Глава I. §2. п.6 Точность представления действительных чисел в виде десятичных дробей. Число π — с. 28
76. Используя диаграмму на рисунке 4 и информацию из текста параграфа, заполните таблицу относительного прироста количества найденных значащих цифр после запятой в числе π для каждого столбца диаграммы в сравнении с предыдущим столбцом (результат в таблицу запишите с точностью до одной десятой). [таблица: строка «Год»: 1450, 1706, 1949, 1957, 1961, 1973, 1985, 2020, 2021; строка «Прирост»: пусто]
Относительный прирост — отношение прироста к предыдущему значению, выраженное в процентах: (N − N₀)/N₀ · 100 %, где N₀ — число знаков в предыдущем столбце.
Числа знаков (диаграмма и текст): 1000 г. — около 6 (столбец чуть ниже 10¹); 1450 г. — 16; 1706 г. — 100; 1949 г. — 2037; 1957 г. — 10 000 (по диаграмме); 1961 г. — 100 000; 1973 г. — 1 000 000; 1985 г. — 10⁸ (по диаграмме); 2020 г. — 50 триллионов = 5 · 10¹³; 2021 г. — 62,8 трлн = 6,28 · 10¹³.
1450: (16 − 6)/6 · 100 % ≈ 166,7 %.
1706: (100 − 16)/16 · 100 % = 525,0 %.
1949: (2037 − 100)/100 · 100 % = 1937,0 %.
1957: (10 000 − 2037)/2037 · 100 % ≈ 390,9 %.
1961: (100 000 − 10 000)/10 000 · 100 % = 900,0 %.
1973: (10⁶ − 10⁵)/10⁵ · 100 % = 900,0 %.
1985: (10⁸ − 10⁶)/10⁶ · 100 % = 9900,0 %.
2020: (5 · 10¹³ − 10⁸)/10⁸ · 100 % = 49 999 900,0 %.
2021: (62,8 − 50)/50 · 100 % = 25,6 %.
Ответ: таблица на рисунке (в тетради можно записать горизонтально).
Оговорка: число знаков для 1000 г. (около 6) и для 1957, 1985 гг. снято с диаграммы приближённо, поэтому значения для 1450, 1957 и 1985 гг. зависят от такого отсчёта; таблица показана вертикально для удобства.
Числа знаков (диаграмма и текст): 1000 г. — около 6 (столбец чуть ниже 10¹); 1450 г. — 16; 1706 г. — 100; 1949 г. — 2037; 1957 г. — 10 000 (по диаграмме); 1961 г. — 100 000; 1973 г. — 1 000 000; 1985 г. — 10⁸ (по диаграмме); 2020 г. — 50 триллионов = 5 · 10¹³; 2021 г. — 62,8 трлн = 6,28 · 10¹³.
1450: (16 − 6)/6 · 100 % ≈ 166,7 %.
1706: (100 − 16)/16 · 100 % = 525,0 %.
1949: (2037 − 100)/100 · 100 % = 1937,0 %.
1957: (10 000 − 2037)/2037 · 100 % ≈ 390,9 %.
1961: (100 000 − 10 000)/10 000 · 100 % = 900,0 %.
1973: (10⁶ − 10⁵)/10⁵ · 100 % = 900,0 %.
1985: (10⁸ − 10⁶)/10⁶ · 100 % = 9900,0 %.
2020: (5 · 10¹³ − 10⁸)/10⁸ · 100 % = 49 999 900,0 %.
2021: (62,8 − 50)/50 · 100 % = 25,6 %.
Ответ: таблица на рисунке (в тетради можно записать горизонтально).
Оговорка: число знаков для 1000 г. (около 6) и для 1957, 1985 гг. снято с диаграммы приближённо, поэтому значения для 1450, 1957 и 1985 гг. зависят от такого отсчёта; таблица показана вертикально для удобства.
77. Если радиус круга увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 1 см, то его площадь увеличится на π см². Найдите радиус круга.
Пусть радиус круга r см, площадь πr². После изменения радиус равен 2r − 1, площадь π(2r − 1)². По условию π(2r − 1)² − πr² = π. Разделим на π: (2r − 1)² − r² = 1; 4r² − 4r + 1 − r² = 1; 3r² − 4r = 0; r(3r − 4) = 0. Так как r > 0, r = 4/3 = 1 1/3 см. Проверка: 2r − 1 = 5/3, π(25/9 − 16/9) = π.
Ответ: 1 1/3 см.
Ответ: 1 1/3 см.
78. Возьмите дома круглый предмет. Измерьте длину его окружности и диаметра. Разделите длину окружности на длину диаметра и узнайте, с какой точностью вам удалось экспериментально найти число π.
Задание практическое. Порядок: измеряем длину окружности C нитью или гибкой лентой и диаметр d линейкой, считаем C/d и сравниваем с π ≈ 3,1416.
Образец: пусть у крышки C = 62,0 см, d = 19,8 см. Тогда C/d = 62,0/19,8 ≈ 3,13. Абсолютная погрешность |π − 3,13| ≈ 0,01, то есть π найдено с точностью до 0,01; относительная погрешность ≈ 0,01/3,13 ≈ 0,3 %.
Ответ: C/d ≈ π; точность находят как |π − C/d|, в образце около 0,01.
Оговорка: числа в образце условные, подставьте свои измерения.
Образец: пусть у крышки C = 62,0 см, d = 19,8 см. Тогда C/d = 62,0/19,8 ≈ 3,13. Абсолютная погрешность |π − 3,13| ≈ 0,01, то есть π найдено с точностью до 0,01; относительная погрешность ≈ 0,01/3,13 ≈ 0,3 %.
Ответ: C/d ≈ π; точность находят как |π − C/d|, в образце около 0,01.
Оговорка: числа в образце условные, подставьте свои измерения.
79. На координатной прямой отмечена точка с координатой a (рис. 5). Перечертите рисунок в тетрадь, а затем отметьте на прямой точки, координаты которых равны: 2a; −a; a + 1; a − 2. [рисунок 5: а) координатная прямая со штрихами 0, a, 1, причём a лежит между 0 и 1 ближе к 1 (примерно 0,75); б) координатная прямая со штрихами −2, a, 1, причём a лежит между −2 и 0 (примерно −0,85)]
Точки строим по расстояниям на прямой, ориентируясь на единичный отрезок.
а) Здесь 0 < a < 1, по рисунку a ≈ 0,75. Точка 2a находится от нуля вправо вдвое дальше, чем a, то есть правее 1 (2a ≈ 1,5). Точка −a симметрична точке a относительно нуля (≈ −0,75). Точка a + 1 получается сдвигом точки a на единицу вправо (≈ 1,75). Точка a − 2 получается сдвигом точки a на две единицы влево (≈ −1,25).
б) Здесь −1 < a < 0, по рисунку a ≈ −0,85. Точка 2a лежит левее a: от нуля влево на двойное расстояние (≈ −1,7, правее −2). Точка −a симметрична a относительно нуля (≈ 0,85, левее 1). Точка a + 1 — сдвиг a на единицу вправо (≈ 0,15, правее нуля). Точка a − 2 — сдвиг a на две единицы влево (≈ −2,85, левее −2).
Ответ: построение на рисунке (искомые точки красные).
Оговорка: положение a снято с рисунка приближённо, поэтому указаны примерные координаты.
а) Здесь 0 < a < 1, по рисунку a ≈ 0,75. Точка 2a находится от нуля вправо вдвое дальше, чем a, то есть правее 1 (2a ≈ 1,5). Точка −a симметрична точке a относительно нуля (≈ −0,75). Точка a + 1 получается сдвигом точки a на единицу вправо (≈ 1,75). Точка a − 2 получается сдвигом точки a на две единицы влево (≈ −1,25).
б) Здесь −1 < a < 0, по рисунку a ≈ −0,85. Точка 2a лежит левее a: от нуля влево на двойное расстояние (≈ −1,7, правее −2). Точка −a симметрична a относительно нуля (≈ 0,85, левее 1). Точка a + 1 — сдвиг a на единицу вправо (≈ 0,15, правее нуля). Точка a − 2 — сдвиг a на две единицы влево (≈ −2,85, левее −2).
Ответ: построение на рисунке (искомые точки красные).
Оговорка: положение a снято с рисунка приближённо, поэтому указаны примерные координаты.