Глава II. §3. п.7 Свойства чётности и нечётности функций — с. 36
100. Найдите область определения функции, заданной формулой: а) y = 5/|x − 1|; б) y = √(x − 1)/(x − 2).
а) Знаменатель |x − 1| ≠ 0, то есть x ≠ 1. D(y) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
б) Должны выполняться условия: x − 1 ≥ 0 (подкоренное выражение) и x − 2 ≠ 0 (знаменатель). Получаем x ≥ 1 и x ≠ 2. D(y) = [1; 2) ∪ (2; +∞).
Ответ: а) (−∞; 1) ∪ (1; +∞); б) [1; 2) ∪ (2; +∞).
б) Должны выполняться условия: x − 1 ≥ 0 (подкоренное выражение) и x − 2 ≠ 0 (знаменатель). Получаем x ≥ 1 и x ≠ 2. D(y) = [1; 2) ∪ (2; +∞).
Ответ: а) (−∞; 1) ∪ (1; +∞); б) [1; 2) ∪ (2; +∞).
101. Найдите нули функции y = f(x), если: а) y = 7x² − 6x − 1; б) y = √(7 − 14x); в) y = (2x + 3)/(9 − 4x²); г) y = (5x − 1)/(x² + 16).
Нули функции — значения x из области определения, при которых y = 0.
а) 7x² − 6x − 1 = 0; D = 36 + 28 = 64; x = (6 ± 8)/14, x = 1 или x = −1/7.
б) √(7 − 14x) = 0, 7 − 14x = 0, x = 1/2 = 0,5 (при этом выражение под корнем неотрицательно).
в) Числитель равен нулю при 2x + 3 = 0, x = −1,5. Но при x = −1,5 знаменатель 9 − 4·2,25 = 9 − 9 = 0, значение x = −1,5 не входит в область определения. Нулей нет.
г) 5x − 1 = 0, x = 1/5; знаменатель x² + 16 > 0 при любом x.
Ответ: а) −1/7; 1; б) 0,5; в) нулей нет; г) 1/5.
а) 7x² − 6x − 1 = 0; D = 36 + 28 = 64; x = (6 ± 8)/14, x = 1 или x = −1/7.
б) √(7 − 14x) = 0, 7 − 14x = 0, x = 1/2 = 0,5 (при этом выражение под корнем неотрицательно).
в) Числитель равен нулю при 2x + 3 = 0, x = −1,5. Но при x = −1,5 знаменатель 9 − 4·2,25 = 9 − 9 = 0, значение x = −1,5 не входит в область определения. Нулей нет.
г) 5x − 1 = 0, x = 1/5; знаменатель x² + 16 > 0 при любом x.
Ответ: а) −1/7; 1; б) 0,5; в) нулей нет; г) 1/5.
102. Найдите нули функции y = f(x), если: а) y = (|x| − 3)/|x + 3|; б) y = √(3 − 2x)/(x + 5).
а) Числитель |x| − 3 = 0 при |x| = 3, то есть x = 3 или x = −3. При x = −3 знаменатель |x + 3| = 0, это значение не входит в область определения. При x = 3 знаменатель 6 ≠ 0. Нуль функции x = 3.
б) Числитель √(3 − 2x) = 0 при 3 − 2x = 0, x = 1,5. Знаменатель при x = 1,5 равен 6,5 ≠ 0. Нуль функции x = 1,5.
Ответ: а) 3; б) 1,5.
б) Числитель √(3 − 2x) = 0 при 3 − 2x = 0, x = 1,5. Знаменатель при x = 1,5 равен 6,5 ≠ 0. Нуль функции x = 1,5.
Ответ: а) 3; б) 1,5.
103. Докажите, что функция, заданная формулой y = f(x), является чётной, если: а) f(x) = 6 − 5x² + x⁴; б) f(x) = 5|x|.
Функция чётная, если её область определения симметрична относительно нуля и f(−x) = f(x).
а) Функция определена при всех x — область определения симметрична. f(−x) = 6 − 5(−x)² + (−x)⁴ = 6 − 5x² + x⁴ = f(x). Значит, функция чётная.
б) Область определения — все числа. f(−x) = 5|−x| = 5|x| = f(x). Значит, функция чётная.
а) Функция определена при всех x — область определения симметрична. f(−x) = 6 − 5(−x)² + (−x)⁴ = 6 − 5x² + x⁴ = f(x). Значит, функция чётная.
б) Область определения — все числа. f(−x) = 5|−x| = 5|x| = f(x). Значит, функция чётная.
104. Докажите, что функция y = f(x) является нечётной, если: а) f(x) = x + 1/x; б) f(x) = 2x³ − x.
Функция нечётная, если её область определения симметрична относительно нуля и f(−x) = −f(x).
а) Область определения: x ≠ 0, то есть симметричное относительно нуля множество. f(−x) = −x + 1/(−x) = −x − 1/x = −(x + 1/x) = −f(x). Функция нечётная.
б) Область определения — все числа. f(−x) = 2(−x)³ − (−x) = −2x³ + x = −(2x³ − x) = −f(x). Функция нечётная.
а) Область определения: x ≠ 0, то есть симметричное относительно нуля множество. f(−x) = −x + 1/(−x) = −x − 1/x = −(x + 1/x) = −f(x). Функция нечётная.
б) Область определения — все числа. f(−x) = 2(−x)³ − (−x) = −2x³ + x = −(2x³ − x) = −f(x). Функция нечётная.
105. Определите, является ли функция y = f(x) чётной или нечётной, если: а) f(x) = 5/x; б) f(x) = 5 − 3x²; в) f(x) = x³ − x; г) f(x) = 1 − |x|.
Во всех случаях область определения симметрична относительно нуля (а) — все x ≠ 0; б), в), г) — все числа). Найдём f(−x).
а) f(−x) = 5/(−x) = −5/x = −f(x). Функция нечётная.
б) f(−x) = 5 − 3(−x)² = 5 − 3x² = f(x). Функция чётная.
в) f(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x). Функция нечётная.
г) f(−x) = 1 − |−x| = 1 − |x| = f(x). Функция чётная.
Ответ: а), в) — нечётные; б), г) — чётные.
а) f(−x) = 5/(−x) = −5/x = −f(x). Функция нечётная.
б) f(−x) = 5 − 3(−x)² = 5 − 3x² = f(x). Функция чётная.
в) f(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x). Функция нечётная.
г) f(−x) = 1 − |−x| = 1 − |x| = f(x). Функция чётная.
Ответ: а), в) — нечётные; б), г) — чётные.
106. Известно, что функция y = f(x), заданная на отрезке, симметричном относительно начала координат, является чётной. На рисунке 14, а, б изображена только часть её графика. Достройте график этой функции, перечертив рисунок в тетрадь. [рисунок 14, а: отрезок от (−6; −3) до (−5; 4) и отрезок от (−5; 4) до (0; −6); рисунок 14, б: отрезок от (−7; −4) до (−4; 3) и плавная кривая от (0; −5) через (1; −4) до (4; 3)]
График чётной функции симметричен относительно оси y: каждой точке (x; y) графика соответствует точка (−x; y). Достроим график, отразив имеющуюся часть относительно оси ординат.
а) Имеющаяся часть — звенья ломаной (−6; −3) — (−5; 4) — (0; −6). Отражаем: получаем звенья (0; −6) — (5; 4) — (6; −3). Функция задана на отрезке [−6; 6].
б) Имеющиеся части — отрезок (−7; −4) — (−4; 3) и кривая на [0; 4] с началом (0; −5) и концом (4; 3). Отражаем кривую относительно оси y — получаем её продолжение на [−4; 0] от (−4; 3) до (0; −5); отражаем отрезок — получаем отрезок (4; 3) — (7; −4). Функция задана на отрезке [−7; 7].
На рисунке чёрным показана исходная часть, красным — достроенная.
Оговорка: кривая на рисунке 14, б считалась по точкам (0; −5), (1; −4), (4; 3) и на рисунке приближена параболой y = x²/2 − 5.
а) Имеющаяся часть — звенья ломаной (−6; −3) — (−5; 4) — (0; −6). Отражаем: получаем звенья (0; −6) — (5; 4) — (6; −3). Функция задана на отрезке [−6; 6].
б) Имеющиеся части — отрезок (−7; −4) — (−4; 3) и кривая на [0; 4] с началом (0; −5) и концом (4; 3). Отражаем кривую относительно оси y — получаем её продолжение на [−4; 0] от (−4; 3) до (0; −5); отражаем отрезок — получаем отрезок (4; 3) — (7; −4). Функция задана на отрезке [−7; 7].
На рисунке чёрным показана исходная часть, красным — достроенная.
Оговорка: кривая на рисунке 14, б считалась по точкам (0; −5), (1; −4), (4; 3) и на рисунке приближена параболой y = x²/2 − 5.