Глава I. §2. п.5 Практико-ориентированные задачи — с. 25
73. Упростите выражение: а) ((a − 3)/(a² − 3a + 9) − (6a − 18)/(a³ + 27)) : (5a − 15)/(4a³ + 108); б) (ab² − a²b)/(a + b) · (a + ab/(a − b))/(a − ab/(a + b)).
а) Разложим: a³ + 27 = (a + 3)(a² − 3a + 9), 6a − 18 = 6(a − 3), 5a − 15 = 5(a − 3), 4a³ + 108 = 4(a³ + 27).
В скобках: (a − 3)/(a² − 3a + 9) − 6(a − 3)/((a + 3)(a² − 3a + 9)) = (a − 3)((a + 3) − 6)/((a + 3)(a² − 3a + 9)) = (a − 3)²/(a³ + 27).
Деление: (a − 3)²/(a³ + 27) · 4(a³ + 27)/(5(a − 3)) = 4(a − 3)/5 = (4a − 12)/5.
б) ab² − a²b = ab(b − a). Числитель второй дроби: a + ab/(a − b) = a(a − b + b)/(a − b) = a²/(a − b). Знаменатель: a − ab/(a + b) = a(a + b − b)/(a + b) = a²/(a + b). Их частное: a²/(a − b) · (a + b)/a² = (a + b)/(a − b).
Итого: ab(b − a)/(a + b) · (a + b)/(a − b) = −ab.
Ответ: а) (4a − 12)/5; б) −ab.
В скобках: (a − 3)/(a² − 3a + 9) − 6(a − 3)/((a + 3)(a² − 3a + 9)) = (a − 3)((a + 3) − 6)/((a + 3)(a² − 3a + 9)) = (a − 3)²/(a³ + 27).
Деление: (a − 3)²/(a³ + 27) · 4(a³ + 27)/(5(a − 3)) = 4(a − 3)/5 = (4a − 12)/5.
б) ab² − a²b = ab(b − a). Числитель второй дроби: a + ab/(a − b) = a(a − b + b)/(a − b) = a²/(a − b). Знаменатель: a − ab/(a + b) = a(a + b − b)/(a + b) = a²/(a + b). Их частное: a²/(a − b) · (a + b)/a² = (a + b)/(a − b).
Итого: ab(b − a)/(a + b) · (a + b)/(a − b) = −ab.
Ответ: а) (4a − 12)/5; б) −ab.
74. Решите систему уравнений: а) 3y − 2x = 10, 7x + 5y = 27; б) 0,4x − 0,2y = 0,4, x + 11y = 12,5.
а) Из первого уравнения 2x = 3y − 10, x = (3y − 10)/2. Подставим во второе: 7(3y − 10)/2 + 5y = 27; 21y − 70 + 10y = 54; 31y = 124; y = 4; x = (12 − 10)/2 = 1.
б) Умножим первое уравнение на 5: 2x − y = 2, y = 2x − 2. Подставим: x + 11(2x − 2) = 12,5; x + 22x − 22 = 12,5; 23x = 34,5; x = 1,5; y = 3 − 2 = 1.
Ответ: а) (1; 4); б) (1,5; 1).
б) Умножим первое уравнение на 5: 2x − y = 2, y = 2x − 2. Подставим: x + 11(2x − 2) = 12,5; x + 22x − 22 = 12,5; 23x = 34,5; x = 1,5; y = 3 − 2 = 1.
Ответ: а) (1; 4); б) (1,5; 1).
75. Решите уравнение: а) 5√x = 1; б) √(x − 4) = 15.
а) Разделим на 5: √x = 0,2. Возведём в квадрат: x = 0,04. Проверка: 5 · 0,2 = 1.
б) Возведём обе части в квадрат: x − 4 = 225, x = 229. Проверка: √225 = 15.
Ответ: а) 0,04; б) 229.
б) Возведём обе части в квадрат: x − 4 = 225, x = 229. Проверка: √225 = 15.
Ответ: а) 0,04; б) 229.
Вопрос 1. Что такое нанометр и зептосекунда?
Нанометр — единица длины, одна миллиардная доля метра: 1 нм = 10⁻⁹ м. Зептосекунда — единица времени, одна секстиллионная доля секунды: 1 зс = 10⁻²¹ с.
Вопрос 2. Составьте сами практико-ориентированную задачу.
Пример. В магазине тетрадь стоит 30 р., а в акции «три по цене двух» набор из трёх тетрадей. Сколько рублей сэкономит покупатель на 9 тетрадях по сравнению с обычной ценой?
Решение: без акции 9 · 30 = 270 р. По акции за каждые три тетради платят как за две: 9 тетрадей — три набора, 3 · 2 · 30 = 180 р. Экономия 270 − 180 = 90 р.
Ответ: 90 р.
Оговорка: задача придумывается самостоятельно, приведён образец.
Решение: без акции 9 · 30 = 270 р. По акции за каждые три тетради платят как за две: 9 тетрадей — три набора, 3 · 2 · 30 = 180 р. Экономия 270 − 180 = 90 р.
Ответ: 90 р.
Оговорка: задача придумывается самостоятельно, приведён образец.