Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 30
88. Найдите значение выражения: а) 61a − 11b + 50, если (2a − 7b + 5)/(7a − 2b + 5) = 9; б) (a + 9b + 16)/(a + 3b + 8), если a/b = 3; в) 30a − 10b − 13, если (3a − 7b + 4)/(7a − 3b + 4) = 9; г) (a + 11b + 51)/(a + b + 17), если a/b = 4.
а) Из равенства 2a − 7b + 5 = 9(7a − 2b + 5) = 63a − 18b + 45 получаем 0 = 61a − 11b + 40, то есть 61a − 11b = −40. Тогда 61a − 11b + 50 = −40 + 50 = 10.
б) Из a/b = 3 имеем a = 3b. Тогда (3b + 9b + 16)/(3b + 3b + 8) = (12b + 16)/(6b + 8) = 2(6b + 8)/(6b + 8) = 2.
в) Из 3a − 7b + 4 = 9(7a − 3b + 4) = 63a − 27b + 36 получаем 0 = 60a − 20b + 32, то есть 30a − 10b = −16. Тогда 30a − 10b − 13 = −16 − 13 = −29.
г) Из a/b = 4 имеем a = 4b. Тогда (4b + 11b + 51)/(4b + b + 17) = (15b + 51)/(5b + 17) = 3(5b + 17)/(5b + 17) = 3.
Ответ: а) 10; б) 2; в) −29; г) 3.
б) Из a/b = 3 имеем a = 3b. Тогда (3b + 9b + 16)/(3b + 3b + 8) = (12b + 16)/(6b + 8) = 2(6b + 8)/(6b + 8) = 2.
в) Из 3a − 7b + 4 = 9(7a − 3b + 4) = 63a − 27b + 36 получаем 0 = 60a − 20b + 32, то есть 30a − 10b = −16. Тогда 30a − 10b − 13 = −16 − 13 = −29.
г) Из a/b = 4 имеем a = 4b. Тогда (4b + 11b + 51)/(4b + b + 17) = (15b + 51)/(5b + 17) = 3(5b + 17)/(5b + 17) = 3.
Ответ: а) 10; б) 2; в) −29; г) 3.
89. Выясните, какое из равенств |x| = x или |x| = −x является верным, если: а) x = 7 − 2√15; б) x = 2√13 − 7.
Равенство |x| = x верно при x ≥ 0, а |x| = −x — при x ≤ 0.
а) 2√15 = √60 > √49 = 7, поэтому x = 7 − 2√15 < 0. Верно равенство |x| = −x.
б) 2√13 = √52 > √49 = 7, поэтому x = 2√13 − 7 > 0. Верно равенство |x| = x.
Ответ: а) |x| = −x; б) |x| = x.
а) 2√15 = √60 > √49 = 7, поэтому x = 7 − 2√15 < 0. Верно равенство |x| = −x.
б) 2√13 = √52 > √49 = 7, поэтому x = 2√13 − 7 > 0. Верно равенство |x| = x.
Ответ: а) |x| = −x; б) |x| = x.
90. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения: а) (√2 + √3)·(√2 − √3); б) (√2 + 2√3)·(√2 − √3); в) 1/(2 + √3) + 1/(2 − √3); г) 1/(√3 − √2) − 1/(√3 + √2); д) (√2 + √3)/(√3 − √2); е) √5/(√5 − √2) + √5/(√5 + √2).
а) (√2 + √3)(√2 − √3) = 2 − 3 = −1 — рациональное число.
б) (√2 + 2√3)(√2 − √3) = 2 − √6 + 2√6 − 6 = −4 + √6 — иррациональное число.
в) 1/(2 + √3) + 1/(2 − √3) = (2 − √3 + 2 + √3)/(4 − 3) = 4 — рациональное число.
г) 1/(√3 − √2) − 1/(√3 + √2) = ((√3 + √2) − (√3 − √2))/(3 − 2) = 2√2 — иррациональное число.
д) (√2 + √3)/(√3 − √2) = (√2 + √3)²/((√3 − √2)(√3 + √2)) = (5 + 2√6)/1 = 5 + 2√6 — иррациональное число.
е) √5/(√5 − √2) + √5/(√5 + √2) = √5·((√5 + √2) + (√5 − √2))/(5 − 2) = √5 · 2√5/3 = 10/3 — рациональное число.
Ответ: рациональные — а), в), е); иррациональные — б), г), д).
б) (√2 + 2√3)(√2 − √3) = 2 − √6 + 2√6 − 6 = −4 + √6 — иррациональное число.
в) 1/(2 + √3) + 1/(2 − √3) = (2 − √3 + 2 + √3)/(4 − 3) = 4 — рациональное число.
г) 1/(√3 − √2) − 1/(√3 + √2) = ((√3 + √2) − (√3 − √2))/(3 − 2) = 2√2 — иррациональное число.
д) (√2 + √3)/(√3 − √2) = (√2 + √3)²/((√3 − √2)(√3 + √2)) = (5 + 2√6)/1 = 5 + 2√6 — иррациональное число.
е) √5/(√5 − √2) + √5/(√5 + √2) = √5·((√5 + √2) + (√5 − √2))/(5 − 2) = √5 · 2√5/3 = 10/3 — рациональное число.
Ответ: рациональные — а), в), е); иррациональные — б), г), д).
91. Найдите три первых десятичных приближения (с недостатком и избытком) каждого из чисел: а) 13/7; б) −13/7; в) 5/16; г) −5/16; д) √3; е) −√3. (Задания д) и е) рекомендуется выполнять с помощью калькулятора.)
Первые три десятичных приближения — это приближения с точностью до 1; до 0,1; до 0,01. Недостаток — число, не большее данного, избыток — не меньшее.
а) 13/7 = 1,857142…: с недостатком 1; 1,8; 1,85; с избытком 2; 1,9; 1,86.
б) −13/7 = −1,857142…: с недостатком −2; −1,9; −1,86; с избытком −1; −1,8; −1,85.
в) 5/16 = 0,3125: с недостатком 0; 0,3; 0,31; с избытком 1; 0,4; 0,32.
г) −5/16 = −0,3125: с недостатком −1; −0,4; −0,32; с избытком 0; −0,3; −0,31.
д) √3 = 1,7320508…: с недостатком 1; 1,7; 1,73; с избытком 2; 1,8; 1,74.
е) −√3 = −1,7320508…: с недостатком −2; −1,8; −1,74; с избытком −1; −1,7; −1,73.
Ответ: см. решение по каждому пункту.
а) 13/7 = 1,857142…: с недостатком 1; 1,8; 1,85; с избытком 2; 1,9; 1,86.
б) −13/7 = −1,857142…: с недостатком −2; −1,9; −1,86; с избытком −1; −1,8; −1,85.
в) 5/16 = 0,3125: с недостатком 0; 0,3; 0,31; с избытком 1; 0,4; 0,32.
г) −5/16 = −0,3125: с недостатком −1; −0,4; −0,32; с избытком 0; −0,3; −0,31.
д) √3 = 1,7320508…: с недостатком 1; 1,7; 1,73; с избытком 2; 1,8; 1,74.
е) −√3 = −1,7320508…: с недостатком −2; −1,8; −1,74; с избытком −1; −1,7; −1,73.
Ответ: см. решение по каждому пункту.
92. Используя равенства √2 = 1,414…, √3 = 1,732…, √5 = 2,236… и √7 = 2,645…, вычислите приближённое значение данного выражения с точностью до одной десятой; до одной сотой: а) √5 + √7; б) 4/11 − √8; в) 11/9 · (−√5); г) √2 − 5/8; д) 3/16 : √3.
а) √5 + √7 ≈ 2,236 + 2,645 = 4,881 ≈ 4,9 (до 0,1); ≈ 4,88 (до 0,01).
б) √8 = 2√2 ≈ 2,828; 4/11 = 0,3636…; 0,3636 − 2,828 = −2,4644 ≈ −2,5 (до 0,1); ≈ −2,46 (до 0,01).
в) 11/9 · (−√5) ≈ −1,2222 · 2,236 = −2,7329 ≈ −2,7 (до 0,1); ≈ −2,73 (до 0,01).
г) √2 − 5/8 ≈ 1,414 − 0,625 = 0,789 ≈ 0,8 (до 0,1); ≈ 0,79 (до 0,01).
д) 3/16 : √3 = 0,1875 : 1,732 ≈ 0,1083 ≈ 0,1 (до 0,1); ≈ 0,11 (до 0,01).
Ответ: а) 4,9; 4,88; б) −2,5; −2,46; в) −2,7; −2,73; г) 0,8; 0,79; д) 0,1; 0,11.
б) √8 = 2√2 ≈ 2,828; 4/11 = 0,3636…; 0,3636 − 2,828 = −2,4644 ≈ −2,5 (до 0,1); ≈ −2,46 (до 0,01).
в) 11/9 · (−√5) ≈ −1,2222 · 2,236 = −2,7329 ≈ −2,7 (до 0,1); ≈ −2,73 (до 0,01).
г) √2 − 5/8 ≈ 1,414 − 0,625 = 0,789 ≈ 0,8 (до 0,1); ≈ 0,79 (до 0,01).
д) 3/16 : √3 = 0,1875 : 1,732 ≈ 0,1083 ≈ 0,1 (до 0,1); ≈ 0,11 (до 0,01).
Ответ: а) 4,9; 4,88; б) −2,5; −2,46; в) −2,7; −2,73; г) 0,8; 0,79; д) 0,1; 0,11.
93. Высота полёта стрелы меняется с течением времени по закону h(t) = −5t² + 45t + 2, где h — высота в метрах, t — время, прошедшее от начала полёта, в секундах. На какой высоте над землёй будет находиться стрела через 5 секунд от начала полёта; через 10 секунд от начала полёта?
При t = 5: h(5) = −5·25 + 45·5 + 2 = −125 + 225 + 2 = 102 (м).
При t = 10 формула даёт h(10) = −5·100 + 450 + 2 = −48 < 0. Отрицательной высоты не бывает: стрела упала на землю раньше (h(t) = 0 при t ≈ 9,04 с), поэтому через 10 с её высота над землёй равна 0 м.
Ответ: через 5 с — 102 м; через 10 с — 0 м (стрела уже на земле).
При t = 10 формула даёт h(10) = −5·100 + 450 + 2 = −48 < 0. Отрицательной высоты не бывает: стрела упала на землю раньше (h(t) = 0 при t ≈ 9,04 с), поэтому через 10 с её высота над землёй равна 0 м.
Ответ: через 5 с — 102 м; через 10 с — 0 м (стрела уже на земле).