Глава II. §3. п.7 Свойства чётности и нечётности функций — с. 35
98. Перечислите свойства функции, график которой изображён на: а) рисунке 12; б) рисунке 13. [рисунок 12: график на отрезке [−6; 6]: ломаная от точки (−6; −2) вверх до (0; 4), затем плавная кривая, круто спадающая к точке (6; −5); рисунок 13: график на отрезке [−8; 4]: кривая от точки (−8; 7) вниз до наименьшей точки (−4; −5), затем вверх через (−1; 0) до точки (0; 1), вниз до (1; 0), небольшая впадина и подъём до точки (4; 1)]
Свойства читаем по графику: область определения (проекция на ось x), множество значений (проекция на ось y), нули, промежутки знакопостоянства и монотонности, наибольшее и наименьшее значения, чётность.
а) 1. D(f) = [−6; 6].
2. E(f) = [−5; 4].
3. Нули: график пересекает ось x в точках x = −4 и x ≈ 3,2.
4. f(x) > 0 при x ∈ (−4; 3,2) (приближённо); f(x) < 0 при x ∈ [−6; −4) и (3,2; 6].
5. Функция возрастает на [−6; 0] и убывает на [0; 6].
6. Наибольшее значение 4 при x = 0, наименьшее значение −5 при x = 6.
7. Область определения симметрична относительно нуля, но f(−6) = −2, а f(6) = −5, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
б) 1. D(f) = [−8; 4].
2. E(f) = [−5; 7].
3. Нули: x = −7; x = −1; x = 1 и x ≈ 3.
4. f(x) > 0 при x ∈ [−8; −7), (−1; 1) и (3; 4]; f(x) < 0 при x ∈ (−7; −1) и (1; 3).
5. Функция убывает на [−8; −4], возрастает на [−4; 0], убывает на [0; 2] и возрастает на [2; 4] (точки смены монотонности на правом участке приближённые).
6. Наибольшее значение 7 при x = −8, наименьшее значение −5 при x = −4.
7. Область определения [−8; 4] не симметрична относительно начала координат, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: см. перечень свойств выше.
Оговорка: нули и точки смены монотонности, не лежащие в узлах сетки (x ≈ 3,2 на рис. 12; x ≈ 3 и x ≈ 2 на рис. 13), определены на глаз.
а) 1. D(f) = [−6; 6].
2. E(f) = [−5; 4].
3. Нули: график пересекает ось x в точках x = −4 и x ≈ 3,2.
4. f(x) > 0 при x ∈ (−4; 3,2) (приближённо); f(x) < 0 при x ∈ [−6; −4) и (3,2; 6].
5. Функция возрастает на [−6; 0] и убывает на [0; 6].
6. Наибольшее значение 4 при x = 0, наименьшее значение −5 при x = 6.
7. Область определения симметрична относительно нуля, но f(−6) = −2, а f(6) = −5, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
б) 1. D(f) = [−8; 4].
2. E(f) = [−5; 7].
3. Нули: x = −7; x = −1; x = 1 и x ≈ 3.
4. f(x) > 0 при x ∈ [−8; −7), (−1; 1) и (3; 4]; f(x) < 0 при x ∈ (−7; −1) и (1; 3).
5. Функция убывает на [−8; −4], возрастает на [−4; 0], убывает на [0; 2] и возрастает на [2; 4] (точки смены монотонности на правом участке приближённые).
6. Наибольшее значение 7 при x = −8, наименьшее значение −5 при x = −4.
7. Область определения [−8; 4] не симметрична относительно начала координат, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: см. перечень свойств выше.
Оговорка: нули и точки смены монотонности, не лежащие в узлах сетки (x ≈ 3,2 на рис. 12; x ≈ 3 и x ≈ 2 на рис. 13), определены на глаз.
99. Найдите область определения функции, заданной формулой: а) y = x² + 3x − 25; б) y = √(5 − 3x); в) y = (x² − 1)/(x + 1); г) y = (x + 1)/(x² + 1).
а) Выражение определено при любом x: D(y) = (−∞; +∞).
б) Подкоренное выражение неотрицательно: 5 − 3x ≥ 0, 3x ≤ 5, x ≤ 5/3. D(y) = (−∞; 1 2/3].
в) Знаменатель не равен нулю: x + 1 ≠ 0, x ≠ −1. D(y) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).
г) Знаменатель x² + 1 ≥ 1 > 0 при любом x. D(y) = (−∞; +∞).
Ответ: а) (−∞; +∞); б) (−∞; 1 2/3]; в) (−∞; −1) ∪ (−1; +∞); г) (−∞; +∞).
б) Подкоренное выражение неотрицательно: 5 − 3x ≥ 0, 3x ≤ 5, x ≤ 5/3. D(y) = (−∞; 1 2/3].
в) Знаменатель не равен нулю: x + 1 ≠ 0, x ≠ −1. D(y) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).
г) Знаменатель x² + 1 ≥ 1 > 0 при любом x. D(y) = (−∞; +∞).
Ответ: а) (−∞; +∞); б) (−∞; 1 2/3]; в) (−∞; −1) ∪ (−1; +∞); г) (−∞; +∞).