга. Постройте график функции S = πr² и найдите по графику: а) площадь круга, если его радиус равен 1,3 см; 0,8 см; 2,1 см; б) радиус круга, площадь которого равна 1,8 см²; 2,5 см²; 6,5 см². Так как r > 0, графиком является часть параболы S = πr² (правая ветвь). Принимаем π ≈ 3,14. Таблица: r = 0; 0,5; 1; 1,5; 2 → S ≈ 0; 0,79; 3,14; 7,07; 12,57. Строим точки и соединяем плавной линией (рисунок; по горизонтали откладывается r, по вертикали S). а) r = 1,3: S = π · 1,69 ≈ 5,3 см²; r = 0,8: S = π ·