Глава II. §3. п.8 Графики и свойства некоторых видов функций — с. 41
111. Изобразите схематически графики функций y = kx, где k < 0, и y = kx, где k > 0. Запишите свойства функции в каждом случае.
Графиком функции y = kx является прямая, проходящая через начало координат. Для построения достаточно ещё одной точки, например (1; k).
Случай k < 0 (прямая проходит через II и IV четверти):
1) D(f) = (−∞; +∞); 2. E(f) = (−∞; +∞); 3) нуль функции x = 0; 4) y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; 5) функция убывает на всей области определения; 6) наибольшего и наименьшего значений нет; 7) функция нечётная, так как k(−x) = −kx, график симметричен относительно начала координат.
Случай k > 0 (прямая проходит через I и III четверти):
1) D(f) = (−∞; +∞); 2. E(f) = (−∞; +∞); 3) нуль функции x = 0; 4) y < 0 при x < 0, y > 0 при x > 0; 5) функция возрастает на всей области определения; 6) наибольшего и наименьшего значений нет; 7) функция нечётная.
Графики показаны на рисунке.
Случай k < 0 (прямая проходит через II и IV четверти):
1) D(f) = (−∞; +∞); 2. E(f) = (−∞; +∞); 3) нуль функции x = 0; 4) y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; 5) функция убывает на всей области определения; 6) наибольшего и наименьшего значений нет; 7) функция нечётная, так как k(−x) = −kx, график симметричен относительно начала координат.
Случай k > 0 (прямая проходит через I и III четверти):
1) D(f) = (−∞; +∞); 2. E(f) = (−∞; +∞); 3) нуль функции x = 0; 4) y < 0 при x < 0, y > 0 при x > 0; 5) функция возрастает на всей области определения; 6) наибольшего и наименьшего значений нет; 7) функция нечётная.
Графики показаны на рисунке.
112. Постройте график функции и опишите её свойства:
а) y = −3x + 1; г) y = 1/(2x);
б) y = 5 + 2x; д) y = −x²;
в) y = −3/x; е) y = −x³.
а) y = −3x + 1; г) y = 1/(2x);
б) y = 5 + 2x; д) y = −x²;
в) y = −3/x; е) y = −x³.
а) Прямая y = −3x + 1 (k = −3 < 0, b = 1). Точки: (0; 1), (1; −2). Нуль: −3x + 1 = 0, x = 1/3. Свойства: D = (−∞; +∞), E = (−∞; +∞); y > 0 при x < 1/3, y < 0 при x > 1/3; функция убывает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; функция не является ни чётной, ни нечётной (f(−1) = 4, f(1) = −2).
б) Прямая y = 2x + 5 (k = 2 > 0). Точки: (0; 5), (−2; 1). Нуль: x = −2,5. Свойства: D = E = (−∞; +∞); y < 0 при x < −2,5, y > 0 при x > −2,5; функция возрастает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; ни чётная, ни нечётная.
в) Гипербола y = −3/x (k = −3 < 0), ветви во II и IV четвертях. Точки: (1; −3), (3; −1), (−1; 3), (−3; 1). Свойства: D = E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; функция возрастает на (−∞; 0) и на (0; +∞); наибольшего и наименьшего значений нет; функция нечётная.
г) Гипербола y = 1/(2x) (k = 1/2 > 0), ветви в I и III четвертях. Точки: (0,5; 1), (1; 0,5), (2; 0,25), (−1; −0,5), (−2; −0,25). Свойства: D = E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; функция убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞); наибольшего и наименьшего значений нет; нечётная.
д) Парабола y = −x² — график y = x², симметричный относительно оси x. Точки: (0; 0), (±1; −1), (±2; −4), (±3; −9). Свойства: D = (−∞; +∞), E = (−∞; 0]; нуль x = 0; y < 0 при x ≠ 0; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 0 при x = 0, наименьшего нет; функция чётная.
е) Кубическая парабола y = −x³ — график y = x³, симметричный относительно оси x. Точки: (0; 0), (±1; ∓1), (±2; ∓8). Свойства: D = E = (−∞; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; функция убывает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; функция нечётная.
Графики показаны на рисунке.
б) Прямая y = 2x + 5 (k = 2 > 0). Точки: (0; 5), (−2; 1). Нуль: x = −2,5. Свойства: D = E = (−∞; +∞); y < 0 при x < −2,5, y > 0 при x > −2,5; функция возрастает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; ни чётная, ни нечётная.
в) Гипербола y = −3/x (k = −3 < 0), ветви во II и IV четвертях. Точки: (1; −3), (3; −1), (−1; 3), (−3; 1). Свойства: D = E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; функция возрастает на (−∞; 0) и на (0; +∞); наибольшего и наименьшего значений нет; функция нечётная.
г) Гипербола y = 1/(2x) (k = 1/2 > 0), ветви в I и III четвертях. Точки: (0,5; 1), (1; 0,5), (2; 0,25), (−1; −0,5), (−2; −0,25). Свойства: D = E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; функция убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞); наибольшего и наименьшего значений нет; нечётная.
д) Парабола y = −x² — график y = x², симметричный относительно оси x. Точки: (0; 0), (±1; −1), (±2; −4), (±3; −9). Свойства: D = (−∞; +∞), E = (−∞; 0]; нуль x = 0; y < 0 при x ≠ 0; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 0 при x = 0, наименьшего нет; функция чётная.
е) Кубическая парабола y = −x³ — график y = x³, симметричный относительно оси x. Точки: (0; 0), (±1; ∓1), (±2; ∓8). Свойства: D = E = (−∞; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; функция убывает на всей области определения; наибольшего и наименьшего значений нет; функция нечётная.
Графики показаны на рисунке.
113. Используя график функции y = x³, решите уравнение:
а) x³ = x + 1; б) x³ = 2x; в) x³ = 2x + 1.
а) x³ = x + 1; б) x³ = 2x; в) x³ = 2x + 1.
Корни уравнения x³ = kx + m — абсциссы точек пересечения графика y = x³ с прямой y = kx + m. Строим на одном чертеже кубическую параболу y = x³ и прямые y = x + 1, y = 2x, y = 2x + 1 (рисунок).
а) Прямая y = x + 1 пересекает кубическую параболу в одной точке, её абсцисса x ≈ 1,3. Ответ: x ≈ 1,3.
б) Прямая y = 2x пересекает параболу в трёх точках с абсциссами x = −1,4; 0; 1,4. Проверка: x³ − 2x = x(x² − 2) = 0, откуда x = 0 или x = ±√2 ≈ ±1,41. Ответ: x ≈ −1,4; x = 0; x ≈ 1,4.
в) Прямая y = 2x + 1 пересекает параболу в трёх точках с абсциссами x ≈ −0,6; −1; 1,6. Проверка: x³ − 2x − 1 = (x + 1)(x² − x − 1) = 0, откуда x = −1 или x = (1 ± √5)/2 ≈ 1,62 и −0,62. Ответ: x ≈ −0,6; x = −1; x ≈ 1,6.
Оговорка: значения по графику приближённые, точность до десятых.
а) Прямая y = x + 1 пересекает кубическую параболу в одной точке, её абсцисса x ≈ 1,3. Ответ: x ≈ 1,3.
б) Прямая y = 2x пересекает параболу в трёх точках с абсциссами x = −1,4; 0; 1,4. Проверка: x³ − 2x = x(x² − 2) = 0, откуда x = 0 или x = ±√2 ≈ ±1,41. Ответ: x ≈ −1,4; x = 0; x ≈ 1,4.
в) Прямая y = 2x + 1 пересекает параболу в трёх точках с абсциссами x ≈ −0,6; −1; 1,6. Проверка: x³ − 2x − 1 = (x + 1)(x² − x − 1) = 0, откуда x = −1 или x = (1 ± √5)/2 ≈ 1,62 и −0,62. Ответ: x ≈ −0,6; x = −1; x ≈ 1,6.
Оговорка: значения по графику приближённые, точность до десятых.
114. Постройте по точкам график функции и опишите её свойства:
а) y = x² + 1; б) y = −x² + 4.
а) y = x² + 1; б) y = −x² + 4.
а) Таблица значений y = x² + 1: x = −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3 → y = 10; 5; 2; 1; 2; 5;
10. Отмечаем точки и соединяем плавной линией: парабола, получаемая сдвигом параболы y = x² на 1 вверх (рисунок, слева).
Свойства: 1. D(f) = (−∞; +∞); 2. E(f) = [1; +∞); 3) нулей нет (x² + 1 ≥ 1 > 0); 4) y > 0 при всех x; 5) убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); 6) наименьшее значение 1 при x = 0, наибольшего нет; 7) функция чётная, так как (−x)² + 1 = x² + 1.
б) Таблица значений y = −x² + 4: x = −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3 → y = −5; 0; 3; 4; 3; 0; −5. Парабола ветвями вниз с вершиной (0; 4. (рисунок, справа).
Свойства: 1. D(f) = (−∞; +∞); 2. E(f) = (−∞; 4]; 3) нули x = −2 и x = 2 (4 − x² = 0); 4) y > 0 при x ∈ (−2; 2), y < 0 при x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞); 5) возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); 6) наибольшее значение 4 при x = 0, наименьшего нет; 7) функция чётная.
Свойства: 1. D(f) = (−∞; +∞); 2. E(f) = [1; +∞); 3) нулей нет (x² + 1 ≥ 1 > 0); 4) y > 0 при всех x; 5) убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); 6) наименьшее значение 1 при x = 0, наибольшего нет; 7) функция чётная, так как (−x)² + 1 = x² + 1.
б) Таблица значений y = −x² + 4: x = −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3 → y = −5; 0; 3; 4; 3; 0; −5. Парабола ветвями вниз с вершиной (0; 4. (рисунок, справа).
Свойства: 1. D(f) = (−∞; +∞); 2. E(f) = (−∞; 4]; 3) нули x = −2 и x = 2 (4 − x² = 0); 4) y > 0 при x ∈ (−2; 2), y < 0 при x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞); 5) возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); 6) наибольшее значение 4 при x = 0, наименьшего нет; 7) функция чётная.