Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 29
80. Известно, что x и y — натуральные числа. Значения каких из выражений: x + y, x − y, x · y, x/y (y ≠ 0) также являются натуральными числами?
Если условие не выполняется, то приведите пример.
Сумма и произведение натуральных чисел всегда натуральные числа.
Разность x − y не всегда натуральное число: например, при x = 2, y = 5 получаем 2 − 5 = −3; при x = y = 3 получаем 0, а нуль не натуральное число.
Частное x/y не всегда натуральное число: например, при x = 1, y = 2 получаем 1/2.
Ответ: всегда натуральными являются x + y и x · y; для x − y (пример: x = 2, y = 5) и x/y (пример: x = 1, y = 2) условие не выполняется.
Разность x − y не всегда натуральное число: например, при x = 2, y = 5 получаем 2 − 5 = −3; при x = y = 3 получаем 0, а нуль не натуральное число.
Частное x/y не всегда натуральное число: например, при x = 1, y = 2 получаем 1/2.
Ответ: всегда натуральными являются x + y и x · y; для x − y (пример: x = 2, y = 5) и x/y (пример: x = 1, y = 2) условие не выполняется.
81. Сколько целых чисел расположено между числами: а) −5√6 и √83; б) 3√3 и 4√11; в) −5√6 и −1/2 √68; г) −2/3 √54 и 6/7 √147?
Оценим каждое число, внося множитель под знак корня.
а) 5√6 = √150, 12² = 144 < 150 < 169 = 13², значит −13 < −5√6 < −12 (примерно −12,25). √83: 9² = 81 < 83 < 100, √83 ≈ 9,1. Целые числа от −12 до 9: 9 − (−12) + 1 = 22.
б) 3√3 = √27, 5² < 27 < 6², число ≈ 5,2. 4√11 = √176, 13² = 169 < 176 < 196 = 14², число ≈ 13,3. Целые числа от 6 до 13: 13 − 6 + 1 = 8.
в) −5√6 ≈ −12,25. 1/2 √68 = √17, 4² < 17 < 5², поэтому −1/2 √68 = −√17 ≈ −4,1. Целые числа от −12 до −5: −5 − (−12) + 1 = 8.
г) 2/3 √54 = √(4·54/9) = √24, 4² < 24 < 5², число −√24 ≈ −4,9. 6/7 √147 = 6/7 · 7√3 = 6√3 = √108, 10² < 108 < 11², число ≈ 10,4. Целые числа от −4 до 10: 10 − (−4) + 1 = 15.
Ответ: а) 22; б) 8; в) 8; г) 15.
а) 5√6 = √150, 12² = 144 < 150 < 169 = 13², значит −13 < −5√6 < −12 (примерно −12,25). √83: 9² = 81 < 83 < 100, √83 ≈ 9,1. Целые числа от −12 до 9: 9 − (−12) + 1 = 22.
б) 3√3 = √27, 5² < 27 < 6², число ≈ 5,2. 4√11 = √176, 13² = 169 < 176 < 196 = 14², число ≈ 13,3. Целые числа от 6 до 13: 13 − 6 + 1 = 8.
в) −5√6 ≈ −12,25. 1/2 √68 = √17, 4² < 17 < 5², поэтому −1/2 √68 = −√17 ≈ −4,1. Целые числа от −12 до −5: −5 − (−12) + 1 = 8.
г) 2/3 √54 = √(4·54/9) = √24, 4² < 24 < 5², число −√24 ≈ −4,9. 6/7 √147 = 6/7 · 7√3 = 6√3 = √108, 10² < 108 < 11², число ≈ 10,4. Целые числа от −4 до 10: 10 − (−4) + 1 = 15.
Ответ: а) 22; б) 8; в) 8; г) 15.
82. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения: а) √72/√50; б) (√24 − √54) · √12; в) (3 − √5)² + (3 + √5)²; г) (√13 + √8)².
а) √72/√50 = √(72/50) = √(36/25) = 6/5 — рациональное число.
б) (√24 − √54) · √12 = √288 − √648 = 12√2 − 18√2 = −6√2 — иррациональное число.
в) (3 − √5)² + (3 + √5)² = (9 − 6√5 + 5) + (9 + 6√5 + 5) = 28 — рациональное число.
г) (√13 + √8)² = 13 + 2√104 + 8 = 21 + 4√26 — иррациональное число (√26 иррационально, поэтому сумма рационального числа и иррационального 4√26 иррациональна).
Ответ: а) рациональное; б) иррациональное; в) рациональное; г) иррациональное.
б) (√24 − √54) · √12 = √288 − √648 = 12√2 − 18√2 = −6√2 — иррациональное число.
в) (3 − √5)² + (3 + √5)² = (9 − 6√5 + 5) + (9 + 6√5 + 5) = 28 — рациональное число.
г) (√13 + √8)² = 13 + 2√104 + 8 = 21 + 4√26 — иррациональное число (√26 иррационально, поэтому сумма рационального числа и иррационального 4√26 иррациональна).
Ответ: а) рациональное; б) иррациональное; в) рациональное; г) иррациональное.
83. Докажите, что значение выражения является рациональным числом: а) √(7 − 4√3)² − √(4 − 2√3)²; б) √(37 + 12√7)² + √(37 − 12√7)².
Используем равенство √(t²) = |t|.
б) 12√7 = √1008 < √1369 = 37, значит 37 − 12√7 > 0; кроме того, 37 + 12√7 > 0. Поэтому √((37 + 12√7)²) + √((37 − 12√7)²) = (37 + 12√7) + (37 − 12√7) = 74 — рациональное число.
а) Здесь 4√3 = √48 < √49 = 7, то есть 7 − 4√3 > 0, и 2√3 = √12 < 4, то есть 4 − 2√3 > 0. Тогда √((7 − 4√3)²) − √((4 − 2√3)²) = (7 − 4√3) − (4 − 2√3) = 3 − 2√3. Это число иррациональное, поэтому при таком прочтении условия утверждение для пункта а) неверно.
Ограничимся тем, что можно проверить: если корни понимать без внешних квадратов, то √(7 − 4√3) = √((2 − √3)²) = 2 − √3 и √(4 − 2√3) = √((√3 − 1)²) = √3 − 1, и их сумма (2 − √3) + (√3 − 1) = 1 — рациональное число.
Ответ: б) 74; в пункте а) при знаке «+» между √(7 − 4√3) и √(4 − 2√3) получается 1.
Оговорка: в пункте а) в учебнике напечатан знак «−» между корнями; при нём значение 3 − 2√3 иррационально, возможна опечатка в условии (рациональным значение будет для суммы √(7 − 4√3) + √(4 − 2√3) = 1).
б) 12√7 = √1008 < √1369 = 37, значит 37 − 12√7 > 0; кроме того, 37 + 12√7 > 0. Поэтому √((37 + 12√7)²) + √((37 − 12√7)²) = (37 + 12√7) + (37 − 12√7) = 74 — рациональное число.
а) Здесь 4√3 = √48 < √49 = 7, то есть 7 − 4√3 > 0, и 2√3 = √12 < 4, то есть 4 − 2√3 > 0. Тогда √((7 − 4√3)²) − √((4 − 2√3)²) = (7 − 4√3) − (4 − 2√3) = 3 − 2√3. Это число иррациональное, поэтому при таком прочтении условия утверждение для пункта а) неверно.
Ограничимся тем, что можно проверить: если корни понимать без внешних квадратов, то √(7 − 4√3) = √((2 − √3)²) = 2 − √3 и √(4 − 2√3) = √((√3 − 1)²) = √3 − 1, и их сумма (2 − √3) + (√3 − 1) = 1 — рациональное число.
Ответ: б) 74; в пункте а) при знаке «+» между √(7 − 4√3) и √(4 − 2√3) получается 1.
Оговорка: в пункте а) в учебнике напечатан знак «−» между корнями; при нём значение 3 − 2√3 иррационально, возможна опечатка в условии (рациональным значение будет для суммы √(7 − 4√3) + √(4 − 2√3) = 1).
84. Установите соответствие между точками, отмеченными на координатной прямой (рис. 6, а), и числами √11; 123/23; (1 2/3)²; (0,8)⁻¹. [рисунок 6, а: координатная прямая с делениями 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; точки A, B, C, D отмечены слева направо: A между 1 и 2, B чуть левее 3, C чуть правее 3, D правее 5]
Найдём приближённые значения чисел.
(0,8)⁻¹ = 1/0,8 = 1,25 — между 1 и 2, это точка A.
(1 2/3)² = (5/3)² = 25/9 = 2 7/9 ≈ 2,78 — чуть левее 3, это точка B.
√11: 3² = 9 < 11 < 16 = 4², √11 ≈ 3,32 — чуть правее 3, это точка C.
123/23 = 5 8/23 ≈ 5,35 — правее 5, это точка D.
Ответ: A — (0,8)⁻¹; B — (1 2/3)²; C — √11; D — 123/23.
(0,8)⁻¹ = 1/0,8 = 1,25 — между 1 и 2, это точка A.
(1 2/3)² = (5/3)² = 25/9 = 2 7/9 ≈ 2,78 — чуть левее 3, это точка B.
√11: 3² = 9 < 11 < 16 = 4², √11 ≈ 3,32 — чуть правее 3, это точка C.
123/23 = 5 8/23 ≈ 5,35 — правее 5, это точка D.
Ответ: A — (0,8)⁻¹; B — (1 2/3)²; C — √11; D — 123/23.
85. Число a отмечено точкой на координатной прямой (рис. 6, б). Расположите в порядке убывания числа a − 2; 1/a; a². [рисунок 6, б: координатная прямая с отмеченными точками 0, a, 1; точка a лежит между 0 и 1]
Из рисунка 0 < a < 1.
Тогда a − 2 < 0 (число между −2 и −1).
Так как 0 < a < 1, то a² < a < 1, и a² > 0.
Так как 0 < a < 1, то 1/a > 1.
Итак, a − 2 < 0 < a² < 1 < 1/a.
Ответ: 1/a; a²; a − 2.
Тогда a − 2 < 0 (число между −2 и −1).
Так как 0 < a < 1, то a² < a < 1, и a² > 0.
Так как 0 < a < 1, то 1/a > 1.
Итак, a − 2 < 0 < a² < 1 < 1/a.
Ответ: 1/a; a²; a − 2.
86. Расположите в порядке убывания числа: а) (2/3)⁻⁴; 2/3; (3/2)⁻⁴; (3/2)⁰; б) (2,5)⁻³; 2,5; (2,5)⁻⁵; (2,5)⁰; в) (4/9)⁻⁵; (4/9)⁻⁶; 4/9; (4/9)⁰.
а) (2/3)⁻⁴ = (3/2)⁴ = 81/16 ≈ 5,06; (3/2)⁻⁴ = (2/3)⁴ = 16/81 ≈ 0,2; (3/2)⁰ = 1; 2/3 ≈ 0,67. Порядок: 81/16 > 1 > 2/3 > 16/81.
б) (2,5)⁻³ = 1/15,625 = 0,064; (2,5)⁻⁵ = 1/97,65625 ≈ 0,01; (2,5)⁰ = 1; 2,5. Основание больше 1, чем больше показатель, тем больше число: 2,5 > (2,5)⁰ > (2,5)⁻³ > (2,5)⁻⁵.
в) Основание 4/9 меньше 1, поэтому чем меньше показатель, тем больше число: (4/9)⁻⁶ > (4/9)⁻⁵ > (4/9)⁰ = 1 > 4/9. Проверка: (4/9)⁻⁵ = (9/4)⁵ ≈ 57,7; (4/9)⁻⁶ = (9/4)⁶ ≈ 129,7.
Ответ: а) (2/3)⁻⁴; (3/2)⁰; 2/3; (3/2)⁻⁴; б) 2,5; (2,5)⁰; (2,5)⁻³; (2,5)⁻⁵; в) (4/9)⁻⁶; (4/9)⁻⁵; (4/9)⁰; 4/9.
Оговорка: показатель у (3/2) в пункте а) напечатан мелко и читается как −4, как и у (2/3).
б) (2,5)⁻³ = 1/15,625 = 0,064; (2,5)⁻⁵ = 1/97,65625 ≈ 0,01; (2,5)⁰ = 1; 2,5. Основание больше 1, чем больше показатель, тем больше число: 2,5 > (2,5)⁰ > (2,5)⁻³ > (2,5)⁻⁵.
в) Основание 4/9 меньше 1, поэтому чем меньше показатель, тем больше число: (4/9)⁻⁶ > (4/9)⁻⁵ > (4/9)⁰ = 1 > 4/9. Проверка: (4/9)⁻⁵ = (9/4)⁵ ≈ 57,7; (4/9)⁻⁶ = (9/4)⁶ ≈ 129,7.
Ответ: а) (2/3)⁻⁴; (3/2)⁰; 2/3; (3/2)⁻⁴; б) 2,5; (2,5)⁰; (2,5)⁻³; (2,5)⁻⁵; в) (4/9)⁻⁶; (4/9)⁻⁵; (4/9)⁰; 4/9.
Оговорка: показатель у (3/2) в пункте а) напечатан мелко и читается как −4, как и у (2/3).
87. Найдите a/b, если: а) (2a + 5b)/(5a + 2b) = 1; б) (a + 2b)/(b + 2a) = −3; в) (99a + 8b)/(4b − 100a) = 2.
а) 2a + 5b = 5a + 2b, откуда 3b = 3a, a = b, поэтому a/b = 1.
б) a + 2b = −3(b + 2a) = −3b − 6a; 7a = −5b; a/b = −5/7.
в) 99a + 8b = 2(4b − 100a) = 8b − 200a; 299a = 0; a = 0, значит a/b = 0 (b ≠ 0, так как иначе знаменатель 4b − 100a равен 0).
Ответ: а) 1; б) −5/7; в) 0.
б) a + 2b = −3(b + 2a) = −3b − 6a; 7a = −5b; a/b = −5/7.
в) 99a + 8b = 2(4b − 100a) = 8b − 200a; 299a = 0; a = 0, значит a/b = 0 (b ≠ 0, так как иначе знаменатель 4b − 100a равен 0).
Ответ: а) 1; б) −5/7; в) 0.